Geum.ru

О. А. Захарова теоретические основы курса математики в учебно-методическом комплекте «перспективная начальная школа» Лекция

Вид материалаЛекция

Содержание


Формирование арифметических представлений
Подобный материал:
  1   2   3   4   5   6


А. Л. ЧЕКИН, О. А. ЗАХАРОВА


ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КУРСА МАТЕМАТИКИ В УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОМ КОМПЛЕКТЕ «ПЕРСПЕКТИВНАЯ НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА»


Лекция 3


Москва

Издательство «Академкнига/Учебник»

2008


Введение


Настоящий курс разработан в рамках проекта «Перспективная начальная школа», базируясь, с одной стороны, на Федеральном компоненте государственного стандарта (2004 г.), реализуя современные представления базовой науки, с другой стороны, на концептуальных основах проекта.

При разработке курса преследовались следующие цели:

1) введение учащихся в абстрактный мир математических понятий, определенный минимумом и стандартами российского образования;

2) формирование навыка ориентации в части окружающей действительности, описываемой с помощью чисел, геометрических фигур и величин;

3) заложение способов познания окружающей действительности, основанных на математических понятиях.

В настоящем курсе математика выступает не только и не столько как отдельный пласт человеческого знания, а как инструмент познания окружающей действительности.

Основной дидактической идеей курса является рассмотрение общего через рассмотрение частного с целью познания общего. Основной методической идеей является – нетрадиционный подход к традиционному содержанию.

В курсе выделяются пять относительно самостоятельных, но в то же время, тесно переплетающихся, линий:

1) арифметическая;

2) геометрическая;

3) величинная;

4) алгебраическая;

5) алгоритмическая.

Первая линия связана с развитием понятия числа и действиями над числами; вторая, посвящена формированию геометрических представлений; третья – изучению величин; четвертая – разитию представлений и переменных величинах, уравнениях и функцилнальной пропедевтики; пятая - решению текстовых задач. Развитие каждой из линий содержательно связано с развитием остальных линий. Каждая из них на протяжении всего курса попеременно сменяет друг друга.


Формирование арифметических представлений


Особенность настоящего курса является тройственное понимание числа. Во-первых, число рассматривается как некоторое эталонное, целостное множество, т.е. множество – как единый объект, без рассмотрения составляющих его элементов. Во-вторых, число представлено как количественная характеристика конечного множества. И, в-третьих, как порядковая характеристика.

Первое – эталонное представление числа реализуется через оперирование с множествами, имеющими фиксированное число элементов. Таким множеством для числа 2 является пара ног птицы, для числа 3 – тройка лошадей, для числа 4 – лапы кошки, и т.д. Такие множества рассматриваются как целостные объекты, без расчленения их на составляющие. Установление соответствия позволяет сравнивать (по числу элементов) любое новое множество с эталонным. При взаимной однозначности такого соответствия становится возможным «приписывать» число эталона другим множествам. Такое «платоновское» видение чисел 2, 3, 4 и 5 позволяется формировать такое же целостное их представление, так и представление числа 1 в «додоробный» период1.

Рассмотрение элементов эталонных множеств (точнее, его подмножеств) происходит на аддитивной основе. Такой подход выявляет количественной характер числа (в отличии от эталонного, когда числа представляется как численно некоторого множества, жестко связанного с этим числом). Аддитивные подход позволяет обнаружить не только новую характеристику чисел, но и выйти за пределы известных множеств, актуализировав их недостаточность для описания широкого ряда объединений. Именно такая «недостаточность» служит основанием рассмотрения новых чисел от 5 до 10. Возникнув на основе объединения с числом 5, числа 6 – 10 вновь приобретают некоторый эталонный характер. Для «новых» чисел вновь подбирают множества, численность которых жестко связана с этим числом. Выделение числа 5 в качестве «псевдооснования» построения последующих чисел, дальнейшее построение курса (до двузначных чисел) происходит в пятеричной системе счисления. Такой подход является своеобразной подготовкой к введению «настоящего» основания десятичной системы и переходу во второй десяток.

