Geum.ru

Павлова Ирина Андреевна исследование

Вид материалаИсследование

Содержание


2. Рассмотрим рациональную функцию y=(x2-x+1)/(x-1).
Подобный материал:
1   2   3   4   5
§4. Примеры исследования функций в среде МП Maple

Определим схематично пункты исследования математических функций в Maple.


П.П.
Пункт схемы
Оператор МП Maple

1
Обнуление значений всех переменных
Оператор Restart;

2
Задание функции
Y(x):=x->f(x);

3
Значение функции в точке a
Y(a);

4
Область определения функции
Решение неравенств с помощью оператора Solve(f(x), х = а .. b);

5
Непрерывность функции
Оператор Iscont(f(x), х = а .. b); или график с помощью оператора Plot(f(x), х = а .. b);

6
Точки разрыва функции
Оператор Discont(f(x), х = а .. b);

7
Сингулярные точки функции
Оператор Singular(f(x), х = а .. b);

8
Точки пересечения графика функции с осями координат
Опреатор Solve(f(x)=0, х = а .. b); или Fsolve(f(x)=0, х );

9
Пределы функции на границах области определения
Оператор Limit(f(x),x=a); или Limit(f(x), x=a, rigth); – предел функции в точке а справа,

Limit(f(x), x=a, left); – предел функции в точке а слева.

10
Экстремумы функции
Оператор Extrema(f,{cond},x,’s’);

11
Первая производная функции
Оператор Diff(f(x),x);

12
Максимальное значение функции на отрезке
Оператор Maximize(f,x,x=x1..x2);

13
Минимальное значение функции на отрезке
Оператор Minimize(f, x, x=x1..x2);

14
Вторая производная функции
Оператор Diff(f(x),x,x); или

Diff(f(x),x$2);

15
Асимптоты графика функции
Находим коэффициенты асимптоты с помощью оператора Limit(f(x),x=a);

16
Построение графика функции c асимптотами
Оператор Plot({f(x), kx+b}, х = а .. b);



Приведём наши исследования математических функций в Maple.

> restart;

1. Рассмотрим степенную функцию y=x3-1.5x2-6x+1.

> y:=x->x3-1.5*x2-6*x+1;



Построим график данной функции.

> plot(y(x),x=-infinity..+infinity,color=blue,scaling=constrained);



Проверим, является ли функция непрерывной.

> iscont(y(x),x=-infinity..+infinity);



Найдём сингулярные точки данной функции.

> singular(y(x));



Получили, что данная функция непрерывна на всей числовой прямой. Тогда очевидно, что областью определения данной функции является вся числовая прямая. Исследуем поведение функции на границах её области определения.

> limit(y(x),x=-infinity);



> limit(y(x),x=+infinity);



Получили, что при неограниченном возрастании аргумента х значение функции также неограниченно возрастает, а при неограниченном убывании аргумента х значение функции также неограниченно убывает.

Выясним, является ли данная функция чётной или нечётной.

> if y(-x)=y(x) then

print('чётная') elif y(x)=-y(-x) then

print('нечётная')

else

print('Никакая')

fi;



Найдём асимптоты исследуемой функции. Вертикальных асимптот данная функция не имеет, так как областью её определения является вся числовая прямая. Наклонная асимптота имеет вид y=kx+b. Найдём коэффициенты k и b вычислением соответствующих пределов.

> k1:=limit(y(x)/x,x=-infinity);



> k2:=limit(y(x)/x,x=infinity);



Так как оба предела бесконечные, заключаем, что исследуемая функция наклонных асимптот не имеет. Отсюда делаем вывод, что область значений данной функции - интервал (-infinity, infinity).

Далее найдём точки пересечения графика функции с осью Ох.

> unassign('x');


> fsolve(y(x)=0,x);



Найдём точки пересечения функции с осью Oy.

> y(0);



Найдём экстремумы функции.

> extrema(y(x),{},x,'s');

s;






Далее найдём эксиремумы функции с помощью первой производной.

> p1:=diff(y(x),x);



Построим график первой производной.

> plot(p1,x=-infinity..+infinity,color=blue,scaling=constrained);



Находим точки пересечения первой производной с осью Ох.

> solve(p1,x);



Найдём интервалы возрастания и убывания функции. Для этого найдём значения первой производной на интервалах (-infinity,-1), (-1,2) и (2, infinity).

