Geum.ru

О. А. Захарова теоретические основы курса математики в учебно-методическом комплекте «перспективная начальная школа» Лекция

Вид материалаЛекция
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6
Формирование первичных представлений о величинах


В данном курсе рассматриваются четыре величины: длина, веря, масса и стоимость. Отметим, что понятие самих величин вводится только для длины, остальные величины рассматриваются лишь в пропедевтическом плане, при установлении соответствующих отношений. При этом величины «стоимость» выступает в роли некоторой обобщающей величины.

Изучение величин можно разделить на два достаточно самостоятельных этапа: доизмерительный и метрический.

На первом этапе в результате сравнение предметов по длине, ширине должно стать формирование представлений о свойстве реальных предметов обладать определенной протяженностью в пространстве.

Изучение величин, в отличии от остальных содержательных линий, позволяет формировать у учащихся первичные представление об отношениях в «чистом» виде, что является весьма важным математическом воспитании учащихся.

Наибольшее внимание в курсе уделяется величине «длина». Сначала устанавливают соответствующие отношения «на глаз» (длинее – короче, шире – уже), затем вводится инструмент для установления этих отношений и способ выражения величины числом (измерение).

Измерение выполняет не только роль способа установления определенных отношений, но дает возможность опосредованного сравнение предметов по соответствующей величине, через выражение этой величины числом.

Измерение включает в себя не только процесс, но и наличие определенного инструмента и мерки, с помощью которых оно производиться. Понимание сущности измерения позволит учащимся самостоятельно прийти к необходимости стандартизации мерки, а, следовательно, и инструмента.

На первых этапах в качестве инструмента и мерки выступаю различные предметы (измерение ширины футбольных ворот шагами или палкой), и лишь затем, возникает специальная мерка – клетка листа бумаги. Использование различных мерок подталкивает учащихся к необходимости введения какой то определенной, одинаковой для всех мерки – сантиметра. Здесь же возникает и стандартный инструмент для измерения этой величины – линейка.

Во 2-м классе продолжится изучение стандартных единиц длины: учащиеся познакомятся с единицей длины — метром. Большое внимание будет уделено изучению таких величин, как «масса» (сам термин «масса» пока не используется) и «время» (во втором полугодии). Сравнение предметов по массе сначала рассматривается в «доизмерительном» аспекте. После чего вводится стандартная единица массы — килограмм, и изучаются вопросы измерения массы с помощью весов. Далее вводится новая стандартная единица массы — центнер. Изучение этой единицы массы продиктовано тем, что при проведении различных сельскохозяйственных работ данная единица используется достаточно часто, а с учетом специфики проекта «Перспективная начальная школа», в рамках которого и создается настоящий учебно-методический комплект, сельскохозяйственная тематика является преобладающей. Есть и методико-математическая причина изучения такой единицы массы, как центнер, и именно в этот период. Состоит она в том, что с помощью рассмотрения соотношения между килограммом и центнером очень удобно вести работу по закреплению новой для учащихся счетной единицы сотня. Аналогичная роль в этом плане отводится и вопросу о соотношении сантиметра и метра.

Во втором полугодии 2-го класса изучается величина «время». При этом время рассматривается в двух аспектах: время-дата и время-продолжительность. Из этих двух проявлений времени величиной в ее традиционном толковании является только время-продолжительность. Именно время-продолжительность допускает возможность сравнения и возможность сложения с выполнением всех необходимых свойств этого отношения и этой операции. Время-дата хотя и допускает возможность сравнения с опорой на отношение «раньше—позже», но возможность сложения для нее исключена: даты складывать бессмысленно. С другой стороны, время-дата допускает вычитание. При этом разность двух дат выражает соответствующую продолжительность: чтобы узнать продолжительность некоторого процесса (явления), нужно из даты конца процесса вычесть дату его начала.