Параллельно с рассмотрение числа, как количественной характеристики множеств, предполагается заложение их порядкового смысла. Установление связи и различия порядкового и количественного смысла числа необходимо по двум основаниям. Во-первых, порядковый смысл позволяет упорядочивать множество чисел, что в явном виде не обеспечивает его количественная характеристика. Во-вторых, порядковый характер числа служит основой счета, т.е. установление отношения порядка между объектам произвольной природы, основанного на отношении порядка множества чисел.

Все числа от 1 до 6, в настоящем курсе имеют две формы записи: цифровую и «точечную». Обе эти формы используются параллельно и с одинаковой интенсивностью. Введение точечной формы обусловлено рядом преимуществ, возникающих на ранних этапах обучения:

1) запись числа в точечной форме значительно проще и не требует специальных навыков письма;

2) такая форма записи «натурально» несет в себе количественную характеристику числа;

3) имея только одну форму записи (какая бы она не была), как правило, происходит отождествление понятий числа с формой его записи, с цифрой. Запись числа в двух формах позволяет удерживать постоянно это различие, без специальных указаний.

Изучение чисел первого десятка разделено на два этапа – введение чисел от 1 до 5 и 0, изучение чисел от 6 до 10. Построение первого ряда основано на количественном (теоретико-множественном) подходе, второго ряда – на аддитивном.

Основной задачей введения эталонного множества является способность учащихся распознавать множества, состоящие из соответствующего количества элементов, а не путем прямого пересчета. Такое «распознавание» основано на установлении взаимно однозначного соответствия между элементами эталонного и данного множества. Более того, установление соответствия позволяет сравнивать множества элементов без непосредственного использования чисел.

Числа второй половины первого десятка вводятся на такой же количественно (теоретико-множественной) основе: определяется объект, жестко связанный с данным числом. Однако другой становится арифметическая основа: числа от 6 до 10 вводится на основе сложения числа 5 и 1, 2, 3, 4 и 5. Потому, числа этой половины водятся после определения операции сложения.

Каждому числу от 6 до 10 предшествует рассмотрение прибавление 1, 2 и т.д. Такое сложение является, с одной стороны, частным случаем «присчитывания по одному» (до 1917г. сложение с 1 рассматривалось как отдельная операция), с другой - сложения по частям. Так, например, прибавление 3, сначала рассматривается как прибавление трех единиц, затем – 2 и 1. Неизменным остается основание сложение – число 5. Это обусловлено, определенной «выделенностью» числа 5 с одной стороны, с другой – пропедевтикой образования чисел второго десятка (с основанием 10). Само же число (от 6 до 10) появляется как расширение множества известных чисел, т.к. операция сложения на «старых» множествах становится не выполнимой.

В образовании чисел второго десятка сохраняется принцип образования чисел от 6 до 10: числа строятся на основании сложения, первое слагаемое - число первого десятка, второе – 10. Таким образом, происходит постепенное знакомство учащихся с таблицей сложения однозначных чисел.

Введение чисел от 10 до 20 основывается по представление о позиционном строении чисел. Для этого, после рассмотрения случаев сложение единицы с однозначными числами, переходят к сравнению десятка и единицы и выяснению роли каждого в образовании и записи числа. На понимании оснований образования этих чисел строится и устная нумерация – название чисел. Рассмотрение разрядного образования числа позволяет ввести и способ их сравнения (даже без непосредственного знакомства со сравниваемыми числами).

Дальнейшее изучение числового ряда происходит в следующем порядке: двузначные и трехзначные числа изучаются во втором классе, класс тысяч – в третьем классе, класс миллионов – в четвертом. Изучение натурального ряда на основе принципов письменной и устной нумерации. На каждом этапе введения нового для учащихся числового диапазона, устанавливается отношение между известным диапазоном и новым. Такой подход позволяет, во-первых, устанавливать отношение порядка между различными числами, во-вторых, знакомить учащихся со способами сравнения чисел.