> x:=-10;



> y(x):=p1;



> x:=1.5;



> y(x):=p1;



> x:=10;



> y(x):=p1;



Получили, что при значении аргумента х, принадлежащем интервалу (-infinity,-1), значение первой производной функции положительно, значит, исследуемая функция на данном интервале возрастает. При значении аргумента х, принадлежащем интервалу (-1,2), значение первой производной функции отрицательно, значит, исследуемая функция на данном интервале убывает. При значении аргумента х, принадлежащем интервалу (2, infinity), значение первой производной функции положительно, значит, исследуемая функция на данном интервале снова возрастает. Так как при переходе через точку х=-1 первая производная исследуемой функции меняет знак с плюса на минус, то отсюда заключаем, что точка х=-1 является точкой максимума исследуемой функции. А так как при переходе через точку х=2 первая производная меняет знак с минуса на плюс, то отсюда заключаем, что точка х=2 является точкой минимума данной функции. Найдём соответственно максимальное и минимальное значения функции в данных точках.

> ymax:=y(-1);



> ymin:=y(2);



Находим максимальное и минимальное значения исследуемой функции.

> maximize(y(x),x=-infinity..+infinity);



> minimize(y(x),x=-infinity..infinity);



Найдём интервалы вогнутости и выпуклости функции. Для этого найдём производную 2-го порядка.

> p2:=diff(y(x),x$2);



Построим график производной 2-го порядка.

> plot(p2,x=-infinity..infinity,color=blue,scaling=constrained);



Находим точки пересечения графика производной 2-го порядка с осью Ох.

> fsolve(p2=0,x);



Далее находим интервалы вогнутости вверх и вниз исследуемой функции и точки перегиба функции. Для этого выясним, какие значения принимает вторая производная исследуемой функции на интервалах (-infinity,0.5) и (0.5, infinity).

> x:=-10;



> y(x):=p2;



> x:=10;



> y(x):=p2;



Получили, что на интервале (-infinity,0.5) вторая производная исследуемой функции принимает отрицательные значения, значит, на этом интервале график данной функции направлен вогнутостью вниз. На интервале (0.5, infinity) вторая производная исследуемой функции принимает положительные значения, значит, на этом интервале график данной функции направлен вогнутостью вверх.Так как при переходе через точку х= 0.5 вторая производная исследуемой функции меняет знак, значит, точка х=0.5 является точкой перегиба исследуемой функции. Найдём значение данной функции в этой точке.

> y(0.5);



Построим график данной функции.

> pf:=plot({y(x),[1,1.5]},x=-5..5,y=-5..5,color=blue):

c:=plottools[circle]([-1,4.5], 0.2, color=red):

b:=plottools[circle]([2,-9], 0.2, color=red):

plots[display]({pf,b,c},view=[-5..5,-10..5],scaling=constrained);




2. Рассмотрим рациональную функцию y=(x2-x+1)/(x-1).

> restart;

> y:=x->(x2-x+1)/(x-1);



Построим график данной функции на промежутке (-infinity, infinity).

> plot(y(x),x=-infinity..+infinity,color=blue,scaling=constrained);



Построим более точный график данной функции.

> plot(y(x),x=-10..10,-10..10,color=blue,discont=true,scaling=constrained);



Проверим, является ли функция непрерывной на всей числовой прямой.

> iscont(y(x),x=-infinity..+infinity);



Получили, что данная функция не является непрерывной на всей числовой прямой. Найдём точки нарушения её непрерывности.

> discont(y(x),x);



> limit(y(x),x=1,left);

limit(y(x),x=1,right);






Так как предел исследуемой функции в точке х=1 бесконечен, значит точка х=1 является точкой разрыва второго рода для данной функции.

Найдём сингулярные точки данной функции.

> singular(y(x));



Тогда очевидно, что областью определения данной функции является объединение двух интервалов (-infinity, 1) и (1, infinity). Исследуем поведение функции на границах её области определения.

> limit(y(x),x=-infinity);



> limit(y(x),x=+infinity);



Получили, что при неограниченном возрастании аргумента х значение функции также неограниченно возрастает, а при неограниченном убывании аргумента х значение функции также неограниченно убывает.

Выясним, является ли данная функция чётной или нечётной.

