Проценко Ніна Федорівна, викладач правових дисциплін, спеціаліст вищої категорії Унавчально-методичному посібнику висвітлюються комплексно питання про закон
| Вид материала | Закон |
- Маляренко Світлана Олексіївна, спеціаліст вищої категорії, «старший учитель». «Нестандартні, 102.6kb.
- В. М. Захарова Використання інтерактивних методів навчання на урок, 682.45kb.
- Заступник директора з навчально-виховної роботи, вчитель математики вищої категорії,, 1763.48kb.
- Програма для вищих медичних навчальних закладів І-ІІ рівнів акредитації за спеціальністю, 2244.39kb.
- Вданій роботі подано методичні рекомендації, щодо використання методу проектів у курсі, 231.92kb.
- Програма вступного іспиту на базі освітньо-професійної програми підготовки молодшого, 194.52kb.
- Кияниця Ніна Віталіївна викладач української мови та літератури вищої категорії Тема,, 153.54kb.
- Довідка про підсумки проведення міських предметних олімпіад, 318.23kb.
- Формування ужиткових компетенцій при викладанні хімії Ряшина С.І., викладач вищої категорії,, 2216.75kb.
- Узгоджено: затверджую, 594.17kb.
Зараз «брехун» зазвичай вважається характерним прикладом тих труднощів, до яких веде змішення двох мов: «наочної мови», на якій мовиться про лежачу поза мовою дійсність, і «метамови», на якій говорять про найнаочнішу мову.
У повсякденній мові немає відмінності між цими рівнями: і про дійсність, і про мову ми говоримо на одній і тій же мові. Наприклад, людина, рідною мовою якого є російська мова, не бачить ніякої особливої різниці між твердженнями: «Стекло прозоро» і «Вірно, що стекло прозоро», хоча одне з них говорить про скло, а інше — про вислів щодо скла.
Якби у когось виникла думка про необхідність говорити про світ на одній мові, а про властивості цієї мови — на іншому, він міг би скористатися двома різними існуючими мовами, допустимий російським і англійським. Замість того, щоб просто сказати: «Корова — цей іменник» сказав би «Корова is а noun», а замість: «Твердження «Стекло не прозоро» помилково» вимовив би: «Стекло не прозоро» is a false» . При такому використанні двох різних мов сказане про світ ясно відрізнялося б від сказаного про мову, за допомогою якої говорять про світ. Насправді, перші вислови відносилися б до російської мови, тоді як другі — до англійського.
Якби далі нашому знавцеві мов захотілося висловитися з приводу якихось обставин, що стосуються вже англійської мови, він міг би скористатися ще однією мовою, допустимий німецьким. Для розмови про це останнє можна було б удатися, покладемо, до іспанської мови і так далі.
Виходить, таким чином, своєрідна драбинка, або ієрархія мов, кожен з яких використовується для цілком певної мети: на першому говорять про наочний світ, на другому — про цю першу мову, на третьому — про другу мову і так далі Таке розмежування мов по області їх застосування — рідкісне явище в звичайному житті. Але в науках, що спеціально займаються, подібно до логіки, мовами, воно іноді виявляється вельми корисним. Мова, на якій міркують про світ, зазвичай називають наочною мовою. Мову, використовувану для опису наочної мови, іменують метамовою.
Ясно, що, якщо мова і метамова розмежовуються вказаним чином, твердження «Я брешу» вже не може бути сформульовано. Воно говорить про помилковість того, що сказане російською мовою, і, значить, відноситься до метамови і повинне бути висловлене англійською мовою. Конкретно, воно повинне звучати так: («Все сказане мною по-російськи помилково»), в цьому англійському твердженні нічого не мовиться про нього самого, і ніякого парадоксу не виникає.
Розрізнення мови і метамови дозволяє усунути парадокс «брехуна». Тим самим з'являється можливість коректно, без суперечності визначити класичне поняття істини: істинним є вислів, відповідний описуваній ним дійсності.
Поняття істини, як і все інші семантичні поняття, має відносний характер: воно завжди може бути віднесене до певної мови.
Як показав польський логік А. Тарський, класичне визначення істини повинне формулюватися в мові ширшому, ніж та мова, для якої воно призначене. Іншими словами, якщо ми хочемо вказати, що означає оборот «вислів, істинний в даній мові» потрібно, крім виразів цієї мови, користуватися також виразами, яких в нім немає.
А. Тарський ввів поняття семантично замкнутої мови. Така мова включає, крім своїх виразів, їх імена, а також, що важливо підкреслити, вислову про істинність формульо-ваних в нім пропозицій.
Межі між мовою і метамовою в семантично замкнутій мові не існує. Засоби його настільки багаті, що дозволяють не тільки щось затверджувати про внеязыковой реальність, але і оцінювати істинність таких тверджень. Ці засоби досить, зокрема, для того, щоб відтворити в мові антиномію «брехуна». Семантично замкнута мова вияв-ляється, таким чином, внутрішньо суперечливим. Кожна природна мова є, очевидно, семантично замкнутим.
Єдино прийнятний шлях для усунення антиномії, а значить, і внутрішній суперечності — це згідно А. Тарському відмова від вживання семантично замкнутої мови. Цей шлях прийнятний, звичайно, тільки у разі штучних, формалізованих мов, що допускають ясний підрозділ на мову і метамову. У природних же мовах з їх неясною структурою і можливістю говорити про все на одній і тій же мові такий підхід не дуже реальний. Ставити питання про внутрішню несуперечність цих мов не має сенсу. Їх багаті виразні можливості мають і свою зворотну сторону — парадокси.
« Бути спантеличеним завжди...»
Отже, існують вислови, що говорять про свою власну істинність або помилковість. Ідея, що такого роду вислови не є осмисленими, дуже стара. Її відстоював ще старо-грецький логік Хрісіпп.
В середні віки англійський філософ і логік У. Оккам заявляв, що твердження «Всякий вислів помилковий» безглуздо, оскільки воно говорить в числі іншого і про свою власну помилковість. З цього твердження прямо виходить суперечність. Якщо всякий вислів помилковий, то це відноситься і до самого даного твердження; але те, що воно помилкове, означає, що не всякий вислів є помилковим. Аналогічно йде справа і з твердженням «Всякий вислів істинний». Воно також повинне бути віднесене до безглуздих і також веде до суперечності: якщо кожен вислів істинний, то істинним є і заперечення саме цього вислову, тобто вислів, що не всякий вислів істинний.
Чому, проте, вислів не може осмислено говорити про свою власну істинність або помилковість?
Вже сучасник У. Оккама, французький філософ XIV століття Ж. Бурідан, не був згоден з його рішенням. З погляду звичайних уявлень про безглуздя виразу типу «Я брешу», «Всякий вислів істинний (помилково)» і тому подібне цілком осмислені. Про що можна подумати, про те можна висловитися — такий загальний принцип Же. Бурідана. Людина може думати про істинність твердження, яке він вимовляє, значить, він може і висловитися про це. Не всі твердження, що говорять про самих собі, відносяться до безглуздих. Наприклад, твердження «Ця пропозиція написана по-російськи» є істинним, а твердження «В цій пропозиції десять слів» помилкові. І обидва вони абсолютно осмислені. Якщо допускається, що твердження може говорити і про саме собі, то чому воно не здатне з сенсом говорити і про таке своїй властивості, як істинність?
Сам Ж- Бурідан рахував вислів «Я брешу» не безглуздим, а помилковим. Він обґрунтовував це так. Коли чоловік затверджує якась пропозиція, він стверджує тим самим, що воно істинне. Якщо ж пропозиція говорить про себе, що воно само є помилковим, то воно є тільки скороченим формулюванням складнішого виразу, що затверджує одночасно і свою істинність, і свою помилковість. Цей вираз суперечливий і, отже, помилково. Але воно ніяк не безглузде.
Аргументація Ж. Бурідана і зараз іноді вважається переконливою.
Є і інші напрями критики того вирішення парадоксу «брехуна», яке було в деталях розвинено А. Тарським. Чи дійсно в семантично замкнутих мовах — а адже такі всі природні мови — немає ніякої протиотрути проти парадоксів цього типу?
