Лекция №6. Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля. Метод переменных состояния
Вид материала | Лекция |
СодержаниеПоследовательность расчета с использованиеминтеграла Дюамеля Метод переменных состояния Методика составления уравнений состояния Таблица 1. Таблица соединений |
- Лекция №4. Операторный метод расчета переходных процессов, 59.84kb.
- Контрольная работа ( типовой расчет) №3 " Расчет переходных процессов в электрических, 11.69kb.
- Лекция № Расчет переходных процессов в линейных цепях. Операторный метод. Некоторые, 48.92kb.
- Лабораторная работа №1 2 исследование переходных процессов, 92.12kb.
- Юркевич Валерий Дмитриевич лекции, 22.95kb.
- Нформаційні системи І моделювання, 103.77kb.
- Курсовой проект расчет определенного интеграла, 190.12kb.
- Моделирование переходных электромеханических процессов в пвк анарэс, 55.75kb.
- Методические указания к выполнению курсового расчёта на тему: «Анализ и моделирование, 58.09kb.
- Лекция 19. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, 34.61kb.
Лекция №6. Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля.
Метод переменных состояния.
Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости


При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как


Пусть в момент времени




В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения


В момент времени



Полный ток



Заменяя конечный интервал приращения времени


Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.
Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости

Последовательность расчета с использованием
интеграла Дюамеля
Определение функции


Запись выражения



О


Подстановка найденных функций в (1) и интегрирование определенного интеграла.
В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.
Исходные данные для расчета:



Переходная проводимость





Полученный результат аналогичен выражению тока, определенному в предыдущей лекции на основе формулы включения.
Метод переменных состояния
Уравнения элекромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.
Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.
Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.
К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:
-независимость уравнений;
-возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.
Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.
Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.
При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные




Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид


Здесь








Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений

В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи



По законам Кирхгофа для данной цепи запишем



Поскольку


или в матричной форме записи

А В
Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):

С D
Вектор начальных значений


Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния.
Методика составления уравнений состояния
Эта методика включает в себя следующие основные этапы:
1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.
2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4,б).
3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.
Таблица 1. Таблица соединений
| 11 | 22 | u |
33 | -1 | 0 | 0 |
44 | 1 | 1 | 1 |
J | 1 | 0 | |
Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.
Осуществляется расписывание таблицы по столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму.
В рассматриваемом случае (равенство



При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками, противоположными табличным:

Эти уравнения совпадают соответственно с соотношениями (6) и (5).
Из (7) непосредственно вытекает

Таким образом, формализованным способом получены уравнения, аналогичные составленным выше с использованием законов Кирхгофа.