> if y(-x)=y(x) then

print('чётная') elif y(x)=-y(-x) then

print('нечётная')

else

print('Никакая')

fi;



Найдём асимптоты исследуемой функции. Так как в точке х=1 функция терпит разрыв и предел функции в этой точке равен бесконечности, значит, данная точка является вертикальной асимптотой данной функции. Наклонная асимптота имеет вид f=kx+b. Найдём коэффициенты k и b вычислением соответствующих пределов.

> k1:=limit(y(x)/x,x=-infinity);



> k1:=limit(y(x)/x,x=infinity);



Значит, коэффициент k=1. Найдём коэффициент b.

> k:=1;



> b:=limit(y(x)-k*x,x=infinity);



Получили, что коэффициент b=0. Значит, наклонная асимптота имеет вид:

> y1:=k*x+b;



Далее найдём точки пересечения графика функции с осью Ох.

> unassign('x');

> fsolve(y(x)=0,x);

Получили, что точек пересечения с осью Ox исследуемая функция не имеет. Найдём точки пересечения функции с осью Oy.

> y(0);



Найдём экстремумы функции.

> extrema(y(x),{},x,'s');

s;





Далее найдём эксиремумы функции с помощью первой производной.

> p1:=diff(y(x),x);



Построим график первой производной.

> plot(p1,x=-infinity..+infinity,color=blue,scaling=constrained);




Находим точки пересечения первой производной с осью Ох.

> solve(p1,x);



Найдём интервалы возрастания и убывания функции. Для этого найдём значения первой производной на интервалах (-infinity,0), (0,1), (1,2) и (2, infinity).

> x:=-10;



> y(x):=p1;



> x:=1/2;



> y(x):=p1;



> x:=3/4;



> y(x):=p1;



> x:=10;



> y(x):=p1;



Получили, что при значении аргумента х, принадлежащем интервалу (-infinity,0), значение первой производной функции положительно, значит, исследуемая функция на данном интервале возрастает. При значении аргумента х, принадлежащем интервалу (0,1), значение первой производной функции отрицательно, значит, исследуемая функция на данном интервале убывает. При значении аргумента х, принадлежащем интервалу (1,2), значение первой производной функции отрицательно, значит, исследуемая функция на данном интервале убывает. При значении аргумента х, принадлежащем интервалу (2, infinity), значение первой производной функции положительно, значит, исследуемая функция на данном интервале снова возрастает. Так как при переходе через точку х=0 первая производная исследуемой функции меняет знак с плюса на минус, то отсюда заключаем, что точка х=0 является точкой максимума исследуемой функции. А так как при переходе через точку х=2 первая производная меняет знак с минуса на плюс, то отсюда заключаем, что точка х=2 является точкой минимума данной функции. Найдём соответственно максимальное и минимальное значения функции в данных точках.

> ymax:=y(0);



> ymin:=y(2);




Находим максимальное и минимальное значения исследуемой функции.

> maximize(y(x),x=-infinity..+infinity);



> minimize(y(x),x=-infinity..infinity);



Найдём производную 2-го порядка.

> p2:=diff(y(x),x$2);



Построим график производной 2-го порядка.

> plot(p2,x=-infinity..infinity,color=blue,scaling=constrained);



Построим более точный график данной функции.

> plot(p2,x=-5..5,-5..10,color=blue,discont=true,scaling=constrained);



Находим точки пересечения графика производной 2-го порядка с осью Ох.

> solve(p2,x);

Получили, что точек пересечения с осью Ох вторая производная исследуемой функции не имеет. Значит, точек перегиба данная функция не имеет. Тогда, учитывая точку разрыва х=1, находим интервалы вогнутости вверх и вниз исследуемой функции. Для этого выясним, какие значения принимает вторая производная исследуемой функции на интервалах (-infinity,1) и (1, infinity).

> x:=-10;



> y(x):=p2;



> x:=10;



> y(x):=p2;



Получили, что на интервале (-infinity,1) вторая производная исследуемой функции принимает отрицательные значения, значит, на этом интервале график данной функции направлен вогнутостью вниз, то есть функция выпукла вверх. На интервале (1, infinity) вторая производная исследуемой функции принимает положительные значения, значит, на этом интервале график данной функции направлен вогнутостью вверх, то есть функция выпукла вниз.

> plot({y(x),k*x+b},x=-5..5,view=[-5..5,-5..5],scaling=constrained);