Якби це було так, те поняття істини можна було б визначити строгим чином тільки у формалізованих мовах. Тільки у них вдається розмежувати наочну мову, на якій міркують про навколишній світ, і метамову, на якій говорять про цю мову. Ця ієрархія мов будується за зразком засвоєння іноземної мови за допомогою рідного. Вивчення такої ієрархії привело до багатьом цікавим виводам, і в певних випадках вона істотна. Але її немає в природній мові. Чи дискредитує це його? І якщо так, то в якій саме мірі? Адже в нім поняття істини все-таки уживається, і зазвичай без всяких ускладнень. Чи є введення ієрархії єдиним способом виключення парадоксів, подібних до «брехуна»?
У 30-і роки відповіді на ці питання представлялися, поза сумнівом, ствердними. Проте зараз минулої одностайності вже немає, хоча традиція усувати парадокси даного типу шляхом «розшаровування» мови залишається пануючою.
Останнім часом все більше уваги привертають так звані егоцентричні вирази. У них зустрічаються слова, подібні «я», «це», «тут», «тепер», і їх істинність залежить від того, коли, ким і де вони уживаються. Відома розповідь про купця, який з міркувань реклами вивісив оголошення: «Сьогодні — за готівку, завтра — в кредит». Він вирішив, що це оголошення ні до чого його не зобов'язує: ні у який день не можна сказати, що сьогодні якраз той день, коли наступило завтра. Висловлюється думка, що така ж приблизно хитрість ховається і за «брехуном».
У твердженні «Цей вислів є помилковим» зустрічається слово «це». До якого саме об'єкту воно відноситься? «Брехун» може говорити про те, що слово «це» не відноситься до сенсу даного твердження. Але тоді до чого воно відноситься, що позначає? І чому даний сенс не може бути все-таки позначений словом «це»?
Не вдаючись тут до деталей, варто відзначити тільки, що в контексті аналізу егоцентричних виразів «брехун» наповнюється абсолютно іншим змістом, ніж раніше. Виявляється, він вже застерігає не від змішення мови і метамови, а указує на небезпеки, пов'язані з неправильним вживанням слова «це» і подібні до нього егоцентричних слів.
Проблеми, що зв'язувалися впродовж століть з «брехуном», радикально мінялися залежно від того, чи розглядався він як приклад двозначності, або ж як вираз, що зовні представляється осмисленим, але за своєю суттю безглузде, або ж як зразок змішення мови і метамови, або ж, нарешті, як типовий приклад невірного вживання егоцентричних виразів. І немає упевненості в тому, що з цим парадоксом не виявляться зв'язаними в майбутньому і інші проблеми.
Відомий сучасний фінський логік і філософ Р. фон Врігт писав про свою роботу, присвячену «брехунові», що даний парадокс у жодному випадку не повинен розумітися як локальна, ізольована перешкода, усунена одним винахідливим рухом думки. «Брехун» зачіпає багато найбільш важливих тем логіки і семантики; це і визначення істини, і тлумачення суперечності і докази, і ціла серія важливих відмінностей: між пропозицією і виразимою ним думкою, між вживанням виразу і його згадкою, між сенсом імені і об'єктом, що позначається ним.
Аналогічно йде справа і з іншими логічними парадоксами. «Антиномії логіки, — пише Р. фон Врігт, — спантеличили з моменту свого відкриття і, ймовірно, спантеличуватимуть нас завжди. Ми винні, я думаю, розглядати їх не стільки як проблеми, чекаючі рішення, скільки як невичерпний сирий матеріал для роздуму. Вони важливі, оскільки роздум про них піднімає найбільш фундаментальні питання всієї логіки, а значить, і всього мислення».
На закінчення цієї розмови про «брехуна» можна пригадати курйозний епізод з того часу, коли формальна логіка ще викладалася в школі. У підручнику логіки, виданому в кінці 40-х років, школярам восьмого класу пропонувалося як домашнє завдання — в порядку, так би мовити, розминки — знайти помилку, допущену в цьому простенькому на вигляд парадоксі: «Я брешу». І хай це не покажеться дивним, вважалося, що школярі в більшості своїй успішно справляються з таким завданням.
Нерозв'язна суперечка
У основі одного знаменитого парадоксу лежить неначе невелика подія, що трапилася дві з гаком тисячі років назад і не забуте до цих пір.
У знаменитого софіста Протагора, що жив в V столітті до нової ери, був учень на ім'я Еватл, що навчався праву. За укладеним між ними договором Еватл повинен був заплатити за навчання лише в тому випадку, якщо виграє свій перший судовий процес. Якщо ж він цей перший процес програє, він взагалі не зобов'язаний платити. Проте, закінчивши навчання, Еватл не почав брати участь в процесах. Це тривало досить довго, терпіння вчителя вичерпалося, і він подав на свого учня до суду. Таким чином, для Еватла це перший процес; від нього йому вже не відкрутитися. Свою вимогу Протагор обґрунтував так:
— Яким би не було вирішення суду, Еватл повинен буде заплатити мені. Він або виграє цей свій перший процес, або програє. Якщо виграє, то заплатить через наш договір. Якщо програє, то заплатить згідно цьому рішенню.
Судячи з усього, Еватл був здібним учнем, оскільки він відповів Протагору:
— Дійсно, я або виграю процес, або програю його. Якщо виграю, вирішення суду звільнить мене від обов'язку платити. Якщо вирішення суду буде не в мою користь, значить, я програв свій перший процес і не заплачу через наш договір.
Спантеличений таким оборотом справи, Протагор присвятив цій суперечці з Еватлом особливий твір «Тяжба про плату». На жаль, воно, як і велика частина написаного Протагором, не дійшло до нас. Проте потрібно віддати належне Протагору, що відразу відчув за простим судовим казусом проблему, заслуговуючу спеціального дослідження.
Р. Лейбніц, сам юрист за освітою, також віднісся до цієї суперечки серйозно. У своїй докторській дисертації «Дослідження про заплутані казуси в праві» він намагався показати, що всі випадки, навіть найзаплутаніші, подібно до тяжби Протагора і Еватла, повинні знаходити правильний дозвіл на основі здорового глузду. По думці Р. Лейбніца, суд повинен відмовити Протагору за невчасністю пред'явлення позову, але залишити, проте, за ним право зажадати сплати грошей Еватлом пізніше, а саме після першого виграного ним процесу.
Було запропоновано багато інших вирішень даного парадоксу.
Посилалися, зокрема, на те, що вирішення суду повинне мати велику силу, чим приватна домовленість двох осіб. На це можна відповісти, що, не будь цій домовленості, якій би незначній вона ні здавалася, не було б ні суду, ні його рішення. Адже суд повинен винести свою ухвалу саме по її приводу і на її основі.
Зверталися також до загального принципу, що всяка праця, а значить і праця Прота-гора, повинні бути сплачений. Але ж відомо, що цей принцип завжди мав виключення, тим більше в рабовласницькому суспільстві. До того ж він просто неприкладений до конкретної ситуації суперечки: адже Протагор, гарантуючи високий рівень навчання, сам відмовлявся приймати плату у разі невдачі в першому процесі свого учня.
Іноді міркують так. І Протагор і Еватл — обидва мають рацію частково, і жоден з них в цілому. Кожен з них враховує тільки половину можливостей, вигідну для себе. Повний або всесторонній розгляд відкриває чотири можливості, з яких тільки половина вигідна для одного з тих, що сперечаються. Яка з цих можливостей реалізується, це вирішить не логіка, а життя. Якщо вирок суддів матиме велику силу, чим договір, Еватл повинен буде платити, тільки якщо Програє процес, тобто через вирішення суду. Якщо ж приватна домовленість ставитиметься вище, ніж вирішення суддів, то Протагор отримає плату тільки у разі програшу процесу Еватлу, тобто через договір з Протагором.
Ця апеляція до «життя» остаточно все заплутує. Чим, якщо не логікою, можуть керуватися судді в умовах, коли обставини, що все відносяться до справи, абсолютно ясні? І що це буде за «керівництво», якщо Протагор, що претендує на оплату через суд, доб'ється її, лише програвши процес?