Начинается изучение времени с рассмотрения временных промежутков и измерения их продолжительности с помощью солнечных и песочных часов, после чего осуществляется переход к определению времени по циферблатным часам и электронным табло. С помощью часов устанавливается связь между моментами времени (датами) и интервалами времени (продолжительностью по времени). Вводятся стандартные единицы времени (час, минута, сутки, неделя) и соотношения между ними. Особое внимание уделяется изменяющимся единицам времени (месяц, год), а также соотношениям между ними и постоянными единицами времени. Вводится самая большая изучаемая единица времени — век. Кроме этого рассматривается операция деления однородных величин, которая трактуется как измерение делимой величины в единицах величины-делителя.

В качестве сопутствующего материала к вопросам об определении времени по циферблатным часам изучаются римские цифры.

Изучение величин в первом полугодии 3-го класса сводится к изучению «новых» стандартных единиц длины и массы и соотношения между «новыми» и «старыми» единицами. Рассмотрение таких единиц длины, как километр и миллиметр, и таких единиц массы, как грамм и тонна, обусловлено их смысловой связью с вводимой «новой» разрядной единицей — тысячей. Именно эта связь определяет не только их выбор, но и их место в последовательности изучаемых вопросов. Единица длины километр рассматривается сразу после изучения блока вопросов, посвященных введению разрядной единицы тысяча. Это позволяет нам не только положить введение километра на соответствующую числовую основу, но и провести работу по закреплению понятия «тысяча». При этом учащимся предлагается самостоятельно познакомиться со смысловым составом термина «километр», используя для этого необходимую информацию из словаря, помещенного в Приложении 1 к учебнику. Знакомство со смысловым составом термина «километр» позволит учащимся самостоятельно установить связь между такими единицами массы, как килограмм и грамм. Отличие при изучении пар понятий метр—километр и грамм—килограмм состоит лишь в том, что в первом случае термин, начинающийся со слова «кило», обозначает «новую» единицу (километр), а во втором — «старую» единицу (килограмм). Но объединяет обе эти терминологические пары общая числовая основа — тысяча. При рассмотрении такой единицы массы, как тонна, мы будем опираться на ту же самую числовую основу, но в терминологическом плане мы уже такой возможности иметь не будем. Тонну в учебных целях можно иногда называть «килокилограммом», но при этом обязательно следует подчеркнуть, что такое название является искусственным и на практике не используется. Число 1000 лежит в основе образования и такой единицы длины, как миллиметр. При этом смысл слова «милли» учащиеся смогут также узнать из словаря, после чего смысловое построение термина «миллиметр» станет им понятно без дополнительных пояснений. Однако последовательность изучаемых тем, связанных с термином «миллиметр», такова, что уяснить смысл этого термина учащиеся смогут и без обращения к словарю.

Изучение величин в втором полугодии 3-го класса сводится главным образом к изучению новой величины, которая называется «площадь». Все другие вопросы величинного характера представлены в плане повторения. Знакомство с величиной «площадь» осуществляется на примере анализа реальной учебной ситуации, в которую поставлены Маша и Миша. Именно на примере сравнения выполняемой ими работы по окраске пола в двух помещениях прямоугольной формы с одинаковым периметром мы создаем проблемную ситуацию, решение которой приводит к необходимости рассмотрения «новой» величины, называемой площадью. Так как непосредственное сравнение площадей в данной ситуации выполнить невозможно, то уже на этом этапе мы предлагаем проводить такое сравнение фактически с помощью измерения, которое выражается в разбиении на единичные квадраты.

Следующим шагом в изучении данной величины является введение одной из стандартных единиц площади. Роль этой «первой» стандартной единицы мы отвели квадратному сантиметру. Такой выбор продиктован следующими причинами: 1) квадратный сантиметр удобно иллюстрировать, 2) в квадратных сантиметрах удобно производить измерения (необходимые иллюстрации можно поместить на страницы учебника), 3) имеет место аналогия с выбором «первой» стандартной единицы длины. Уже при изучении квадратного сантиметра следует обращать особое внимание учащихся на правильное выполнение процесса измерения площади, который требует такого заполнения измеряемой фигуры (поверхности предмета), при котором единичные квадраты заполняют всю фигуру без пропусков и без наложения одного квадрата на другой за исключением возможной общей части границы. Пример такого правильного заполнения измеряемой фигуры единичными квадратами можно наглядно продемонстрировать, используя палетку в качестве измерительного прибора. Желательно, чтобы на соответствующем уроке каждый ученик имел возможность самостоятельной работы с палеткой. С этой целью можно применять «самодельные» палетки, об изготовлении которых речь идет в Приложении «Сделай сам».

