Пособие состоит из двух самостоятельных разделов

Вид материала

Документы

Содержание Тест на нормальность

Подобный материал:

• Пособие состоит из двух самостоятельных разделов, 1495.22kb.
• Экзамен по избранному виду спорта состоит из двух разделов теоретического и практического, 49.78kb.
• Экзамен по избранному виду спорта состоит из двух разделов теоретического и практического, 81.96kb.
• Курсовая работа по дисциплине Экономика предприятия состоит из двух разделов: теоретической, 153.63kb.
• Аннотации дисциплин, 456.29kb.
• Виктор Сергеевич Стародубцев учебное пособие, 718.78kb.
• Природоохранное и природоресурсное закон, 1307.64kb.
• -, 9049.93kb.
• Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы студентов по дисциплине, 54.29kb.
• Программа состоит из двух разделов: Примерная программа родительского всеобуча «Семейная, 451.17kb.

Тест на нормальность

Задача этого параграфа — получить статистику множителя Лагранжа, которая позволила бы проверять гипотезу о том, что ошибки в регрессии распределены нормально. Идея состоит в том, чтобы рассмотреть модель с ошибкой из некоторого семейства непрерывных распределений, так чтобы нормальное распределение было частным случаем. Удобно взять, например, пирсоновское семейство распределений.

Плотность распределения (с нулевым мат. ожиданием) из пирсоновского семейства задается экспонентой функции

y(e, c) = dt.

Поскольку интеграл плотности распределения должен быть равен 1, то эту функцию следует пронормировать:

p_e(u) = .

Нулевая гипотеза (“нормальность”) заключается в том, что ошибки в линейной регрессии Y по X распределены нормально. Нормальное распределение является пирсоновским распределением с параметрами c₁ = 0, c₂ = 0:

H₀: c₁ = 0, c₂ = 0 Þ e ~ N(0, c₀) (при c₀ = s ²) .

Логарифмическая функция правдоподобия есть логарифм плотности распределения. Для i-го наблюдения:

_i = y(Y_i – X_i b) – lnexp y(t) dt.

Найдем вклад в градиент i-го наблюдения при выполнении нулевой гипотезы.

= –  X_i = – X_i.

= X_i = e_iX_i.

Производные по параметрам c_k пирсоновского распределения равны

= – = –   p_e(t)dt =

= –E() (k = 0, 1, 2).

Чтобы их вычислить, нужно вычислить производные функции y(.) по c_k (k = 0, 1, 2). Достаточно найти их при нулевой гипотезе:

=  t dt = .

= dt –  t² dt = – .

=  t³dt = .

Математические ожидания этих производных как функций от e_i равны

E() = E() = ,

E() = E( – ) = 0,

E() = E() = .


Подставим найденные выражения в градиент логарифмической функции правдоподобия, введя обозначение _i = e_i /s:

G = =  (e_i² – s ²) =  (_i² – 1),

G = = – = (3_i – _i³),

G = =  – =  (_i⁴ – 3).

В тех же обозначениях

G = = _iX_i.

Найдем информационную матрицу, учитывая, что моменты стандартного нормального распределения (h ~ N(0,1)) равны

E(h ^k) = ,

E(h⁴) = 3, E(h ⁶) = 15, E(h ⁸) = 105.

Информационная матрица для i-го наблюдения:

E(G^TG) = X_i^TX_i E_i² =  X_i^TX_i.

E(G G) = 0^T, E(GG) = 0^T,

E(GG) = (3E_i² – E_i⁴)X_i = (3 – 3)X_i = 0^T,

E((G)) =  (E_i⁴ – 2E_i² + 1) = (3 – 2 + 1) = ,

E(G G) = 0, E(G G) = 0,

E((G)) =  (E_i⁶ – 6E_i⁴ + 9E_i²) =  (15 – 6×3 + 9) = ,

E(GG) =  (E_i⁶ – E_i⁴ – 3E_i² + 3) =

=  (15 – 3 – 3 + 3) = .

E((G)) =  (E_i⁸ – 6E_i⁴ + 9) =  (105 – 6×3 + 9) = 6.

Просуммируем по всем наблюдениям и составим блок информационной матрицы, относящийся к c. Поскольку информационная матрица блочно-ди­аго­наль­ная между c и b, то для нахождения интересующей нас статистики достаточно этого блока:

 = N .

Обратная матрица:

() = .

Тест множителя Лагранжа равен LM = _c^T(_cc)_c и распределен асимптотически как c² с 2-мя степенями свободы. Градиенты здесь равны ( — нормированные остатки)

_c = .

Поэтому

LM =  ( _i(3_i – _i³))² +   ( _i(_i⁴ – 3))².

Два слагаемых, составляющих эту статистику, асимптотически независимы, и каждое распределено как c²(1). Первое слагаемое представляет собой тест на асимметрию, а второе — тест на эксцесс. Эту же статистику можно получить и с помощью других семейств распределений. Здесь мы опять сталкиваемся с локально эквивалентными альтернативами.

Точно такой же подход может быть использован в других моделях с нормально распределенными ошибками. Авторы теста Жарк и Бера (Jarque, Bera), применили этот подход к пробиту и моделям с усеченной и цензурированной зависимой переменной.