Числа второго десятка и все остальные натуральные числа изучаются на основе принципов нумерации (письменной и устной) десятичной системы счисления. В программу второго класса включено изучение двузначных и трехзначных чисел. В первом учебном полугодии изучаются, главным образом, двузначные числа. При этом не следует забывать, что учащиеся уже в первом классе познакомились с понятием двузначного числа, изучили числа второго десятка и разрядный принцип нумерации (на примере разряда единиц и разряда десятков).

Изучение двузначных чисел, больших 20, осуществляется в следующей последовательности. Сначала на основе счета десятками мы предлагаем познакомить учащихся с «круглыми» двузначными числами. Два таких числа (числа 10 и 20) учащиеся уже хорошо знают. Поэтому продолжить эту последовательность в плане письменной нумерации для них не составит особого труда: запись чисел 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 возникает по аналогии. Сложнее дело обстоит с устной нумерацией. Если образование числительных тридцать, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят можно объяснить с опорой на смысловой состав этих слов, что мы попытались сделать с помощью цветового деления слова на две соответствующие части, то для числительных сорок и девяносто такой подход неприемлем. Эти числительные следует запомнить, не пытаясь вникнуть в их смысловую структуру. С другой стороны, данные числительные предоставляют хороший повод обратиться к историческому материалу: учитель может предложить учащимся одну из версий возникновения этих числительных, что явно сыграет положительную роль в развитии познавательного интереса учащихся. Особо следует сказать об употреблении термина «круглое» число. Данные числа выполняют особую роль и очень часто фигурируют в различных формулировках. Поэтому использование этого термина, на наш взгляд, целесообразно в силу его компактности в сочетании с реальной смысловой основой. Все другие названия существенно загромождают терминологию. Итак, под «круглым» числом мы понимаем целое число, запись которого заканчивается на 0. Существует такая точка зрения, что сам термин «круглое число» возник в связи с геометрической ассоциацией, которую вызывает цифра 0. Другое объяснение этого термина опирается на значение слова «круглый» в смысле слова «полный», т.е. при образовании «круглого» числа разряд единиц заполняется «полностью» и происходит переход в разряд десятков. Такие числа принято называть «круглыми» («полными») десятками. Если полностью заполняются разряд единиц и разряд десятков и происходит переход из разряда единиц в разряд десятков, а из разряда десятков в разряд сотен, то такие числа называются «круглыми» («полными») сотнями и т.п.

Устная и письменная нумерация «некруглых» двузначных чисел строится на разрядном принципе с учетом представления данного числа в виде суммы «круглого» двузначного числа и однозначного числа. Такое представление позволяет конструировать название двузначных чисел из названия «круглого» числа и названия однозначного числа.

В первом полугодии изучается новая разрядная единица – число 100. Другие трехзначные числа пока не рассматриваются. Введение числа 100 построено на идее счета десятками: 100 — это десять десятков. Запись числа 100 можно трактовать сначала как обозначение 10 десятков и 0 единиц, а потом как обозначение 1 сотни, 0 десятков и 0 единиц.

Во втором полугодии изучаемое числовое множество расширяется за счет рассмотрения трехзначных чисел. Одно трехзначное число — число 100 — учащимся уже хорошо знакомо, так как в первом полугодии изучалась тема «Десять десятков, или сотня», при рассмотрении которой было введено число 100 и обращено внимание учащихся на то, что это число является трехзначным.

Числа 200, 300, 400 и т.д. до числа 900 вводятся на основе счета десятками с опорой на то, что такие числа (как и число 100) выражают «круглое» число десятков, а именно: 20 десятков, 30 десятков, 40 десятков и т.д. Для этих чисел вводится термин «круглые» сотни, а их названия объясняются учащимся на основе разделения соответствующего числительного на две смысловые части (в таблице на странице учебника это делается с помощью цвета).

