План Определение неопределенного интеграла Свойства неопределенного интеграла
Вид материала | Лекция |
Содержание2. Свойства неопределенного интеграла 4. Основные методы вычисления неопределенного интеграла Метод непосредственного интегрирования |
- Вопросы к экзамену по математическому анализу для студентов 1-го курса специальности, 25.55kb.
- Правила нахождения первообразных. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница., 67.43kb.
- Курсовой проект расчет определенного интеграла, 190.12kb.
- Лекция №6. Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля. Метод переменных, 65.05kb.
- Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства., 79.79kb.
- Анализа и теории функций календарныйпла нучебных занятий по дисциплине "Высшая математика"., 46.65kb.
- Календарно-тематический план по дисциплине математический анализ 1 (второй семестр), 145.16kb.
- Невропатия, обусловленная моноклональной IgM гаммапатией неопределенного значения, 162.06kb.
- Программа курса лекций, 99.83kb.
- Утверждаю, 111.39kb.
Лекция №8 (2 часа)
Неопределенный интеграл
План
- Определение неопределенного интеграла
- Свойства неопределенного интеграла
- Таблица интегралов
- Основные методы вычисления неопределенного интеграла
1. Определение неопределенного интеграла
В
![](images/294972-nomer-m22901e6a.gif)
![](images/294972-nomer-m396b9c35.gif)
![](images/294972-nomer-1df58776.gif)
![](images/294972-nomer-m396b9c35.gif)
![](images/294972-nomer-m6a12d0c4.gif)
Определение 7.1. Функция
![](images/294972-nomer-1df58776.gif)
![](images/294972-nomer-m396b9c35.gif)
![](images/294972-nomer-7efc5a37.gif)
Пример 8.1. Найти первообразную от функции
![](images/294972-nomer-37125493.gif)
![](images/294972-nomer-61edc277.gif)
![](images/294972-nomer-m396b9c35.gif)
![](images/294972-nomer-m4d57f7b8.gif)
Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается не однозначно. В рассмотренном примере первообразной для функции
![](images/294972-nomer-37125493.gif)
![](images/294972-nomer-61edc277.gif)
![](images/294972-nomer-3561bf94.gif)
![](images/294972-nomer-m4dbd990a.gif)
![](images/294972-nomer-5767697b.gif)
![](images/294972-nomer-m4738647d.gif)
Теорема 8.1. Если функция
![](images/294972-nomer-1df58776.gif)
![](images/294972-nomer-m396b9c35.gif)
![](images/294972-nomer-7efc5a37.gif)
![](images/294972-nomer-m396b9c35.gif)
![](images/294972-nomer-1df58776.gif)
![](images/294972-nomer-677cc96e.gif)
Из данной теоремы следует, что выражение (7.2) охватывает совокупность всех первообразных от данной функции.
Введем теперь понятие неопределенного интеграла.
Определение 8.2. Если функция
![](images/294972-nomer-1df58776.gif)
![](images/294972-nomer-m396b9c35.gif)
![](images/294972-nomer-677cc96e.gif)
![](images/294972-nomer-m146d6af7.gif)
![](images/294972-nomer-7688aa9c.gif)
![](images/294972-nomer-m396b9c35.gif)
![](images/294972-nomer-m64aac94d.gif)
![](images/294972-nomer-m5bc1a2f6.gif)
![](images/294972-nomer-m5547f17b.gif)
2. Свойства неопределенного интеграла
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
![](images/294972-nomer-mcc85e71.gif)
2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
![](images/294972-nomer-eccd486.gif)
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.
![](images/294972-nomer-m60a04523.gif)
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности, т.е.:
![](images/294972-nomer-m53070676.gif)
5. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла, т.е.:
![](images/294972-nomer-m1f2695fe.gif)
3 Таблица интегралов
1.
![](images/294972-nomer-m16a8ee63.gif)
2.
![](images/294972-nomer-569ecb78.gif)
3.
![](images/294972-nomer-m1ead974a.gif)
4.
![](images/294972-nomer-128546c8.gif)
5.
![](images/294972-nomer-24c88970.gif)
6.
![](images/294972-nomer-668bf585.gif)
7.
![](images/294972-nomer-m2e3ed8ca.gif)
8.
