Павлова Ирина Андреевна исследование

Вид материала

Исследование

Содержание МП Maple.

Подобный материал:

• Бондаренко Ирина Андреевна. Организационно-методические рекомендации, 192.85kb.
• Героя Советского Союза И. Ф. Павлова (гбоу пк №8 им. И. Ф. Павлова) утверждаю директор, 1660.44kb.
• Старостина Светлана Андреевна Правовое регулирование борьбы с преступностью в странах, 2406.73kb.
• Глазер Анна Андреевна Асс. Тяпушова Е. В. исследование, 67kb.
• Акцентуация характера как предпосылка формирования девиантного поведения у подростков, 75.65kb.
• Путилова Ирина Юрьевна, учитель русского языка и литературы Тема : Статистика имен, 394.76kb.
• Халтурина Дарья Андреевна,, 288.78kb.
• Исследование по теме: Автор: Павлова Анна, 9 класс, моу «мсош №16», 251.48kb.
• Российскаяакадемиянау к институт физиологии им. И. П. Павлова, 338.05kb.
• И. П. Павлова и его значение для вокальной подготовки. Пение одна из функций организма,, 29.09kb.

else

print('Никакая')

fi;



Известно, что тригонометрические функции периодичны. Докажем, что период исследуемой функции равен 2Pi.

> T:=2*Pi;

solve(y(x+T)=y(x));





Найдём асимптоты исследуемой функции. Вертикальных асимптот данная функция, так как областью её определения является вся числовая прямая. Наклонная асимптота имеет вид y=kx+b. Найдём коэффициенты k и b вычислением соответствующих пределов.

> k1:=limit(y(x)/x,x=-infinity);



> k2:=limit(y(x)/x,x=infinity);



Получили, что коэффициент k=0.Найдём коэффициент b.

> k:=0;



> b1:=limit(y(x)-k*x,x=infinity);



> b2:=limit(y(x)-k*x,x=-infinity);



Значит, исследуемая функция имеет две наклонные асимптоты, которые имеют вид:

> y1:=k*x+b1;



> y2:=k*x+b2;



Далее найдём точки пересечения графика функции с осью Ох.

> unassign('x');


> fsolve(y(x)=0,x);



Найдём точки пересечения функции с осью Oy.

> y(0);



Найдём экстремумы функции.

> extrema(y(x),{},x,'s');

s;




Получили, что точек экстремума данная функция не имеет. Проверим это с помощью первой производной.

> p1:=diff(y(x),x);



Построим график первой производной.

> plot(p1,x=-infinity..+infinity,color=blue,scaling=constrained);



Находим точки пересечения первой производной с осью Ох.

> fsolve(p1=0,x);



> evalf(%,2);



> discont(p1,x);



Точек разрыва первая производная исследуемой функции не имеет. Найдём интервалы возрастания и убывания функции. Для этого найдём значения первой производной на интервалах (-infinity,-17000) и (-17000, infinity).

> x:=-20000;



> y(x):=p1;



> evalf(%);



> x:=18000;



> y(x):=p1;



> evalf(%);



Получили, что при значении аргумента х, принадлежащем интервалу (-infinity,-17000), значение первой производной функции равно нулю. При значении аргумента х, принадлежащем интервалу (-17000, infinity), значение первой производной функции положительно, значит, исследуемая функция на данном интервале снова возрастает. Так как при переходе через точку х=-17000 первая производная исследуемой функции не меняет знак, значит точкой экстремума данная точка не является.

Находим максимальное и минимальное значения исследуемой функции.

> maximize(y(x),x=-infinity..+infinity);



> minimize(y(x),x=-infinity..infinity);



Найдём производную 2-го порядка.

> p2:=diff(y(x),x$2);



Построим график производной 2-го порядка.

> plot(p2,x=-infinity..infinity,color=blue,scaling=constrained);



Находим точки пересечения графика производной 2-го порядка с осью Ох.

> fsolve(p2=0,x);



Далее находим интервалы вогнутости вверх и вниз исследуемой функции и точки перегиба функции. Для этого выясним, какие значения принимает вторая производная исследуемой функции на интервалах (-infinity,0) и (0, infinity).

> x:=-10;



> y(x):=p2;



> evalf(%);



> x:=10;



> y(x):=p2;



> evalf(%);



Получили, что на интервале (-infinity,0.) вторая производная исследуемой функции принимает отрицательные значения, значит, на этом интервале график данной функции направлен вогнутостью вниз. На интервале (0, infinity) вторая производная исследуемой функции принимает положительные значения, значит, на этом интервале график данной функции направлен вогнутостью вверх. Так как при переходе через точку х= 0.5 вторая производная исследуемой функции меняет знак, значит, точка х=0 является точкой перегиба исследуемой функции. Найдём значение данной функции в этой точке.