Втім, і вирішення Р. Лейбніца, що здається спочатку переконливим, тільки небагато чим краща рада суду, чим неясне зіставлення «логіки» і «життя». По суті, Г. Лейбніц пропонує змінити заднім числом формулювання договору і звести наклеп, що першим за участю Еватла судовим процесом, результат якого вирішить питання про оплату, не повинен бути суд за позовом Протагора. Думка ця глибока, але не має відношення до конкретного суду. Якби в початковій домовленості була така обмовка, потреби в судовому розгляді взагалі не виникло б.
Якщо під вирішенням даного утруднення розуміти відповідь на питання, винен Еватл сплатити Протагору чи ні,, то всі ці, як і всі інші мислимі рішення, є, звичайно, неспроможними. Вони ппедстчвляют собою не більше ніж відхід від істоти суперечки, є, так би мовити, софістичними прийомами і хитрощами в безвихідній і нерозв'язній ситуації. Бо ні здоровий глузд, ні якісь загальні принципи, що стосуються соціальних відносин, не здатні вирішити суперечку.
Неможливо виконати разом договір в його первинній формі і вирішення суду, яким би останнє не було. Для доказу цього достатньо простих засобів логіки. За допомогою цих же засобів можна також показати, що договір, не дивлячись на його цілком безневинний зовнішній вигляд, внутрішньо суперечливий. Він вимагає реалізації логічно неможливого положення: Еватл винен одночасно і сплатити за навчання і разом з тим не платити.
« Вихід» з безвихідного положення
Людському розуму, звиклому не тільки до своєї сили, але і до своєї гнучкості і навіть виверткості, важко, звичайно, змиритися з цією абсолютною безвихідністю і визнати себе загнаним в безвихідь. Це особливо важко тоді, коли тупикова ситуація створюється самим цим розумом: він, так би мовити, оступається на рівному місці і догоджає в свої власні мережі. І проте доводиться визнати, що іноді, і втім не так вже рідко, угоди і системи правив, що склалися стихійно або введені свідомо, приводять до нерозв'язних, безви-хідних положень. Приклад з недавнього шахового життя ще раз підтвердить цю думку.
Міжнародні правила проведення шахових змагань зобов'язують шахістів записувати партію хід за ходом, ясно і розбірливо. До недавнього часу в правилах було вказано також, що шахіст, що пропустив через нестачу часу запис декількох ходів, винен, «як тільки його цейтнот закінчиться, негайно доповнити свій бланк, записавши пропущені ходи». На основі цієї вказівки один суддя на шаховій олімпіаді 1980 року (Мальта) перервав партію, що проходила в жорстокому цейтноті, і зупинив годинник, заявивши, що контрольні ходи зроблені і, отже, пора привести в порядок запису партій.
— Але дозвольте, — закричав учасник, що знаходився на межі програшу і розраховував тільки на загострення пристрастей в кінці партії, — адже жоден прапорець ще не впав і ніхто і ніколи (так теж записано в правилах) не може підказувати, скільки зроблено ходів!
Суддю підтримав, проте, головний арбітр, що заявив, що дійсно, оскільки цейтнот закінчився, треба, слідуючи букві правив, приступити до запису пропущених ходів.
Сперечатися в цій ситуації було безглуздо: самі правила завели в безвихідь. Залишалося тільки змінити їх формулювання так, щоб подібні випадки не могли виникнути в майбутньому.
Це і було зроблено на конгресі Міжнародної шахової федерації, що проходив в той же час: замість слів «як тільки цейтнот закінчиться» в правилах тепер записано: «Як тільки прапорець вкаже на закінчення часу».
Цей приклад наочно показує, як слід поступати в тупикових ситуаціях. Сперечатися про те, яка сторона має рацію, марно: суперечка нерозв'язна, і переможця в нім не буде. Залишається тільки змиритися з досадою з сьогоденням і поклопотатися про майбутньє. Для цього потрібно так переформулировать початкові угоди або правила, щоб вони не заводили більш за нікого в таку ж безвихідну ситуацію.
Зрозуміло, подібний спосіб дій не ніяке «вирішення нерозв'язної суперечки» і не «вихід з безвихідного положення». Це швидше зупинка перед непереборною перешкодою і дорога в обхід його.
У Стародавній Греції користувалася великою популярністю розповідь про крокодила і матери, співпадаючий по своєму логічному змісту з парадоксом «Протагор і Еватл».
Крокодил вихопив у єгиптянки, що стояла на березі ріки, її дитини. На її благання повернути дитину крокодил, проливши, як завжди, крокодилову злізу, відповів:
— Твоє нещастя зворушило мене, і я дам тобі шанс отримати назад дитину. Вгадай, віддам я його тобі чи ні. Якщо відповіси правильно, я поверну дитину. Якщо не вгадаєш, я його не віддам.
Подумавши, мати відповіла:
— Ти не віддаси мені дитини.
— Ти його не отримаєш, — уклав крокодил. — Ти сказала або правду, або неправду. Якщо те, що я не віддам дитини — правда, я не віддам його, оскільки інакше сказане мною не буде правдою. Якщо сказане — неправда, значить, ти не вгадала, і я не віддам дитини по домовленості.
Проте матери це міркування не здалося переконливим.
— Але ж якщо я сказала правду, то ти віддаси мені дитину, як ми і домовилися. Якщо ж я не вгадала, що ти не віддаси дитини, то ти винен мені його віддати, інакше сказане мною не буде неправдою.
Хто має рацію: мати або крокодил? До чого зобов'язує крокодила дана ним обіцянка? До того, щоб віддати дитину або, навпаки, щоб не віддавати його? І до того і до іншого одночасно. Це обіцянка внутрішньо суперечливо, і, таким чином, воно нездійсненно через закони логіки.
Парадокс Рассела
Найзнаменитішим з відкритих вже в нашому віку парадоксів є антиномія, виявлена Б. Расселом і повідомлена їм в листі к Г. Фреге. Цю ж антиномію обговорювали одночасно в Геттінгене німецькі математики Е. Цермело и Д. Гільберт.
Ідея носилася в повітрі, і її публікацію провело враження бомби, що розірвалася. Цей парадокс викликав в математиці, на думку Д. Гільберта, «ефект повної катастрофи». Нависнула загроза над найпростішими і важливішими логічними методами, найзвичайнішими і кориснішими поняттями.
Відразу ж стало очевидним, що ні в логіці, ні в математиці за всю довгу історію їх існування не було вироблено абсолютно нічого, що могло б послужити основою для усунення антиномії. Явно виявився необхідним відхід від звичних способів мислення. Але з якого місця і в якому напрямі? Наскільки радикальною повинна була стати відмова від сталих способів теоретизування?
З подальшим дослідженням антиномії переконання в необхідності принципово нового підходу неухильно росло. Через півстоліття після її відкриття фахівці з підстав логіки і математики А. Френкель і І. Бархиллел вже без всяких обмовок затверджували: «Ми вважаємо, що будь-які спроби вийти з положення за допомогою традиційних (тобто що мали ходіння до XX сторіччя) способів мислення, що до цих пір незмінно провалювалися, свідомо недостатні для цієї мети».
Сучасний американський логік X. Каррі писав трохи пізніше про цей парадокс: «В термінах логіки, відомої в XIX столітті, положення просто не піддавалося поясненню, хоча, звичайно, в наше освічене століття можуть знайтися люди, які побачать (або поду-мають, що побачать), в чому ж полягає помилка».
Парадокс Рассела в первинній його формі пов'язаний з поняттям множини, або класу.
Можна говорити про безліч різних об'єктів, наприклад про безліч всіх людей або про безліч натуральних чисел. Елементом першої множини буде всяка окрема людина, елементом другого — кожне натуральне число. Допустимо також самі множини розглядати як деякі об'єкти і говорити про безліч множин. Можна ввести навіть такі поняття, як безліч всіх множин або безліч всіх понять.
Щодо будь-якої довільно узятої множини представляється осмисленим запитати, є воно своїм власним елементом чи ні. Множини, що не містять себе як елементу, назвемо звичайними. Наприклад, безліч всіх людей не є людиною, так само як множина атомов—это не атом. Незвичайними будуть множини, що є власними елементами. Наприклад, мно-жиною, об'єднуючою всі множини, є множина і, значить, містить само себе як елемент.
