Тема: «Решение квадратных уравнений с помощью номограммы»

Вид материала

Решение

Содержание Актуализация практических знаний Объяснение нового материала Современный энциклопедический словарь)

Подобный материал:

• Урока алгебры и информатики «система счисления. Решение задач с помощью квадратных, 98.53kb.
• Зюзина Татьяна Ивановна, гимназия №12 г. Липецка Тема: решение, 117.75kb.
• Решение линейных уравнений Цель урока, 126.51kb.
• Тема: Исследование проблемы решения , 104.57kb.
• Потешкина Галина Владимировна. Класс: 8 класс. Тема урок, 116.63kb.
• «История возникновения квадратных уравнений», 131.57kb.
• Открытый урок по теме, 43.6kb.
• Тема: «способы решений различных квадратных уравнений», 221.75kb.
• Программа несущую двойную функцию по решению квадратных уравнений, 49.47kb.
• Решение задач с помощью систем уравнений, 56.49kb.

Занятие № 12

Тема: «Решение квадратных уравнений с помощью номограммы»

Тип занятия: Изучение нового материала

Вид занятия: Урок углубления знаний

Возраст учащихся: 8 класс

Программное обеспечение: Авторская программа элективного курса ««История квадратных уравнений и десять способов их решения»

Дидактический материал: Номограммы для учащихся, карточки с заданиями

Форма работы: индивидуальная, парная, групповая

Методы обучения:

• Информационно-сообщающий
  
• Познавательный
  
• Систематизирующий
  
• Коммуникативный
  
• Логический
  

Время проведения: 40 минут

Цель:

• Формирование знания решения квадратных уравнений с помощью номограмм
  

Задачи:

Обучающие:

• Познакомить с теорией способа решения квадратных уравнений с помощью номограмм
  
• Познакомить с применением способа решения квадратных уравнений с помощью номограмм на практике
  
• Создать условия для формирования мотивации выбора математики для последующего углубленного изучения.
  
• Выработать умения выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.
  
• Сформировать умения составлять алгоритмы для способа решения квадратных уравнений
  
• Развитие вычислительных навыков
  
• Развитие кругозора учащихся
  

Развивающие:

• Развитие умения наблюдать, анализировать.
  
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.
  
• Развитие коммуникативных качеств личности
  

Воспитательные:

• Воспитание навыков сотрудничества в процессе совместной работы.
  

• Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей
  
• Воспитание самостоятельности, умения представлять выбранный способ решения уравнения
  

Структура занятия.

• Организационный момент. Вступительное слово учителя
  
• Актуализация опорных теоретических и практических знаний о способах решения квадратных уравнений
  
• Объяснение нового материала
  
• Закрепление нового материала
  
• Подведение итогов. Рефлексия.
  
• Домашнее задание
  

Вступительное слово учителя.

Сообщаю цель, задачи занятия, план работы на занятии.

Актуализация опорных теоретических – повторение алгоритмов известных способов решения квадратных уравнений (разложение левой части на множители, выделение квадрата двучлена, с помощью теоремы Виета, с помощью свойства коэффициентов, с помощью «переброски» коэффициентов, графический способ)

Актуализация практических знаний о способах решения квадратных уравнений. Решить квадратные уравнения различными способами:

1. Способом разложения на множители
   

7х² + 9х + 2 = 0

2. Способом выделения квадрата двучлена

3х² + 2х – 5 = 0

3. По теореме Виета (обратной)

х² – 4х + 3 = 0

4. Используя свойства коэффициентов

345х² – 137х – 208 = 0

5. Используя свойства коэффициентов

313х² + 326х + 13 = 0

6. Способом переброски

2х² + 3х – 2 = 0

7. Графическим способом

х² – 2х – 3 = 0

Задание выполняют самостоятельно, но каждое уравнение решает двое учащихся, которые не в одной группе.

Проверка проводится по группам учащихся с одинаковыми заданиями.

1. Способом разложения на множители:
   

7х² + 9х + 2 = 0

7х² + 7х + 2х + 2 = 0

7х (х + 1) + 2(х +1) =0

(7х +2) (х+1) = 0

7х +2 = 0 или х +1 = 0

х = –2/7 или х = –1

Ответ: –2/7; –1

2) Способом выделения квадрата двучлена:

3х² + 2х – 5 = 0

3(х² + 2/3 х –5/3) = 0

х² + 2* 1/3 х +1/9– 1/9– 5/3=0

(х +1/3)– 16/9 = 0

(х + 1/3)= 16/9

х +1/3 = 4/3 или х+1/3 = –4/3

х = –5/3 или х = 1

Ответ: –5/3; 1

3) По теореме Виета (обратной)

х² – 4х + 3 = 0

х + х= 4, х= 1

х * х= 3 х= 3


Ответ: 1; 3

4) Используя свойство коэффициентов

345х² – 137х – 208 = 0

а + b+ с = 345 –137 –208 =0, значит, х = 1, х= –208/345

5) Используя свойство коэффициентов

313х² + 326х + 13 = 0

а – b +с = 313 – 326 +13 = 0, значит, х = –1, х= –13/313

6) Способом переброски

2х² + 3х – 2 = 0

у+ 3у – 4 = 0

у + у= –3

у * у= –2

у= – 4 у= 1

х = – 4: 2 = –2 х= 1:2=0,5

Ответ: –2; 0,5

7) Графическим способом х² – 2х – 3 = 0

у = х² , графиком является парабола

у = 2х + 3, графиком является прямая

Прямая и парабола

имеют две общие точки,

абсциссы которых являются

корнями уравнения

х² – 2х – 3 = 0

Ответ:-1; 3.