Следующим этапом изучения площади является введение других стандартных единиц таких, как квадратный дециметр, квадратный метр и квадратный километр, и определения соотношений между ними. Важным моментом в изучении вопроса о соотношении единиц площади является установление зависимости, существующей между соотношением единиц площади и соотношением соответствующих единиц длины. Эта связь может быть выражена с помощью умножения на соответствующее «круглое» число, поэтому совсем не случайно изучение данных тем предваряет рассмотрение вопросов об умножении на число 100 и на число 1000. Что касается изучения такой единицы площади, как квадратный миллиметр, то оно осуществляется совершенно аналогично.

Важнейшим этапом в изучении величины «площадь» является рассмотрение вопроса о вычислении площади прямоугольника. Именно при изучении этого вопроса учащиеся впервые сталкиваются с возможностью установить искомую величину не с помощью ее непосредственного измерения, а с помощью вычисления на основе измерения другой величины (других величин). В данном случае такой вспомогательной величиной является длина. Совершенно очевидна большая пропедевтическая значимость изучения этого вопроса: речь идет о перспективе изучения не только всего школьного курса математики, но и о перспективе изучения других школьных курсов и прежде всего курса физики. Именно при изучении данной темы учащиеся впервые сталкиваются с использованием полноценной формулы (формулы площади прямоугольника), записанной с использованием буквенных выражений. В дальнейшем эта практика будет только расширяться и совершенствоваться.

При изучении величины «площадь» учитель не должен забывать и о том, что к этому направлению работы тесно примыкают и соответствующие темы геометрического характера. К таким темам относятся: «Составление и разрезание фигур», «Равносоставленные и равновеликие фигуры», «Высота треугольника». Изучение данных тем не только важно и интересно для учащихся само по себе, но и очень полезно в плане более глубокого понимания вопросов, имеющих отношение к понятию площади.

В первом полугодии 4-го класса мы продолжаем работу с ранее изученными величинами и знакомим учащихся с «новыми» величинами, которые называются «цена», «скорость», «производительность», а также «вместимость» и «объем». Две последние величины между собой очень тесно связаны, но между ними есть и определенные различия, которые относятся к сфере их практического применения. На это мы хотим обратить пристальное внимание как учителей (с помощью соответствующих разъяснений методического характера), так и учащихся (с помощью соответствующих заданий учебника). Существует определенная связь и между величинами «цена», «скорость» и «производительность», о чем мы уже говорили выше, когда анализировали задачи на куплю-продажу, движение и работу.

Более подробно мы еще об этом поговорим, но сначала речь пойдет о тех величинах, которые учащимся уже хорошо знакомы. Те задания, в которых учащиеся выполняют известные им виды работы с известными величинами и их единицами, не требуют специальных дополнительных пояснений. Единственным исключением здесь являются задания с величиной «время», для измерения которой вводится в рассмотрение новая единица — секунда. До этого момента мы не знакомили учащихся с секундой, так как не возникало необходимости в ее использовании. Сейчас ситуация изменилась. Знание такой единицы времени, как секунда, потребуется учащимся при изучении скорости, потому что одной из наиболее распространенных единиц скорости (наряду с единицей км/ч) является такая единица, как м/с. Методика введения в рассмотрение секунды как единицы времени ничем принципиально не отличается от введения других единиц времени (час, минута), что позволяет нам не заниматься повторением.