Очевидно, що кожна множина є або звичайною, або незвичайною.
Розглянемо тепер безліч всіх звичайних множин. Оскільки воно множина, про нього теж можна питати, звичайне воно або незвичайне. Відповідь, проте, виявляється такою, що бентежить. Якщо воно звичайне, то згідно своєму визначенню повинно містити само себе як елемент, оскільки містить всі звичайні множини. Але це означає, що воно є незвичайним множиною. Допущення, що нашою множиною є звичайна множина, приводить, таким чином, до суперечності. Значить, воно не може бути звичайним. З іншого боку, воно не може бути також незвичайним: незвичайна множина містить само себе в яккості елемента, а елементами нашої множини є тільки звичайні множини. У результаті приходимо до висновку, що безліч всіх звичайних множин не може бути ні звичайною, ні незвичайною множиною.
Отже, безліч всіх множин, що не є власними елементами, є свій елемент в тому і лише тому випадку, коли воно не є таким елементом. Це явна суперечність. І отримано його на основі найправдоподібніших припущень і за допомогою безперечних неначе кроків.
Суперечність говорить про те, що такої множини просто не існує. Але чому воно не може існувати? Адже воно складається з об'єктів, що задовольняють чітко певній умові, причому само умова не здається якоюсь винятковою або неясною. Якщо так просто і ясно задана множина не може існувати, то в чому, власне, полягає відмінність між можливими і неможливими множинами? Вивід про неіснування даної множини звучить несподівано і вселяє неспокій. Він робить наше загальне поняття множини аморфним і хаотичним, і немає гарантії, що воно не здатне породити якісь нові парадокси.
Парадокс Рассела чудовий своєю крайньою спільністю. Для його побудови не потрібні які-небудь складні технічні поняття, як у разі деяких інших парадоксів, достатньо понять «множини» і «елементу множини». Але ця простота якраз і говорить про його фундаментальність: він зачіпає найглибші підстави наших міркувань про множини, оскільки говорить не про якісь спеціальні випадки, а про множини взагалі.
Парадокс Рассела не має специфічно математичного характеру. У нім використовується поняття множини, але не зачіпаються якісь особливі, пов'язані саме з математикою його властивості. Це стає очевидним, якщо переформулировать парадокс в чисто логічних термінах.
Про кожну властивість можна, ймовірно, питати, прикладено воно до самого собі чи ні. Властивість бути гарячим, наприклад, неприкладено до самого собі, оскільки само немає гарячим; властивість бути конкретним теж не відноситься до самого собі, бо це абстрактна властивість. Але властивість бути абстрактним, будучи абстрактним, прикладено до самого собі. Назвемо ці непридатні до самих собі властивості неприкладений ы мі. Чи застосовна властивість бути неприкладеним до самого собі? Виявляється, що незастосовність є неприкладеною тільки в тому випадку, якщо вона немає такій. Це, звичайно, парадоксально.
Логічна, така, що стосується властивостей різновид антиномії Рассела такий же парадоксальний, як і математична, така, що відноситься до множин, її різновид.
Б. Рассел запропонував також наступний популярний варіант відкритого ним парадоксу.
Уявимо, що рада одного села так визначила обов'язки перукаря цього села: голити всіх чоловіків села, які не голяться самі, і лише цих чоловіків. Чи винен він голити самого себе? Якщо так, то він відноситиметься до тим, хто голиться сам, а тих, хто голиться сам, він не повинен голити. Якщо немає, він належатиме до тим, хто не голиться сам, і, значить, він повинен буде голити себе. Ми приходимо, таким чином, до висновку, що цей перукар голить себе в тому і лише тому випадку, коли він не голить себе. Це, зрозуміло, неможливо.
Міркування про перукаря спирається на допущення, що такий перукар існує. Отримана суперечність означає, що це допущення помилкове, і немає такого жителя села, який голив би всіх тих і лише тих її жителів, які не голяться самі.
Обов'язки перукаря не здаються на перший погляд суперечливими, тому вивід, що його не може бути, звучить декілька несподівано. Але цей вивід не є все-таки парадоксальним. Умова, якій повинен задовольняти «сільський цирульник», насправді внутрішньо суперечливо і, отже, нездійсненно. Подібного перукаря не може бути в селі з тієї ж причини, по якій в ній немає людини, яка була б старша за саме себе або який народився б до свого народження.
Міркування про перукаря може бути назване псевдопарадоксом. По своєму ходу воно строге аналогічно парадоксу Рассела і цим цікаво. Але воно все-таки не є справжнім парадоксом.
Іншим прикладом такого ж псевдопарадоксу є відоме міркування про каталог.
Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, в який входили б все ті і лише ті бібліографічні каталоги, які не містять посилання на самих себе. Чи повинен такий каталог включати посилання на себе?
Неважко показати, що ідея створення такого каталога неосуществима; він просто не може існувати, оскільки винен одночасно і включати посилання на себе і не включати.
Цікаво відзначити, що складання каталога всіх каталогів, що не містять посилання на самих себе, можна представити як нескінченний процес, що ніколи не завершується.
Допустимо, що в якийсь момент був складений каталог, скажемо Кь що включає всі відмінні від нього каталоги, що не містять посилання на себе. Із створенням К1 з'явився ще один каталог, що не містить посилання на себе. Оскільки завдання полягає в тому, щоб скласти повний каталог всіх каталогів, що не згадують себе, то очевидно, що Кл не є її рішенням. Він не згадує один з таких каталогів — самого себе. Включивши в К.1 це згадка про нього самого, отримаємо каталог К2 В нім згадується К1 але не сам К2 додавши до К2 таку згадку, отримаємо Кз, який знову-таки неповний через те, що не згадує самого себе. І так далі без кінця.
Парадокси Греллінга і Беррі
Цікавий логічний парадокс був відкритий німецькими логіками К. Греллінгом и Л. Нельсоном («парадокс Греллінга»). Цей парадокс можна сформулювати дуже просто.
Деякі слова, що позначають властивості, володіють тим самим властивістю, яку вони називають. Наприклад, прикметник «російське» само є російським, «багатоскладове» — само багатоскладове, а «п'ятискладове» само має п'ять складів. Такі слова, що відносяться до самих собі, називаються самозначними, або ауто-логічними. Подібні слів не так багато, в переважній більшості прикметники не володіють званими кожним з них властивістю. «Нове» немає, звичайно, новим, «гарячіше» — гарячим, «одно-складове» — що складається з одного складу, а «англійське» — англійським. Слова, що не мають властивості, що позначається ними, називаються іншозначними або гетерологічними. Очевидно, що всі прикметники, що позначають властивості, неприкладені до слів, будуть гетерологічними.
Це розділення прикметників на дві групи здається ясним і не викликає заперечень. Воно може бути поширене і на іменники: «слово» є словом, «іменник» — іменником, але «годинник» — це не годинник і «дієслово» — не дієслово.
Парадокс виникає, як тільки задається питання: до якої з двох груп відноситься само прикметник «гетерологічне»? Якщо воно аутологическое, воно володіє властивістю, що позначається ним, і повинно бути гетеро-логічним. Якщо ж воно гетерологічне, воно не має званої ним властивості і повинно бути тому аутологічним. У наявності парадокс.
По аналогії з цим парадоксом легко сформулювати інші парадокси такої ж структури. Наприклад, є або не є самоубийцей той, хто вбиває кожного несамоубийцу і не вбиває жодну самовбивцю?
Виявилось, що парадокс Греллінга був відомий ще в середні століття як антиномія виразу, що не називає самого себе. Можна уявити собі відношення до софізмів і парадоксів в новий час, якщо проблема, що вимагала перед цим відповіді і що викликала жваві спори, виявилася раптом забутою і була переоткрыта тільки п'ятсот років опісля!
Ще одна, зовні проста антиномія була вказана на самому початку нашого століття Д. Беррі.