> y(0);



> plot({y(x),y1,y2},x=-5..5,view=[-5..5,-2..2],scaling=constrained,color=[red,cyan,blue]);




Заключение


В результате выполнения данной курсовой работы достигнуты поставленные нами цели и задачи, а именно:

Цели работы:

• Определить функциональные возможности системы Математический Пакет Maple, необходимые для исследования математических функций;
  
• Выделить инструментальную среду МП Maple для исследования математических функций;
  

Задачи работы:

• Изучить среду Математический Пакет Maple;
  
• Дать краткую характеристику МП Maple;
  
• Описать основные функции и возможности МП Maple;
  
• Обобщить материал по исследованию математических функций;
  
• Выделить функции МП Maple, позволяющие осуществлять исследование математических функций;
  
• Охарактеризовать свойства вышеуказанных функций, способы их задания и применения;
  
• Осуществить исследование ряда математических функций в среде МП Maple;
  

Теперь дадим краткий анализ осуществления процесса исследования математических функций в среде МП Maple.

Итак, в процессе исследования ряда математических функций в системе МП Maple нами отмечены следующие особенности системы:

Достоинства системы МП Maple:

• высокий уровень автоматизации процесса исследования функций;
  
• значительное сокращение времени, затрачиваемого на осуществление исследования функций;
  
• возможность применения к исследованию самых различных элементарных математических функций, в частности, сложных функций, исследование которых не так-то просто провести обычными математическими методами;
  
• обширность набора встроенных элементарных математических функций, а также команд, используемых для исследования функций;
  
• удобство и простота внутреннего интерфейса системы, а также возможность доступа к справочному материалу системы прямо в процессе работы;
  
• простота используемых команд;
  
• возможность построения графиков элементарных математических функций на интервале (─∞,+∞), что позволяет исследовать поведение функций на всей числовой прямой;
  
• наличие команд, позволяющих сразу (то есть без каких-либо дополнительных исследований) определить некоторые особенности исследуемых функций, например, точки экстремума, точки нарушения непрерывности, сингулярные точки, точки пересечения с осями координат, максимальное и минимальное значения функции на отрезке;
  
• удобство исследования функции на чётность и нечётность;
  
• возможность быстро находить пределы функций;
  
• возможность изобразить на графике особенности исследуемой функции – асимптоты графика, точки экстремума, точки перегиба, точки разрыва.
  

Недостатки системы МП Maple:

• невозможность автоматизировать процесс нахождения области определения функции, в результате чего приходится решать соответствующие неравенства или делать заключение об области определения после исследования функции на непрерывность;
  
• невозможность автоматического определения видов точек разрыва функции, в результате чего возникает необходимость в поиске соответствующих пределов функции;
  
• невозможность автоматического определения видов точек экстремума и определения интервалов возрастания и убывания функции, в результате чего возникает необходимость в проведении исследования функции с помощью первой производной;
  
• невозможность автоматического определения точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости функции, в результате чего возникает необходимость в проведении исследования функции с помощью второй производной;
  
• невозможность автоматического определения асимптот графиков функций;
  
• невозможность отыскания наименьшего периода исследуемой функции.
  

В результате проделанной работы можно смело сделать вывод о пригодности использования системы МП Maple в школьном курсе как математики (как фактора повышения интереса школьников к изучению данной дисциплины, а также в качестве программы-помощника при исследовании сложных видов математических функций), так и информатики (в качестве материала для изучения системы МП Maple ).

Следует также отметить, что в последние годы происходило постоянное сокращение учебных часов по предметам физико-математи­ческого цикла с одновременным расширением списка изучаемых вопросов. В связи с этим возникает необхо­димость в дополнительном и эффективном изучении таких базовых предметов, как математика, физика и информатика, а также и других дисциплин естественно-научного цикла. Интеграция этих дисциплин позволяет развить информационно-математическую культуру в процессе обучения и привить навыки прикладных исследований. И информационные технологии при этом играют главную роль. В частности, в качестве одного из таких инструментов рассматривается система компьютерной математики Maple.

Изучение возможностей па­кета символьной математики Maple и его последующего применения имеет следующие достоинства: уча­щиеся расширяют и углубляют свои знания по математике, получают возможность наглядного представления различных математических ситуаций, а также получают полезные профессиональные навыки как программисты и операторы ЭВМ. Для реализации идеи профильного образования в старших классах особо актуальным является внедрение в процесс обучения информатике и информационным технологиям, то есть таких систем и программ, которые дают возможность учащимся раскрыть свои умственные и творческие способности, по­лучить основные профессиональные навыки и определить курс своей будущей карьеры. Также учащимся необходимо привить умения и навыки компьютерного моделирования, которое является одним из приори­тетных направлений в прикладных науках. К тому же, ряд особенностей Maple выдвигает его на лидирующее место для реализации образовательных программ: сравнительно невысокая стоимость пакета, простой и понятный интерфейс, язык программиро­вания наиболее близкий к языку математической логики, непревзойденные графические возможности. Все эти особенности позволяют представить математическую модель изучаемого объекта или явления в нагляд­ной интерактивной графической форме, тем самым значительно повышая качество проектов по физико-математическим дисциплинам.

Обучение с использованием программ Maple позволит достичь целей:

• самореализации учащихся и получения ими профессиональных компетенций;
  
• развития математического мышления и научного творчества школьников;
  
• улучшения качества и повышения эффективности учебного процесса;
  
• повышения интереса учащихся к учебной деятельности;
  
• профессионального ориентирования учащихся;
  
• профессионального роста преподавательского состава;
  
• овладения методами информационных технологий и создания компьютерных средств, а также активизации учебного процесса.
  