![](images/294972-nomer-62250ff1.gif)
9.
![](images/294972-nomer-m2cc1f947.gif)
10.
![](images/294972-nomer-m45809fd7.gif)
11.
![](images/294972-nomer-m5f4d1a80.gif)
12.
![](images/294972-nomer-2d3d10d.gif)
13.
![](images/294972-nomer-m675da250.gif)
14.
![](images/294972-nomer-2e915f2a.gif)
4. Основные методы вычисления неопределенного интеграла
Пусть требуется найти неопределенный интеграл
![](images/294972-nomer-m146d6af7.gif)
1. Метод непосредственного интегрирования. Используя свойства неопределенного интеграл, а также выполняя элементарные математические преобразования подынтегральной функции, исходный интеграл можно привести к неопределенному интегралу табличного вида.
Пример 8.2. Найти неопределенный интеграл
![](images/294972-nomer-14fba4a.gif)
Используя пятое свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянную 2. Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду:
![](images/294972-nomer-m3fd2a5be.gif)
2. Замена переменной. Пусть требуется найти неопределенный интеграл
![](images/294972-nomer-m146d6af7.gif)
![](images/294972-nomer-e12b39f.gif)
![](images/294972-nomer-88b9923.gif)
![](images/294972-nomer-5a204e62.gif)
![](images/294972-nomer-328a36ac.gif)
Пример 8.3. Найти неопределенный интеграл
![](images/294972-nomer-m9070546.gif)
Сделаем замену переменной
![](images/294972-nomer-7b748ddf.gif)
![](images/294972-nomer-50a219aa.gif)
![](images/294972-nomer-6581a4b9.gif)
Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции (см. п.1 в таблице интегралов), найдем:
![](images/294972-nomer-3488d50d.gif)
Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:
![](images/294972-nomer-m3447a7d0.gif)
3. Интегрирование по частям. Пусть
![](images/294972-nomer-mcbbf10b.gif)
![](images/294972-nomer-7a89d403.gif)
![](images/294972-nomer-m5547f17b.gif)
![](images/294972-nomer-301e280e.gif)
Интегрируя, получим:
![](images/294972-nomer-m9962b48.gif)
Отсюда:
![](images/294972-nomer-6168816c.gif)
Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.
Пример 8.4. Найти неопределенный интеграл
![](images/294972-nomer-2da2603.gif)
Введем следующие обозначения:
![](images/294972-nomer-36e330d5.gif)
Тогда дифференцируя первое выражение и интегрируя второе, получим:
![](images/294972-nomer-270a7d6a.gif)
Теперь подставив в формулу (8.12) введенные нами обозначения (8.13) и (8.14), получим:
![](images/294972-nomer-m2e02f1a8.gif)
4. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.
Рассмотрим следующие случаи:
а) В знаменателе интегрируемой функции квадратный трехчлен f(x) =
![](images/294972-nomer-263c6442.gif)
Преобразуем его, выделив полный квадрат.
![](images/294972-nomer-30df7423.gif)
Введем обозначение
![](images/294972-nomer-m23183167.gif)
![](images/294972-nomer-366e6da.gif)
Сделаем в последнем интеграле замену переменной:
![](images/294972-nomer-m4e27ff0b.gif)
![](images/294972-nomer-mf46e171.gif)
Получим:
![](images/294972-nomer-2da6809.gif)
Пример 8.5.
Вычислить интеграл:
![](images/294972-nomer-mff2c5f1.gif)
б) Подынтегральная функция имеет вид
![](images/294972-nomer-60be3f8.gif)
![](images/294972-nomer-m3f7cbeab.gif)
Таким образом, исходный интеграл можно представить в виде суммы:
![](images/294972-nomer-6ccc377c.gif)
Как вычислять второй интеграл, мы рассмотрели в пункте
![](images/294972-nomer-m734afb91.gif)
![](images/294972-nomer-7bb86d08.gif)
![](images/294972-nomer-39020c19.gif)
![](images/294972-nomer-m2b777953.gif)
Таким образом:
![](images/294972-nomer-m73966dd6.gif)
Окончательно получим:
![](images/294972-nomer-md4f1377.gif)
Пример. 7.6
![](images/294972-nomer-m7bebef07.gif)