Безліч натуральних чисел нескінченна. Безліч же тих імен цих чисел, які є, наприклад, в російській мові і містять менше ніж, допустимий, сто слів, є кінцевим. Це означає, що існують такі натуральні числа, для яких в російській мові немає імен, що складаються менш ніж із ста слів. Серед цих чисел є, очевидно, найменше число. Його не можна назвати за допомогою російського виразу, що містить менше ста слів. Але вираз: «Найменше натуральне число, для якого не існує в російській мові його складне ім'я, що складається менш ніж із ста слів», є якраз ім'ям цього числа! Це ім'я тільки що сформульоване в російській мові і містить тільки дев'ятнадцять слів. Очевидний парадокс: названим виявилося те число, для якого немає імені!
Два-три приклади
Добре відомий опис Н. Гоголем ігри Чичикова з Ніздряним в шашки. Їх партія так і не закінчилася. Чичиков відмітив, що Ноздрев шахраює, і відмовився грати, побоюючись програшу. Недавно один фахівець з шашок відновив по репліках тих, що грали хід цієї партії і показав, що позиція Чичикова не була ще безнадійною.
Допустимо, що Чичиков все-таки продовжив гру і врешті-решт виграв партію, не дивлячись на шахрайство партнера. По домовленості Ноздрев, що програв, повинен віддати Чичикову п'ятдесят рублів і «яке-небудь щеня середньої руки або золота печатка до годинника». Але Ноздрев швидше за все відмовляється платити, упираючи на те, що він сам всю гру шахраював, а гра не по правилах — це як би і не гра. Чичиков може заперечити, що розмова про шахрайство тут ні до місця: шахраював сам проигравший, значить, він тим більше повинен платити.
Насправді, повинен був би платити Ноздрев в подібній ситуації чи ні? З одного боку, так, оскільки він програв. Але з іншої — ні, оскільки гра велася не по правилах, а це зовсім і не гра. Значить, ні що виграв, ні проигравшего в такій «грі» не може бути. Якби шахраював сам Чичиков, Ноздрев, звичайно, не зобов'язаний був би платити. Але, проте, шахраював Ноздрев, що якраз програв...
Тут відчувається щось парадоксальне: «з одного боку...», «з іншого боку...» і «з обох боків» в рівній мірі переконливо, хоча ці сторони несумісні. Винен все-таки Ноздрев платити чи ні?
Є сенс залишити рішення цього питання читачеві.
У кожного з нас є певні інтуїтивні уявлення про логіку, вироблені деякі сталі навики послідовного і доказового міркування. Корисно було б зараз, спираючись на них, спробувати вирішити, дійсно тут парадокс чи ні. Такий самостійний роздум дозволить в якійсь мірі відчути, наскільки невизначеною і навіть ненадійною є наша інтуїтивна логіка і наскільки складно буває відокремити просте утруднення від справжнього парадоксу. Ще чого один приклад для роздуму.
Раніше йшла мова про сенс безглуздого. З'ясувалося неначе, що сенс безглуздого в тому, що воно не має сенсу. Чи не є це положення парадоксальним?
Мовилося також про спроби відхилитися від парадоксу «брехуна», обмежуючи круг об'єктів, про які можна висловитися. Чи не є парадоксом само твердження: «Жоден вислів не повинен говорити про саме собі»? Адже воно стосується всіх висловів і, значить, говорить щось і про саме собі.
Ці приклади для роздуму не настільки складні, щоб читач не справився з ними самостійно.
Що таке логічний парадокс!
Ніякого вичерпного переліку логічних парадоксів не існує, та він і неможливий.
Розглянуті парадокси — це тільки частина зі всіх виявлених до теперішнього часу. Цілком імовірно, що в майбутньому будуть відкриті і багато інших і навіть абсолютно нові їх типи. Само поняття парадоксу не є настільки визначеним, щоб вдалося скласти список хоч би вже відомих парадоксів.
«Теоретико-множинні парадокси є дуже серйозною проблемою, не для математики, проте, а швидше для логіки і теорії пізнання», — пише австрійського математика і логіка До. Гедель. «Логіка несуперечлива. Не існує ніяких логічних парадоксів, — затверджує соьетский математик Д. Бочвар. — Такого роду розбіжності іноді істотні, іноді словесны. Справа багато в чому в тому, що саме розуміється під «логічним парадоксом».
Необхідною ознакою логічних парадоксів вважається логічний словник. Парадокси, відношувані до логічних, повинні бути сформульовані в логічних термінах. Проте в логіці немає чітких критеріїв ділення термінів на логічних і внелогические. Логіка, що займається правильністю міркувань, прагне звести поняття, від яких залежить правильність практично вживаних виводів, до мінімуму. Але цей мінімум не зумовлений однозначно. Крім того, в логічних термінах можна сформулювати і позалогічні твердження. Чи використовує конкретний парадокс тільки чисто логічні посилки, далеко не завжди вдається визначити однозначно.
Логічні парадокси не відділяються жорстко від всіх інших парадоксів, подібно до того кал останні не відмежовуються ясно від всього непарадоксального і такого, що узгод-жується з пануючими уявленнями.
На перших порах вивчення логічних парадоксів здавалося, що їх можна виділити по порушенню деякого, ще не дослідженого положення або правила логіки. Особливо активно претендував на роль такого правила введений Б. Расселом «принцип порочного круга». Цей принцип стверджує, що сукупність об'єктів не може містити членів, визначних тільки за допомогою цієї ж сукупності.
Всі парадокси мають одну загальну властивість — самозастосовність, або цірдоулярність. У кожному з них об'єкт, про який йде мова, характеризується за допомогою деякої сукупності об'єктів, до якої він сам належить. Якщо ми виділяємо, наприклад, людину як найхитрішого в класі, ми робимо це за допомогою сукупності людей, до якої відноситься і дана людина (за допомогою «його класу»). І якщо ми говоримо: «Цей вислів помилковий», ми характеризуємо вислів, що цікавить нас, шляхом посилання на сукупність всіх помилкових висловів, що включає його.
У всіх парадоксах має місце самозастосовність, а значить, є як би рух по кругу, що приводить врешті-решт до початкового пункту. Прагнучи охарактеризувати об'єкт, що цікавить нас, ми звертаємося до тієї сукупності об'єктів, яка включає його. Проте виявляється, що сама вона для своєї визначеності потребує даного об'єкту і не може бути ясним чином зрозуміла без нього. У цьому крузі, можливо, і криється джерело парадоксів.
Ситуація ускладнюється, проте, тим, що такий круг є також в багатьох абсолютно непарадоксальних міркуваннях. Циркулярною є величезна безліч найзвичайніших, нешкідливіших і разом з тим зручніших способів виразу. Такі приклади, як «найбільший зі всіх міст», «найменше зі всіх натуральних чисел», «один з електронів атома заліза» і т. п., показують, що далеко не всякий випадок самоприменимости веде до суперечності і що вона важлива не тільки в звичайній мові, але і в мові науки.
Просте посилання на використання самоприменимых понять недостатнє, таким чином, для дискредитації парадоксів. Необхідний ще якийсь додатковий критерій, відокремлюючий самопримевимость, ведучу до парадоксу, від всіх інших її випадків.
Були багато пропозицій із цього приводу, але вдалого уточнення циркулярное™ так і не було знайдено. Неможливим виявилося охарактеризувати циркулярність так, щоб кожне циркулярне міркування вело до парадоксу, а кожен парадокс був підсумком деякого циркулярного міркування.
Спроба знайти якийсь специфічний принцип логіки, порушення якого було б відмітною особливістю всіх логічних парадоксів, ні до чого визначеному не привела.
Поза сумнівом корисною була б якась класифікація парадоксів, що підрозділяє їх на типи і види, групує одні парадокси і що протиставляє їх іншим. Проте і в цій справі нічого стійкого не було досягнуто.
Англійський логік Ф. Рамсей, померлий в 1930 році, коли йому ще не виповнилося і двадцяти семи років, запропонував розділити всі парадокси на синтаксичних і семантичних. До перших відноситься, наприклад, парадокс Рассела, до других — парадокси «брехуна», Греллінга і ін.