Особого разговора заслуживают такие величины, как «цена», «скорость» и «производительность». Все эти величины имеют общую математическую природу: они характеризуют приращение одной величины на единицу приращения другой величины (данный факт находит отражение и в принципе построения наименования каждой из этих величин). Так, цена характеризует приращение стоимости на единицу количества товара, скорость — приращение длины пути на единицу времени, а производительность — приращение объема выполненной работы на единицу времени. Таким образом, все эти величины являются производными от соответствующих величин, и их единицы именуются соответствующим образом. Отмеченный факт позволяет нам построить изучение этих величин по принципу аналогии. Аналогия будет иметь место не только для самих этих величин, их измерения и вычисления их значений, но и для соответствующих сюжетных арифметических задач, связанных с этими величинами.

Изучению величин в первом полугодии посвящен еще один тематический блок. Речь идет о такой величине, как «вместимость» и тесно связанной с ней величиной «объем». Рассмотрение величины «вместимость», которая является частным случаем величины «объем», продиктовано, во-первых, требованиями образовательного стандарта, во-вторых, тем, что «вместимость» позволяет построить ее изучение на более наглядном и доступном уровне. Так, с помощью простых и понятных манипуляций по переливанию жидкости (реальных или умозрительных) учащиеся легко решают вопрос о сравнении вместимости различных сосудов и емкостей, а также знакомятся со стандартной единицей вместимости — литром.

Использование жидкости в качестве измеряемого объекта позволяет нам получать любую форму без изменения объема.

Изучение объема мы рассматриваем как подъем на более высокую, но вполне посильную для учащихся 4!го класса ступень абстракции. Изучение «объема» требует рассмотрения и соответствующих единиц этой величины. Ввести величину «объем» мы предлагаем на основе сопоставления двух емкостей различной формы, но одинаковой вместимости. Такое сопоставление позволяет нам сказать о том, что жидкости, заполняющие эти емкости, имеют одинаковый объем. Особое внимание мы обращаем на правильное использование соответствующих понятий. Например, если мы говорим о вместимости чашки, то имеем в виду объем жидкости, который максимально помещается в этой чашке. Если же мы говорим об объеме этой чашки, то имеем в виду объем жидкости, которую вытесняет эта чашка при полном погружении (этот объем складывается из объема дна, стенок и ручки данной чашки). С таких же позиций нужно подходить к рассмотрению объема и вместимости любых других емкостей.

Вместимость чашки и ее объем — это совсем не одно и то же, хотя в повседневной жизни эти понятия часто отождествляют. Чашки (как и другие емкости) могут иметь одинаковый объем, но разную вместимость, а могут иметь разный объем, но одинаковую вместимость.

Для измерения объема вводятся в рассмотрение соответствующие единицы. Сначала мы знакомим учащихся с такой единицей, как кубический сантиметр. Введение кубического сантиметра можно осуществить по аналогии с введением квадратного сантиметра. Учащиеся должны усвоить, что куб со стороной 1 см занимает определенную часть пространства, объем которой и принято называть кубическим сантиметром. Если в распоряжении учителя имеется модель куба со стороной 1 см, сделанная из тяжелого материала, то погружение этой модели в жидкость приведет к вытеснению жидкости, объем которой равен 1 куб. см. Можно предложить и другой способ получения жидкости в объеме 1 куб. см. Для этого нужно с помощью прочной и твердой модели куба со стороной 1 см сделать углубление в мягкой глине (пластилине). Это углубление должно иметь форму данного куба. Если теперь заполнить это углубление жидкостью, то ее объем будет равен 1 куб. см.

Следующей единицей объема, которую мы определяем для обязательного изучения, является кубический дециметр. Переход от кубического сантиметра к кубическому дециметру осуществляется по той же логической схеме, которую мы использовали при переходе от квадратного сантиметра к квадратному дециметру. Включение кубического дециметра в перечень изучаемых единиц продиктовано следующими соображениями. Во-первых, мы сохраняем логику изучения всех геометрических величин (длины, площади, объема). Во-вторых, эта единица совпадает с рассмотренной ранее единицей вместимости — литром, которая включена в перечень понятий, обязательных для изучения в начальной школе. Рассмотрение других единиц объема (кубического метра и миллилитра) мы отнесли за рамки основного учебного материала и дали в виде приложения. Учитель имеет право самостоятельно решить вопрос об учебном использовании этого материала. Однако ознакомление учащихся с этими единицами объема и вместимости будет совсем не лишним, так как вооружит их знаниями, востребованными в повседневной жизни.