Следующим шагом в изучении трехзначных чисел является переход к рассмотрению разрядного принципа их записи. Такой переход осуществляется по аналогии с разрядным принципом записи двузначных чисел на основе введения нового разряда — разряда сотен. При этом числа 100, 200, 300,..., 900 трактуются как разрядные слагаемые этого нового разряда. После этого любое трехзначное число можно рассматривать как сумму разрядных слагаемых из разряда сотен, разряда десятков и разряда единиц.

Для построения устной нумерации трехзначных чисел произвольное трехзначное число нужно представить в виде суммы «круглых» сотен и двузначного или однозначного числа. По этой причине соответствующая тема включена в перечень тем второй части учебника.

Еще одним направлением изучения чисел во втором полугодии 2-го класса является формирование у учащихся понятия натурального ряда чисел. Базой для проведения этой работы является рассмотрение геометрической модели натурального ряда чисел в виде числового луча. Геометрическая фигура «луч» обладает двумя важными свойствами, которые уже знакомы учащимся: у луча есть начало и нет конца. Такими же свойствами обладает и натуральный ряд чисел, что и позволяет провести соответствующую работу по формированию данного понятия на основе указанного сопоставления. При этом учитель должен обязательно обратить внимание учащихся на то, что натуральный ряд чисел начинается с числа 1, а число 0 не относят к натуральным числам. Что же касается другой особенности строения натурального ряда чисел, которая заключается в его дискретности (прерывности), то формирование этого свойства должно быть основано на использовании понятий «следующий» и «предыдущий». «Шаги», которые нужно делать по числовому лучу для выполнения присчитывания или отсчитывания по одному, также работают на формирование этого свойства.

При изучении операции деления учащиеся знакомятся с понятием доли, что является важным шагом в вопросе изучения чисел: с этого момента будет проводиться систематическая работа по пропедевтике введения дробных чисел, явное знакомство с которыми предусмотрено программой 4-го класса.

Письменная нумерация трехзначных чисел ничем принципиально не отличается от письменной нумерации двузначных чисел. Новым для учащихся будет лишь появление «нового» разряда — разряда сотен. В остальном имеет место полная аналогия. С устной нумерацией трехзначных чисел дело обстоит совсем по другому: в этом случае мы не можем строить работу по аналогии с устной нумерацией двузначных чисел, а должны показать новый принцип построения числительных, который основан на знании названий «круглых» сотен и названия соответствующего двузначного или однозначного числа, которое остается слагаемым после того, как из данного трехзначного числа выделили в качестве разрядного слагаемого все содержащиеся в нем «круглые» сотни.

На примере нумерации трехзначных чисел можно и нужно обратить внимание учащихся на тот факт, что пропущенный разряд в записи числа обязательно обозначается с помощью цифры 0, а при назывании такого числа этот разряд просто пропускается.

В первом полугодии 3-го класса учащиеся продолжают изучать вопросы письменной и устной нумерации целых неотрицательных чисел. Следующей разрядной единицей, с которой им предстоит познакомиться, является тысяча. Введение этой разрядной единицы осуществляется по той же схеме, которую мы использовали при введении сотни, а именно: сначала изучается тема «Счет сотнями и “круглое” число сотен», что позволяет подвести учащихся к рассмотрению числа, состоящего из 10 сотен, а далее это число представляется в роли новой разрядной единицы с названием «тысяча». После введения тысячи учащиеся знакомятся с разрядом единиц тысяч и, соответственно, с письменной и устной нумерацией четырехзначных чисел. Далее рассматриваются еще два разряда — разряд десятков тысяч и разряд сотен тысяч. Знание письменной нумерации чисел распространяется до шестизначных чисел, а использование таблицы разрядов и классов позволяет ввести и принцип устной нумерации чисел, основанный на разбиении на классы по три разряда в каждом.