На думку Ф. Рамсея, парадокси першої групи містять тільки поняття, що належать логіці або математиці. Другі включають такі поняття, як «істина», «визначність», «іменування», «мова», що не є строго математичними, а відносяться швидше до лінгвістики або навіть теорії пізнання. Семантичні парадокси зобов'язані, як здається, своїм виникненням не якійсь помилці в логіці, а смутності або двозначності деяких нелогічних понять, тому поставлені ними проблеми стосуються мови і повинні вирі-шуватися лінгвістикою.
Ф. Рамсею здавалося, що математикам і логікам немає чого цікавитися семантичними парадоксами.
Надалі виявилось, проте, що деякі з найбільш значних результатів сучасної логіки були отримані якраз у зв'язку з глибшим вивченням саме цих «нелогічних» парадоксів.
Запропоноване Ф. Рамсєєм ділення парадоксів широко використовувалося на перших порах і зберігає деяке значення і тепер. Разом з тим стає все яснішим, що це ділення досить-таки розпливчато і спирається по перевазі на приклади, а не на поглиблений порівняльний аналіз двох груп парадоксів. Семантичні поняття зараз отримали точні визначення, і важко не визнати, що ці поняття дійсно відносяться до логіки. З розвитком семантики, що визначає свої основні поняття в термінах теорії множин, відмінність, проведене Ф. Рамсєєм, все більш стирається.
Усунути ще не означає пояснити
Які висновки для логіки виходять з існування парадоксів?
Перш за все наявність великого числа парадоксів говорить якраз про силу логіки як науки, а не про її слабкість, як це може показатися. Виявлення парадоксів не випадково співпало якраз з періодом найбільш інтенсивного розвитку сучасної логіки і найбільших її успіхів.
Перші парадокси були відкриті ще до виникнення логіки як особливої науки. Багато парадоксів було виявлено в середні віки. Пізніше вони опинилися, проте, забутими і були знов відкриті вже в нашому віку.
Середньовічним логікам не були відомі поняття «множина» і «елемент множини», введені в науку тільки в другій половині XIX століття. Але «чуття» на парадокси було вигострене в середні віки настільки, що вже в той давній час висловлювалися певні побоювання з приводу «самозастосовних» понять. Простим їх прикладом є поняття «Бути власним елементом», що фігурує в багатьох нинішніх парадоксах.
Проте такі побоювання, як і взагалі всі застереження, що стосуються парадоксів, не були до нашого століття в належній мірі систематичними і визначеними. Вони не вели до яких-небудь чітких пропозицій про перегляд звичних способів мислення і виразу.
Тільки сучасна логіка витягувала із забуття саму проблему парадоксів, відкрила або переоткрыла більшість конкретних логічних парадоксів. Вона показала далі, що способи мислення, що традиційно дослідилися логікою, абсолютно недостатні для усунення парадоксів, і вказала принципово нові прийоми поводження з ними.
Парадокси ставлять важливе питання: у чому, власне, підводять нас деякі звичайні методи утворення понять і методи міркувань? Адже вони представлялися абсолютно природними і переконливими, поки не виявилося, що вони парадоксальні.
Парадоксами підривається віра в те, що звичні прийоми теоретичного мислення самі по собі і без жодного особливого контролю за ними забезпечують надійне просування до істини.
Вимагаючи радикальних змін в надмірно довірливому підході до теоретизування, парадокси є різкою критикою логіки в її наївній, інтуїтивній формі. Вони грають роль чинника, контролююче і ставляче обмеження на шляху конструювання дедуктивних систем логіки. І цю їх роль можна порівняти з роллю експерименту, перевіряючого правильність гіпотез в таких науках, як фізика і хімія, і що примушує вносити до цих гіпотез зміни.
Парадокс в теорії говорить про несумісність допущень, лежачих в її основі. Він виступає як своєчасно виявлений симптом хвороби, без якого її можна було б і продивитися.
Зрозуміло, хвороба виявляється багатообразно, і її врешті-решт вдається розкрити і без таких гострих симптомів, як парадокси. Скажімо, підстави теорії множин були б проаналізовані і уточнені, якби навіть ніякі парадокси в цій області не були виявлені. Але не було б тієї різкості і невідкладності, з якою поставили проблему перегляду теорії множин виявлені в ній парадокси.
Парадоксам присвячена обширна література, запропоновано велике число їх пояснень. Але жодне з цих пояснень не є загальновизнаним, і скільки-небудь повної згоди в питанні про походженні парадоксів і способах позбавлення від них немає.
«За останні шістдесят років сотні книг і статей були присвячені цілі дозволу парадок-сів, проте результати вражаюче бідні порівняно з витраченими зусиллями», — пише А. Френкель. «Схоже на те, — укладає свій аналіз парадоксів X. Каррі, — що потрібний повна реформа логіки, і математична логіка може стати головним інструментом для проведення цієї реформи».
Слід звернути увагу на одну важливу відмінність. Усунення парадоксів і їх дозвіл — це зовсім не одне і те ж. Усунути парадокс з деякої теорії — означає перебудувати її так, щоб парадоксальне твердження опинилося в ній недоказовим. Кожен парадокс спирається на велике число визначень, допущень і аргументів. Його вивід в теорії є деяким ланцюжком міркувань. Формально кажучи, можна поставити під сумнів будь-яку її ланку, відкинути його і тим самим розірвати ланцюжок і усунути парадокс. У багатьох роботах так і поступають і цим обмежуються.
Але це ще не дозвіл парадоксу. Мало знайти спосіб, як його виключити, треба переконливо обгрунтувати пропоноване рішення. Само сумнів в якомусь кроці, ведучому до парадоксу, повинно бути добре обгрунтовано.
Перш за все рішення про відмову від якихось логічних засобів, використовуваних при виведенні парадоксального твердження, повинно бути пов'язано з нашими загальними міркуваннями щодо природи логічного доказу і іншими логічними інтуіціями. Якщо цього немає, усунення парадоксу виявляється позбавленим твердих і стійких підстав і вироджується в технічне по перевазі завдання.
Крім того, відмова від якогось допущення, навіть якщо він і забезпечує усунення деякого конкретного парадоксу, зовсім не гарантує автоматично усунення всіх парадоксів. Це говорить про те, що за парадоксами не слід «полювати» поодинці. Виключення одне з них завжди повинно бути настільки обґрунтовано, щоб з'явилася певна гарантія, що цим же кроком будуть усунені і інші парадокси.
Кожного разу, як виявляється парадокс, пише А. Тарський, «ми повинні піддати наші способи мислення ґрунтовної ревізії, відкинути якісь посилки, в які вірили, і удосконалити способи аргументації, якими користувалися. Ми робимо це, прагнучи не тільки позбавитися від антиномій, але і з метою не допустити виникнення нових».
І нарешті, непродумана і необережна відмова від дуже багато або дуже сильних допущень може привести просто до того, що вийде що хоча і не містить парадоксів, але істотно слабкіша теорія, що має тільки приватний інтерес.
Яким може бути мінімальний, найменш радикальний комплекс мерів, що дозволяють уникнути відомих парадоксів?
Один шлях — це виділення разом з дійсними і помилковими пропозиціями також безглуздих пропозицій. Цей шлях був прийнятий Би. Расселом. Парадоксальні міркування були оголошені ним безглуздими на тій підставі, що в них порушуються вимоги логічної граматики. Не всяка пропозиція, що не порушує правил звичайної граматики, є осмисленою — воно повинне задовольняти також правилам персоною, логічної граматики.
Б. Рассел побудував теорію логічних типів — своєрідну логічну граматику, завданням якої було усунення всіх відомих антиномій. Надалі ця теорія була істотно спрощена і отримала назву простій теорії типів.
Основна ідея теорії типів — виділення різних в логічному відношенні типів предметів, введення своєрідної ієрархії, або сходів, даних об'єктів. До нижчого, або нульовому, типу відносяться індивідуальні об'єкти, що не є множинами. До першого типу відноситься безліч об'єктів нульового типу, тобто індивідів; до другого — безліч безлічі індивідів і так далі Іншими словами, проводиться відмінність між предметами, властивостями предметів, властивостями властивостей предметів і так далі При цьому вводяться певні обмеження на конструювання пропозицій. Властивості можна приписувати предметам, властивості властивостей — приписувати властивостям і так далі Але не можна осмислено стверджувати, що властивості властивостей є у предметів.