Особое внимание следует обратить на изучение темы «Литр и килограмм». В этой теме мы делаем попытку на пропедевтическом уровне познакомить учащихся с таким физическим понятием, как «плотность». Мы не предлагаем вводить соответствующий термин, но хотим акцентировать их внимание на том, что разные тела (твердые, жидкие) имеют разную плотность. Этот факт приводит к тому, что лишь для пресной воды (и то приблизительно) 1 л такой воды имеет массу 1 кг. Если же тело имеет большую плотность, то масса 1 л превышает 1 кг. Если плотность меньше, чем у пресной воды, то масса 1 л меньше, чем 1 кг. С соотношением плотности связано такое природное явление, как плавучесть.

Во втором полугодии 4-го класса мы продолжаем работу с ранее изученными величинами, которые задействованы в процессах движения, работы и купли-продажи, а также с величинами «площадь» и «объем». Работа с этими величинами осуществляется в рамках развития двух других содержательных линий курса: алгоритмической и геометрической. По этой причине необходимые методические рекомендации можно получить в разделах «Обучение решению сюжетных (текстовых) арифметических задач» и «Изучение геометрического материала».

Специальный тематический блок второй части учебника посвящен действиям над величинами. Прежде всего рассматриваются такие действия, как сложение и вычитание величин. При рассмотрении этих действий следует обратить внимание учащихся на два факта. Во-первых, действия сложения и вычитания можно выполнять только с однородными величинами (нельзя, например, сложить длину и массу или объем вычесть из площади). Во-вторых, если однородные величины выражены в одинаковых единицах, то их сложение (вычитание) ничем принципиально не отличается от сложения (вычитания) соответствующих чисел.

Кроме сложения и вычитания величин, учащимся предлагается рассмотреть умножение величины на натуральное число и натурального числа на величину. Умножение величины на натуральное число следует рассматривать как кратное сложение одинаковых величин (первый множитель показывает, какие слагаемые складываются, а второй — сколько таких слагаемых в сумме). Случай умножения натурального числа на величину следует трактовать как умножение этой величины на данное натуральное число. Таким образом, переместительное свойство умножения величины на натуральное число закладывается в само определение этой операции.

Деление величины на натуральное число (а такая тема также включена в соответствующий тематический блок) следует рассматривать как действие по нахождению доли от данной величины. Вычисление такой доли можно выполнить с помощью известных учащимся способов нахождения значения частного (это и табличные случаи деления, и алгоритм деления столбиком, и метод подбора).

С вопросом нахождения доли от величины тесно связан вопрос о нахождении величины по ее доле. Последнее действие можно рассматривать как обратное к действию по нахождению доли от величины. По этой причине для нахождения величины по ее доле следует выполнить умножение величины на соответствующее натуральное число.

Для нахождения части от величины нужно выполнить два действия: сначала найти соответствующую долю от данной величины с помощью деления, а потом увеличить эту долю в нужное число раз с помощью умножения этой доли на соответствующее число. Несколько сложнее обстоит дело с решением задачи на нахождение величины по ее части. Для ее решения сначала нужно найти величину соответствующей доли с помощью деления, а потом с помощью умножения найти всю величину по найденной предварительно доле.

Заключительной темой данного тематического блока является тема, в которой рассматривается вопрос о делении величины на величину. В этом действии следует различать два случая. Первый связан с делением однородных величин. Такое деление следует рассматривать как измерение величины-делимого в единицах величины-делителя. Второй случай связан с делением разнородных величин. При выполнении такого деления из двух разнородных величин получается третья величина (например, при делении расстояния на время получается скорость, а при делении массы на площадь получается урожайность). Но результат деление разнородных величин не всегда можно представить в виде общепринятой величины. Поэтому такие случаи деления учащимся предлагать не следует.

На этапе заключительного повторения мы предлагаем учащимся задания, при выполнении которых они смогут еще раз поупражняться в выполнении различных действий над величинами.