Поразрядный способ применяется и для сравнения чисел. Частные случаи применения этого способа сравнения были изучены учащимися ранее. На данном этапе изучения этого вопроса мы переходим к рассмотрению обобщений и выводу правила сравнения многозначных чисел.

Во втором полугодии 3)го класса учащиеся продолжают изучать вопросы письменной и устной нумерации целых неотрицательных чисел, но делают это главным образом в плане закрепления и повторения ранее изученного материала. Единственным нововведением в этой области является рассмотрение числа 1000000 (миллион), которое возникает в силу необходимости сопоставления таких единиц площади, как квадратный километр и квадратный метр (а также квадратный метр и квадратный миллиметр). Рассмотрение этого числа на данном этапе обучения носит пропедевтический характер: детальное изучение числа миллион как новой разрядной единицы будет проводиться в 4-м классе.

В данном же случае мы даже не выносим термин «миллион» в название темы, подчеркивая тем самым, что данное число пока не будет являться объектом нашего пристального внимания. Единственная характеристика этого числа, о которой на этом этапе обучения будет идти речь, заключена в утверждении, что 1000000 — это наименьшее семизначное число.

Что касается вопроса сравнения многозначных чисел, то включение соответствующих заданий в различные темы второго учебного полугодия продиктовано желанием предоставить учащимся возможность поупражняться в использовании хорошо знакомого им поразрядного способа сравнения чисел и довести сформированность соответствующего умения до уровня автоматизма.

Изучение чисел в первом полугодии 4-го класса, с одной стороны, осуществляется по уже хорошо известной схеме (введение новой разрядной единицы, устная и письменная нумерация расширенного числового множества, сравнение чисел на основе нумерации), а с другой — мы предлагаем классифицировать натуральные числа как четные и нечетные, что связано с возможным остатком при делении натурального числа на число 2. Введение новой разрядной единицы — миллиона — осуществляется по аналогии с введением такой разрядной единицы, как тысяча. Напомним, что геометрической моделью для числа 1000 мы избрали куб, который построен из единичных кубиков и имеет размер 10 куб. х 10 куб. х 10 куб. Если теперь 10 таких кубиков выстроить в ряд, то получится модель для числа 10 тысяч. Если далее расположить 100 таких кубиков в виде квадрата, то получится модель для числа 100 тысяч. Наконец, если из 1000 таких кубиков снова составить куб, то получится модель для числа 1000 тысяч, или для числа 1000000. С числом миллион учащиеся познакомились еще в 3-м классе при изучении темы «Квадратный километр и квадратный метр», но сейчас речь пойдет не только об этом числе, но и о числах класса миллионов.

Знакомство учащихся с очередным классом (классом миллионов), применяемым для устной нумерации, происходит на основе введения седьмого разряда — разряда единиц миллионов. Названия для двух оставшихся разрядов этого класса учащиеся уже могут предложить самостоятельно по аналогии с названиями разрядов второго класса — класса тысяч.

Полученные возможности использования чисел третьего класса мы не распространяем на задания вычислительного характера, так как это выходит за рамки утвержденного обязательного минимума.

После того как учащиеся познакомились с числами третьего класса, мы предлагаем им рассмотреть ситуацию, когда трех классов для записи числа недостаточно. На основе анализа этой ситуации учащиеся должны самостоятельно прийти к выводу о том, что процесс образования новых разрядов и классов может и должен быть продолжен. Для этого нужно лишь ввести для новых классов соответствующие названия. Так, для четвертого класса применяется название «класс миллиардов», с которым мы и знакомим учащихся.

Других названий классов мы на страницах учебника не приводим, но если учащиеся проявят интерес к этому вопросу (а это очень вероятно), то учитель может познакомить их и с другими названиями: «класс триллионов», «класс квадриллионов», «класс квинтиллионов» и т. д.