Візьмемо серію пропозицій:
Цей будинок — червоний.
Червоне — це колір.
Колір — це оптичне явище.
У цих пропозиціях вираз «цей будинок» позначає певний предмет, слово «червоний» указує на властивість, властиву даному предмету, «бути кольором» — на властивість цієї властивості («бути червоним») і «бути оптичним явищем» — указує на властивість властивості «бути кольором», що належить властивості «бути червоним». Тут ми маємо справу не тільки з предметами і їх властивостями, але і з властивостями властивостей («властивість бути червоним має властивість бути кольором»), і навіть з властивостями властивостей.
Всі три пропозиції з приведеної серії є, звичайно, осмисленими. Вони побудовані відповідно до вимог теорії типів. А скажемо, пропозиція «Цей будинок є колір» порушує дані вимоги. Воно приписує предмету ту характеристику, яка може належати тільки властивостям, але не предметам. Аналогічне порушення міститься і в пропозиції «Цей будинок є оптичним явищем». Обидва ці пропозиції повинні бути віднесені до безглуздих.
Проста теорія типів усуває парадокс Рассела. Проте для усунення парадоксів «брехуна» і Беррі просте розділення даних об'єктів на типи вже недостатньо. Необхідно вводити додатково деяке впорядкування усередині самих типів.
Виключення парадоксів може бути досягнуте також на шляху відмови від викори-стання «дуже великих» множин, подібних до безлічі всіх множин. Цей шлях був запропонований німецьким математиком Е.Цермело, що зв'язав появу парадоксів з необмеженим конструюванням множин. Допустимі множини були визначені ним деяким списком аксіом, сформульованих так, щоб з них не виводилися відомі парадокси. Разом з тим ці аксіоми були достатньо сильні для виводу з них звичайних міркувань класичної математики, але без парадоксів. Ні ці два, ні інші шляхи усунення парадоксів, що пропонувалися, не є загальновизнаними. Немає єдиного переконання, що якась із запропонованих теорій вирішує логічні парадокси, а не просто відкидає їх без глибокого пояснення. Проблема пояснення парадоксів як і раніше відкрита і як і раніше важлива.
Парадокси — тільки симптом
У Р. Фреге, що визнається тепер багатьма найбільшим логіком минулого століття, був, на жаль, дуже поганий характер. Крім того, він був беззастережний і навіть жорстокий в своїй критиці сучасників. Можливо, тому його внесок в логіку і обґрунтування математики довго не отримували визнання. І ось коли воно почало приходити до нього, молодий англійський логік Б. Рассел написав йому, що в системі, опублікованій в першому томі його найбільш важливої книги «Основні закони арифметики», виникає суперечність. Другий том цієї книги був вже у пресі, і Г. Фреге лише додав до нього спеціальне застосування, в якому виклав цю суперечність (пізнє назване «парадоксом Рассела») і визнав, що він не здатний його усунути.
Наслідки були для Г. Фреге трагічними. Йому було тоді всього п'ятдесят п'ять років, але після випробуваного потрясіння він не опублікував більше жодної значної роботи по логіці, хоча прожив ще більше двадцяти років. Він не відгукнувся навіть на жваву дискусію, названу парадоксом Рассела, і ніяк не прореагував на численні рішення, що пропонувалися, цього парадоксу.
Враження, проведене на математиків і логіків тільки що відкритими парадоксами, добре виразив Д. Гільберт: «...стан, в якому ми знаходимося зараз відносно парадоксів, на тривалий час нестерпно. Подумайте: у математиці — цьому зразку достовірності і істинності — утворення понять і хід висновків, як їх всякий вивчає, викладає і застосовує, приводить до безглуздості. Де ж шукати надійність і істинність, якщо навіть само математичне мислення дає осічку?»
Г. Фреге був типовим представником логіки кінця XIX століття, вільної від яких би то не було парадоксів, логіки, що упевненої в своїх можливостях і претендує на те, щоб бути критерієм строгості навіть для математики. Парадокси показали, що «абсолютна строгість», досягнута нібито логікою, була не більше ніж ілюзією. Вони безперечно показали, що логіка — в тому інтуїтивному вигляді, який вона мала на рубежі століть, — потребує глибокого перегляду.
Пройшло більш за півстоліття з тих пір, як почалося жваве обговорення парадоксів. Зроблена ревізія логіки так і не привела, проте, до недвозначного їх дозволу.
І разом з тим такий стан навряд чи кому здається тепер нестерпним. З часом відношення до парадоксів стало спокійнішим і навіть терпимішим, ніж у момент їх виявлення.
Річ не лише в тому, що парадокси зробилися чимось хоча і неприємним, але проте звичним. І зрозуміло, не в тому, що з ними змирилися. Вони все ще залишаються в центрі уваги логіків, пошуки їх рішень активно продовжуються.
Ситуація змінилася перш за все в тому відношенні, що парадокси опинилися, так би мовити, локалізованими. Вони знайшли своє певне, хоча і неспокійне місце в широкому спектрі логічних досліджень.
Стало ясно, що абсолютна строгість, якою вона малювалася в кінці минулого століття і навіть іноді на початку нинішнього, — це в принципі недосяжний ідеал.
Було усвідомлено також, що немає одної-єдиної, вартою осібно проблем парадоксів. Проблеми, пов'язані з ними, відносяться до різних типів і зачіпають, по суті, всі основні розділи логіки. Виявлення парадоксу примушує глибше проаналізувати наші логічні інтуїції і зайнятися систематичною переробкою основ науки логіки. При цьому прагнення уникнути парадоксів немає ні єдиною, ні навіть, мабуть, головним завданням. Вони є хоча і важливими, але тільки приводом для роздуму над центральними темами логіки. Продовжуючи порівняння парадоксів з особливо виразними симптомами хвороби, можна сказати, що прагнення негайне виключити парадокси було б подібно до бажання зняти такі симптоми, не особливо піклуючись про саму хворобу. Потрібний не просто дозвіл парадоксів, необхідне їх пояснення, що заглиблює наші уявлення про логічні закономірності мислення.
Антиномія (суперечність закону самому собі) — поєднання обопільних суперечних висловлювань про предмет, які припускають однаково переконливі логічні обґрунтування; неусувна суперечність, що мислиться в ідеї чи законі й виявляється за спроби їх доказового формулювання.
Вчення про антиномії було ґрунтовно викладено в Канта, хоча елементи його зустрічалися вже у вченнях Зенона Елейського, Платона, Аристотеля та ін. Тривалий час антиномічні положення називалися апоріями. Термін «антиномія» був уведений у науковий вжиток німецьким філософом Р. Гокленом (XVI — XVII ст.), котрий, як відомо, відкрив один з різновидів складного скороченого силогізму, де пропущені більші засновки (тому він і називається гокленієвсь-ким соритом).
Антиномію часто розглядають як один з різновидів парадоксу.
У логіці під абсурдом зазвичай розуміється внутрішньо суперечливий вираз. У такому виразі щось затверджується і заперечується одночасно, як, скажімо, у вислові «Русалки існують, і русалок немає».
Абсурдним вважається також вираз, який зовні не є суперечливим, але з якого все-таки може бути виведене суперечність. Наприклад, в вислові «Іван Грізний був сином бездітних батьків» є тільки твердження, але немає заперечення і немає відповідно явної суперечності. Але ясно, що з цього вислову витікає очевидна суперечність: «Деяка жінка є матерью, і вона ж не є матерью».
Абсурдне як внутрішньо суперечливе не відноситься, звичайно, до безглуздого. «Розбійник четвертувався на три нерівні половини» — це, зрозуміло абсурдно, проте не безглуздо, а помилково, оскільки внутрішньо суперечливо.
Логічний закон суперечності говорить про неприпустимість одночасного твердження і заперечення. Абсурдним висловом є пряме порушення цього закону.
Розуміння абсурду як заперечення або порушення якогось встановленого закону широко поширено в природних науках.