Приложение


Некоторые виды элементарных математических функций, встроенных в ядро системы Maple:

Тригонометрические функции:

•  sin(x) — синус аргумента х;
  
•  cos(x) — косинус аргумента х;
  
•  tan(x) — тангенс аргумента х;
  
• cot(x) — котангенс аргумента х;
  
• sec (x) — секанс аргумента х;
  
•  csc (x) — косеканс аргумента х.
  

Примеры применения данных функций в Maple:

> sin(Pi/4);



> cos(0);



> tan(Pi/6);



> cot(Pi/4);



> sec(Pi/3);



> csc(Pi/2);



Обратные тригонометрические функции:

•  arcsin(x) — арксинус аргумента х;
  
•  arccos(x) — арккосинус аргумента х;
  
•  arctan(x) — арктангенс аргумента х;
  
•  arccot(x) — арккотангенс аргумента х;
  
•  arcsec(x) — арксеканс аргумента х;
  
•  arccsc(x) — арккосеканс аргумента х.
  

Примеры применения данных функций в Maple:

> arcsin(1);



> arccos(1);



> arctan(1/3);



> arccot(0.4);



> arcsec(0.78);



> arccsc(2);



  Гиперболические функции:

•  sinh(х) — гиперболический синус аргумента х;
  
•  cosh(х) — гиперболический косинус аргумента х;
  
•  tanh(х) — гиперболический тангенс аргумента х;
  
•   coth(х) — гиперболический котангенс аргумента х;
  
•  sech(х) — гиперболический секанс аргумента х;
  
• csch (х) — гиперболический косеканс аргумента х.
  

Примеры применения данных функций в Maple:

> sinh(1);



> cosh(0.4);



> tanh(1/3);



> coth(0.4);



> sech(0.78);



> csch(2);




 Обратные гиперболические функции:

•  arcsinh(х) — гиперболический арксинус аргумента х;
  
•  arccosh(х) — гиперболический арккосинус аргумента х; 
  
•  arctanh (х) — гиперболический арктангенс аргумента х;
  
•  arccoth(х) — гиперболический арккотангенс аргумента х;
  
•  arcsech (х) — гиперболический арксеканс аргумента х; 
  
• arccsch(х) — гиперболический арккосеканс аргумента х. 
  

Примеры применения данных функций в Maple:

> arcsinh(1);



> arccosh(0.4);



> arctanh(1/3);



> arccoth(0.4);



> arcsech(0.78);



> arccsch(1.8);



 

Степенные и логарифмические функции:

• ехр — экспоненциальная функция;
  
• ilog10 — целочисленный логарифм по основанию 10 (возвращает целую часть от логарифма по основанию 10);
  
• ilog — целочисленный логарифм (библиотечная функция, возвращающая целую часть от натурального логарифма);
  
• ln — натуральный логарифм;
  
• log — логарифм по заданному основанию (библиотечная функция);
  
• log10 — логарифм по основанию 10;
  
• sqrt — квадратный корень. 
  

Примеры применения данных функций в Maple:

> exp(2.);



> ln(3);



> ilog2(4.);



> log10(1000.);



> sqrt(16);




Список использованной литературы

1. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н.
   

Сборник задач по математическому анализу. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. институтов. Изд. 4-е, доп., М., «Просвещение», 1973, 256 с.

2. Берман Г.Н.
   

Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. – 20-е изд. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 384 с.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г.
   

Основы математического анализа: в 2-х ч. Часть I: Учеб.: для вузов. -6-е изд. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002.-648 с. – (Курс высшей математики и математической физики)- ISBN 5-9221-0130-7 (Вып. 1)

4. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г.
   

Пределы, непрерывность:-М.: Просвещение, 1977, С.,-79 с.

5. Виленкин Н.Я., Иванов-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
   

Алгебра и математический анализ: учеб. Пособие для школьников и кл. с углубл. изучением математики: 11 кл.- 9-е изд., доп.- М.: Мнемозина, 2002. – 238 с.: ил. – ISBN 5-346-00151-4.

6. Справочник по математикедля средней школы. Цыпкин А. Г. / Под ред. С.А. Степанова. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1991.
   

7. Дьяконов В.
   

Maple 7: учебный курс - СПб.: Питер, 2002.

8. Матросов А.В.
   

Maple 6. Решение задач высшей математики и механики – СПб.: БХВ – Петербург, 2001.

9. Электронный учебник по Maple 7: D:\ dosapp\ uchebnik\ Учебник по Maple 7.
   

10. Рогановский Н.М.
    

Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие .- Мн.: Высш. шк., 1990.- 267 с.: ил. ISBN 5-339-00170-9.

11. Лапчик М.П.
    

Методика преподавания информатики: учеб. пособие для студ. пед. вузов/ М.П. Лапчик, И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер; под общей ред. М.П. Лапчика.- 3- е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2006.- 624 с.


12. Интернет.