Объяснение нового материала

«Решение квадратных уравнений с помощью номограммы»

Сообщение ученика о понятии номограмма

Разработка теории номографических построений началась в 19 в. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм (французский математик Л. Л. К. Лаланн, 1843).

Основания общей теории номографических построений дал М. Окань в 1884—91; в его же работах впервые встречается название Номография. Первым в России вопросами Номография начал заниматься М. Герсеванов в 1906—08. Большая заслуга в деле развития теории Номография и организации номографирования инженерных расчетов принадлежит А. Глаголеву, возглавлявшему советскую номографическую школу.

Номограмма (от греческого «nomos» – закон и …грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

(Большой энциклопедический словарь: Номограмма – см. в ст. Номография.)

Номограмма – графическое изображение математической зависимости. С помощью номограммы можно, не производя вычислений, получать решения уравнений, для которых номограмма построена. Номограммы широко применяются в базисных прицелах, радиотехнических системах и других устройствах и системах для бомбометания, воздушной стрельбы, самолетовождения и т. д.

(Военно-авиационный словарь, Москва, Воениздат)

Геометрические изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно. К ним можно отнести достаточно сложные построения, содержащие семейства линий и шкалы как изображения переменных (встречающиеся, например, в солнечных часах и астролябиях).

Номография (от греч. nómos — закон и ...графия), раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм – специальных чертежей, являющихся изображениями функциональных зависимостей. Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертеж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определенным геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определенном соответствии, общем для номограмм одного и того же типа

(Современный энциклопедический словарь)

Рассказ учителя.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, о котором рассказывается в Таблице XXII Четырехзначных математических таблиц, автор Брадис В.М. Номограмма для решения уравнения z² + рz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам ОВ = , АВ = .

(слайд) Полагая, что ОС = р, ЕД =q, ОЕ = а, из подобия треугольников САН и СДF (почему треугольники подобны?) получим пропорцию . Подставив, ОВ = , АВ = , получим ,



1+z0

p – q = p + pz +z

z+ pz + q = 0


Из пропорции после подстановок и упрощений получаем уравнение z² + рz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.



p

q


B


O

E



F

D



H

A



C

Для уравнения z² – 9 z + 8 = 0,

номограмма дает корни z = 8,0 и z₂ = 1,0





2. Решим с помощью номограммы уравнение 2z ² – 9z + 8 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z – 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z= 4 и z= 0,5

3. Решить самостоятельно:

z ² +5z – 6 = 0

z ² – 2z – 8 = 0.

4. Проверить полученные результаты:


Для уравнения z² + 5z – 6 = 0 номограмма дает положительный корень z = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из

– р, т.е. z ₂ = – р –1 = – 5 – 1 = – 6,0

Для решения уравнения z² – 2z – 8 = 0 номограмма дает положительный корень z=4,0, отрицательный корень равен z= – р – z= 2–4 = – 2




Уравнения для закрепления:

1) z² – 7z + 6 = 0;

2) z² + 5z + 4 = 0;

3) z² – 4z + 4 = 0;

Итог занятия

С каким способом познакомились?

• Каков план решения при этом способе?
  
• Какие могут быть варианты при решении уравнения данным способом?
  

Домашнее задание:

1) Решить уравнения с помощью номограмм:

z² –z – 6 = 0;

z² –11 z + 18 = 0;

z² –2z + 3= 0

2) В теоретическом материале:

• Доказать подобие треугольников
  
• Подготовить алгоритм решения квадратного уравнения с помощью номограмм
  

(План решения с помощью номограмм может быть таким:

1. Отметить числа, соответствующие коэффициентам квадратного уравнения z² + рz + q = 0 на вертикальных осях
   
2. Соединить их отрезком
   
3. На шкале определить числа, соответствующие точкам пересечения отрезка и осей
   

• Если оба корня положительные, то получаем ответ
  
• Если один из корней отрицательный на шкале получим один корень, а второй корень найдем, используя теорему Виета)
  

4. Подумать над вариантами решения уравнений (если не предложат, то:
   
   • Если оба корня отрицательные
     
   • Если коэффициенты выходят за пределы шкалы)
     

На следующем занятии рассмотрим остальные возможные случаи решения уравнений способом номограмм.

Вычислить квадратные корни из 784, 841, 1156, 3364, 2116 без таблиц

Рефлексия.

Выбрать цвет соответствующий состоянию в конце занятия

• Зеленый – все понятно в новом способе
  

• Желтый – не совсем понятно
  
• Красный – все непонятно, требуется помощь
  

Литература

1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. – М.: Просвещение, 1990. С. 83.
   
2. Клюквин М.Ф. Алгебра, 6-8. Пособие для учащихся 6-8 классов. – М.: Просвещение, 1963.
   
3. Кужепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: высшая школа, 1969.
   
4. Математика (приложение к газете «Первое сентября), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.
   
5. Пресман АА. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М.: Квант, № 4/72. С. 34.
   
6. Соломник B.C., Милое П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. 4-е, дополн. – М., Высшая школа, 1973.
   
7. 7.Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным
   функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. – М.: Просвещение,1970
   
8. Пентковский М. В., Считающие чертежи. (Номограммы), 2 изд., М.: 1959; его же, Номография, М. — Л., 1949;