Изучение блока тем, посвященных нумерации чисел третьего и четвертого классов, мы считаем целесообразным завершить выполнением заданий на сравнение чисел на основе нумерации. После того как учащиеся детально познакомятся с таким действием, как деление с остатком, мы предлагаем им воспользоваться полученными знаниями для разбиения всех натуральных чисел на два класса — класс четных чисел и класс нечетных чисел. Это разбиение осуществляется на основе того факта, что при делении натурального числа на число 2 может получиться в остатке либо число 0 (что определяет четные числа), либо число 1 (что определяет нечетные числа). При этом обязательно нужно обратить внимание на то, что число 0 относится к четным числам (по определению). После введения в рассмотрение четных и нечетных чисел имеет смысл поговорить о том, как эти числа располагаются в натуральном ряду чисел (принцип чередования), а также о том, как четность (нечетность) компонентов действий влияет на четность (нечетность) результата.

Этот последний вопрос мы предлагаем рассмотреть применительно ко всем арифметическим действиям на основе подтверждающих или опровергающих примеров. Более подробные рекомендации мы дадим далее, когда речь пойдет о методических рекомендациях к теме «Какой остаток может получиться при делении на 2?» и к заданиям этой темы.

Во втором полугодии четвертого класса расширение изучаемого числового множества происходит за счет знакомства учащихся с дробными числами. При этом в основном тексте учебника учащиеся столкнутся с понятиями доли и дроби только на уровне терминологии (половина, треть, четверть, одна пятая, три четвертых части и т. п.), а знакомство с цифровой записью обыкновенной дроби, с терминами «числитель», «знаменатель», «дробная черта» осуществляется в Приложении 2, которое имеет название «Обыкновенные дроби». Такое распределение материала продиктовано требованиями действующего стандарта, в котором не предусмотрено обязательное изучение дробных чисел. При этом в неявном виде мы все-таки знакомим учащихся с такими действиями, как умножение и деление величины на дробь. Осуществляется это при изучении тем «Нахождение части от величины» и «Нахождение величины по ее части».

В качестве пропедевтического этапа изучения указанных тем следует рассматривать тему «Нахождение доли от величины и величины по ее доле», которая непосредственно связана с такими действиями, как умножение и деление величины на натуральное число.

На этапе заключительного повторения основных вопросов всего курса мы предлагаем учащимся рассмотреть тему «Натуральные числа и число 0», в которую включены задания на повторение всех изученных свойств целых неотрицательных чисел. В том числе повторению подлежат и все вопросы, связанные с десятичной нумерацией чисел.

Теоретической основой для введения сложения и вычитания является теоретико-множественный подход: сложение – объединение множеств, вычитание – вычитание подмножества. Для иллюстрации такого подхода широкое применение в настоящем учебнике находят диаграммы Эйлера – Вена. Однако стоит отметить, что вся теоретико-множественная база, для учащихся не вскрывается, т.е. учащиеся не знакомятся со специфическими понятиями и терминами. Теоретико-множественная основа проявляется лишь в логике определения и анализа ситуаций.

Операции сложения и вычитания вводятся после того, как в распоряжении учащихся имеется уже достаточно чисел. Так сложение определяется после изучения чисел от 0 до 5, а вычитание – после изучения первого десятка.

Еще одной особенностью введения сложения и вычитания, является то, что на начальных этапах знакомства особе внимание уделяется правильному формированию представлений о сложении и вычитании как об операциях (действиях) над числами. Критерием операции является наличие трех чисел: двух компонент действий и результата действия. Лишь после введение самого действия, возникает возможность введение соответствующей терминологии (слагаемое, сумма, уменьшаемое, вычитаемое, разность). Причем под суммой и разностью понимается запись:

компонент действия (число)__ знак действия __ компонент действия (число)