Пособие состоит из двух самостоятельных разделов

Вид материала

Документы

Содержание Внешне не связанные регрессионные уравнения

Подобный материал:

• Пособие состоит из двух самостоятельных разделов, 1495.22kb.
• Экзамен по избранному виду спорта состоит из двух разделов теоретического и практического, 49.78kb.
• Экзамен по избранному виду спорта состоит из двух разделов теоретического и практического, 81.96kb.
• Курсовая работа по дисциплине Экономика предприятия состоит из двух разделов: теоретической, 153.63kb.
• Аннотации дисциплин, 456.29kb.
• Виктор Сергеевич Стародубцев учебное пособие, 718.78kb.
• Природоохранное и природоресурсное закон, 1307.64kb.
• -, 9049.93kb.
• Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы студентов по дисциплине, 54.29kb.
• Программа состоит из двух разделов: Примерная программа родительского всеобуча «Семейная, 451.17kb.

Внешне не связанные регрессионные уравнения

Пусть есть k = 1,...,K регрессионных уравнений и соответствующие выборки одинаковой длины i = 1,...,N:

Y_k = X_k b_k + e_k, k = 1,...,K.

Предполагается, что коэффициенты b_k в разных уравнениях не связаны между собой какими-либо ограничениями, т.е. уравнения независимы с точки зрения коэффициентов, но существует связь с точки зрения ошибок наблюдений с одним и тем же номером i. Т.е. соответствующая корреляционная матрица не является диагональной, причем все элементы этой матрицы неизвестны. Ошибки, относящиеся к наблюдениям с разными номерами, считаются независимыми.

В экономике такое может быть если наблюдения относятся к одному и тому же периоду времени. В этом случае “одновременные” ошибки могут быть сильно коррелированы (как прибыль предприятий из-за экономического цикла). Еще один пример — регрессии, относящиеся к мужьям и женам.

Если обозначить

Y = X =   b = e = ,

тогда модель можно переписать в более компактном виде:

Y= X b + e.

Пусть остатки k-й регрессии равны e_k(b_k) = Y_k – X_k b_k .

Составим матрицу E (b), столбцами которой являются e_k:

E_{k i} = Y_{k i} – X_{k i} b_{k i}.

Строки матрицы E будем обозначать E_i.

Предположение модели об ошибках состоит в том, что “одновременные” ошибки коррелированы, а “разновременные” — нет. Таким образом,

E(e_ki e_li) = w_kl и E(e_ki e_ls) = 0 (i ¹ s)

или, в матричной записи,

E (E_i(b ₀) E_i(b ₀)^T) = W и E (E_i(b ₀) E_s(b ₀)^T) = 0 (i ¹ s).

Составим из ошибок вектор-столбец по другому:

= = ,

где ошибки, относящиеся к одному и тому же наблюдению i стоят рядом.

Ковариационная матрица этого вектора ошибок является блочно-диагональной и равна

= E ( ^T) = .

Обратная к ней тоже блочно-диагональная и равна

= .

Если использовать символ Кронекера, то можно записать ковариационную матрицу не переставляя наблюдения:

V = E(e^Te) = WÄI_K

(в этих обозначениях = I_K Ä W), где I_K — единичная матрица K´K. Аналогично

V  = WÄI_K.

Чтобы оценить модель, мы должны указать распределение ошибок. Предполагаем, как обычно, что ошибки имеют нормальное распределение.

b и W — неизвестные параметры модели.

Так же как и из ошибок, составим один вектор-столбец и из остатков:

e(b) = , (b) =

Логарифмическая функция правдоподобия равна

 = – ln |V | – e^TV e + const =

= – ln | | –  ^T + const ® max

 = – ln |W| – E_iWE_i ^T+ const =

= – ln |W| – Tr (E WE ^T) + const.

В максимуме правдоподобия производная по W равна нулю:

=  W –  E ^TE = 0.

Откуда получаем W(b) = E(b)^TE(b).

При дифференцировании мы использовали правила

= A^T и = CA.


Подставим W(b) в (.), чтобы получить концентрированную функцию правдоподобия:

 = – ln |W(b)| – Tr (E W(b)E ^T) = – ln |W(b)| – Tr (E ^TE W(b)) =

= – ln |W(b)| – Tr (I_K) = – ln |W(b)| – .

Задача ® max эквивалентна задаче

|W(b)| ® min или

|E(b)^TE(b)|® min .

Выражение |E(b)^TE(b)| получило название обобщенной дисперсии .

Найдем условия первого порядка максимума концентрированной функции правдоподобия.

 ln|W(b)| = Tr (W(b)­  W(b)­).

Здесь мы используем, что

= Tr( ),

где s(A) — скалярная функция от матрицы A, а также что

= (A)^T.

 W(b)­ =  ( E^TE) = E^T = – E^T(0,...,0,X_k j,0,...,0) =

= – (0,...,0, E^TX_{k j},0,...,0).

Поэтому,

Tr (W(b)­  W(b)­) = – W(b)­E^TX_k j,

где W(b)­ — k-я строка матрицы W(b)­.

Отсюда

 ln|W(b)| = – W(b)­E^TX_k = – 2 (E^TE)­E^TX_k.

Получим условия первого порядка:

(E(b)^TE(b))­E(b)^TX_k = 0.

Эта система уравнений нелинейна относительно b. Один из возможных способов решения состоит в использовании последовательности вспомогательных регрессий. Он основан на том, что эти уравнения для оценок МП (хотя показать это технически сложно) эквивалентны уравнениям

_k = (X_k^*TX_k^*)X_k^*TY_k ,

где X_k* = (X_k, E()), E() — матрица остатков всех уравнений, кроме k-го. То есть в каждую регрессию надо добавить остатки из других регрессий.

Оценки вычисляются итеративно, начиная, например, с оценок ОМНК. Стандартные ошибки полученных в результате итераций уравнений надо скорректировать: вычислять не на основе суммы квадратов остатков из вспомогательной регрессии, а на основе суммы квадратов исходных остатков, т. е. e_k()^Te_k() = (Y_k –X_k )^T(Y_k –X_k ).

В частном случае, когда регрессоры во всех уравнениях одни и те же, оценки МП для коэффициентов b совпадут с оценками ОМНК. Различие будет только в оценке ковариационной матрицы ошибок W . Если в условии первого порядка

(E(b)^TE(b))­E(b)^TX_k = 0

взять X_k = X "k, то должно выполняться (E(b)^TE(b))­E(b)^TX = 0, откуда следует, что E(b)^TX = 0, то есть e_k(b)^TX = 0 — в каждом уравнении остатки ортогональны матрице регрессоров X. А это и есть условие минимума суммы квадратов в соответствующем уравнении.

Как и в любой модели обобщенного метода наименьших квадратов информационная матрица параметров b вычисляется по формуле

 = X ^TV X,

т.е.

 = X ^T(WÄI_K) X.

Другой подход к вычислению оценок МП состоит в использовании итеративного обобщенного МНК.

W = E(b )^TE(b ).

b  = (X ^T((W)ÄI_K)X ) X ^T((W)ÄI_K)Y.

При использовании этого метода приходится иметь дело с матрицами большой размерности.