Згідно фізиці до абсурдних відносяться такі, наприклад, твердження, що не узгоджуються з її принципами, як: «Космонавти долетіли з Юпітера до Землі за три хвилини» і «Щира молитва долає земне тяжіння і підносить людину до бога». Біологічно абсурдні вислови: «Мікроби зароджуються з грязі» і «Людина з'явився на Землі відразу у такому вигляді, в якому він існує зараз».
Ніякої особливої твердості у вживанні слова «абсурд», зрозуміло, не немає. Навіть у логіці «безглузде» і «абсурдне» нерідко уживаються як що мають одне і те ж значення і взаимозаменимые. У звичайній мові абсурдним називається і внутрішньо суперечливе, і безглузде, і взагалі все безглуздо перебільшене, окарикатурене і тому подібне
У логіці розглядаються докази шляхом «приведення до абсурду»: якщо з деякого положення виводиться суперечність, то це положення є помилковим.
Є також художній прийом — доведення до абсурду, що має, втім, з даним доказом тільки зовнішня схожість.
Про ніс американської актриси Барбари Стрейзанд один рецензент сказав: «Її довгий ніс починається від коріння волосся і кінчається у тромбона в оркестрі». Це — абсурдне перебільшення, що претендує на комічний ефект.
І ще приклад — з армійського життя, цікавий не стільки сам по собі, скільки коментарем до нього.
Новобранець-артилерист недурний, але мало цікавиться службою. Офіцер відводить його убік і говорить: «Ти для нас не годишся. Я дам тобі добру раду: купи собі гармату і працюй самостійно».
Звичайний коментар до цієї ради такий: «Рада — явна нісенітниця. Купити гармату не можна, до того ж одна людина, навіть з гарматою, не воїн. Проте за зовнішнім безглуздям переглядає очевидна і осмислена мета: офіцер, що дає артилеристові безглузду пораду, прикидається дурнем, щоб показати, як безглуздо поводиться сам артилерист».
Цей коментар показує, що в звичайній мові «безглуздим» може бути названо і цілком осмислений вислів.
« Він ходжу»
Кожна мова має певні правила побудови складних виразів кз простих, правила синтаксису. Як і всякі правила, вони можуть порушуватися, і це веде до найпростішого і, як здається, найпрозорішому типу безглуздого.
Скажімо, «якщо стіл, то стілець» безглуздо, оскільки синтаксис вимагає, щоб у фразі з «якщо... то...» на місцях многоточий стояли деякі твердження, а не імена. Пропозиція «Червоне є колір» побудовано відповідно до правил. Вираз же «є колір», що розглядається як повний вислів, синтаксично некоректно і, значить, безглуздо.
У штучних мовах логіки правила синтаксису формулюються так, що вони автоматично виключають безглузді послідовності знаків.
У природних мовах справа йде складніше. Їх синтаксис також орієнтований на те, щоб виключати безглузде. Правила його визначають круг синтаксично можливого і в більшості випадків дозволяють виявити те, що, порушуючи правила, виходить з цього круга.
В більшості випадків, але не завжди. У всіх таких мовах правила синтаксису вельми розпливчаті і невизначені, і іноді просто неможливо вирішити, що стоїть ще на межі їх дотримання, а що вже перейшло за неї.
Допустимо, вислів «Місяць зроблений із зеленого сиру» фізично неможливо і, отже, помилково. Але синтаксично воно бездоганне. Щодо ж висловів «Роза червона і одночасно блакитна» або «Звук тромбона жовтий» важко сказати з визначеністю, залишаються вони в рамках синтаксично можливого чи ні.
Крім того, навіть дотримання правил синтаксису не завжди гарантує свідомість. Пропозицію «Квадратічность п'є уява» є, судячи з усього, безглуздим, хоча і не порушує жодного правила синтаксису російської мови.
У звичайному спілкуванні багато що не висловлюється явно. Немає необхідності вимовляти вголос те, що співбесідник зрозуміє і без слів. Сенс сказаної фрази з'ясовується з контексту, в якому вона спожита. Один і той же неповний вираз в одній ситуації звучить осмислено, а в іншій опиняється позбавленим сенсу. Почувши, як хтось сказав: «Більше чотирьох», далеко не завжди можна бути упевненим, що це якась нісенітниця. Як відповідь на питання: «Котра година?» — це вираз цілком осмислено. І в загальному випадку воно всегда буде осмисленим, якщо з ситуації його вживання виявиться можливим відновити ті, що не дістають його ланки.
Контекст — це завжди відома невизначеність. Думка, що спирається на нього, про синтаксичну правильність так же невизначено, як і він сам.
Поет В. Шершеневіч вважав синтаксичні порушення хорошим засобом подолання застылости, омертвіння мови і конструював вислови, подібні «Він ходжу».
Зовні тут явне порушення правил синтаксису. Але тільки контекст здатний показати, чи відсутній в цій конструкції сенс чи і так незрозуміла вона співбесідникові. Адже вона може бути виразом незадоволеності утрудняючими рамками синтаксису. Може підкреслювати якусь незвичність або неприродність ходи того, хто «ходжу», або, навпаки, схожість її з манерою ходити що самого говорить («Він ходить, як я ходжу») і так далі Якщо відступ від правил не є простій недбалістю, а несе якийсь сенс, що уловлюється слухачем, то навіть це синтаксично свідомо неможливе поєднання не можна беззастережно віднести до безглуздого.
І потім, немає правил без порушень. Синтаксичні правила важливі, без них неможлива мова. Проте спілкування людей зовсім не демонстрація всемогутності і безумовної корисності цих правил. Дрібні, мимовільні відступи від них в практиці живої мови явище звичайне.
Іноді синтаксис порушується цілком усвідомлено, з наміром досягти за допомогою цього якогось цікавого ефекту.
Ось цитата з сучасного французького філософа: «Що таке релігійна міфологія, як не абсурдна мрія про ідеальне суспільство? Якщо всяка апологія неприборканого бажання веде до репресії? Якщо заяви про загальну майбутню свободу приховують жадання влади? Якщо релігія — це інше найменування для варварства?» При суто формальному підході тут неправильний синтаксис. Три рази умовний вислів обривається на своїй підставі і залишається без слідства. Але насправді це тільки риторичний прийом, що використовує для більшої виразності видимість відступу від синтаксичних правил.
Відоме всім з шкільних років «Подорож з Петербургу до Москви» А. Радіщева написано мовою, звучною для сучасного слуху незвично: «У одну з ночей, коли цей безстрашний коханець відправився через вали на зір своєю люб'язною, внезапу повстав ветр, йому осоружний, будущу йому на середовищі шляху його. Всі сили його немічні були на подолання розлючених вод». І дивне звучання пов'язане не з тим перш за все, що це проза віддаленого XVIII століття. «Філософи і наставники, — міркував в цей же час Д. Фонвізін, — обписали багато стоп паперу про науку жити щасливо; але видно, що ні прямого шляху до счастию не знали, бо самі жили майже в бідності, тобто нещасно». Це зовсім близько до нашої сучасної мови. У «Подорожі» ж мова нерідко нарочито ос-транеганый (від слова «дивний»), своєрідно пародіюючий піднесений стиль і архаїку. І одним із засобів цієї остранения мови служить вільне поводження з правилами синтаксису російської мови XVIII століття, не особливо, втім, що відрізняються від нинішніх його правил. Очевидно, що порушення синтаксису не веде тут ні до якої неясності сенсу.
Особливо часто страждають правила мови при зіткненні з гумором, для якого кожен штамп — серйозна загроза. «Так це давно трапилося, — жалкує один фейлетоніст, — що нікого як слід і не увиноватишь». «Учені зчіплюються, — констатує інший, — з проблеми «хижак — жертва». «Все рідше зустрічається хутряних виробів», «отшибноеть тут для молодого», «говорить охололо мисливець, заглиблюючись в точіння пили», «яка вивергнеться строгість», «мисливець, сносив самодіяльність обуток, по скелях і чертолому за мисливським об'єктом біжить босоніж», «замокнув на рундуку і текстура: «Закрито» — всі ці вирази, узяті з фейлетонів, в конфлікті з правилами мови. Але це свідомий, творчий конфлікт, покликаний змусити фразу звучати свіжо і ново. І що важливе, правила порушені, а сенс і що спирається на його розуміння залишаються.