Geum.ru

О. А. Захарова теоретические основы курса математики в учебно-методическом комплекте «перспективная начальная школа» Лекция

Вид материалаЛекция
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6
Формирование геометрических представлений


Целью формирования у школьников геометрических представлений является создание предпосылок развития теоретического мышления (анализа, планирования, рефлексии). Оно ориентировано главным образом на усвоение математических понятий, а не только на выработку навыков и умений.

Такая специфика курса требует особой организации учебной деятельности школьников, в форме освоения понятий не в результате отработки словесных формулировок, а путем рассмотрения детьми конкретных реальных (псевдореальных) или учебных ситуаций. Анализ таких ситуаций позволяет учащимся познавать суть и содержание математических понятий.

Отличительной особенностью данного курса является распределение геометрического материала по всему содержанию, а не концентрация его в отдельном разделе или главе. Такое распределение вызвано стремлением автора к как можно более быстрому заложению основ арифметики, позволяющих, в значительной степени разнообразить задания геометрического характера. Вместе с этим, большая часть геометрических понятий приходится на первую часть курса (первое полугодие).

Изучение базовых геометрических понятий начинается с формирования представлений о форме. Переход к формам представляется достаточно естественным в рамках задачи «сравнения предметов».

«Донаучные», эмпирические представление формы учащиеся, безусловно, имеют еще до прихода в школу. Потому, опора на их представление о форме окружающих предметов должна послужить основой формирования представлений о «геометрических» формах. С этой целью учащимися предлагается задача различения: выделение предметов одинаковых по форме и противопоставление их предметам, имеющим различную форму.

Представления о плоскости являются необходимыми при изучении геометрических фигур (двухмерных геометрических тел). Являясь неопределяемым математическим понятием, плоскость проста в «чувственном» представлении и крайне сложна в каком-либо своем словесном описании. Свойство бесконечной протяженности, неограниченности плоскости, на данном этапе не рассматривается.

Ведя разговор о формах геометрических фигур необходимо обсудить вопрос об их «реальном существовании», то есть о соотнесении понятий «форма предмета» и «форма фигуры». Возможно, учащимся стоит рассказать об абстрагировании, позволяющем «приписывать» геометрические формы некоторым предметам окружающего мира. Не выделяя цвет, материал, «объемность» и т.п., мы можем говорить о том, что кольцо и колесо имеют форму круга (окружности). Применительно же к геометрическим фигурам, предметы окружающего мира служат их моделями. Так, моделями круга (окружности) являются колесо, кольцо и т.п.

Аксиоматическое строение геометрии основано на трех неопределяемых понятиях. Об одном из них, о плоскости, учащиеся уже составили первичные, «эмпирические» представления. Введение понятий прямой и точки представляется нам не менее сложным, но более «ответственным». Сложность введения этих понятий заключается, с одной стороны, в их «чувственной» очевидности, с другой – в их неопределяемости, в составлении представлений, без какого-либо удобоваримого словесного описания. При этом понятие плоскости в настоящем курсе встречается лишь в термине «плоские фигуры». Не имея «не плоских фигур» учащиеся очень быстро воспринимают планиметрические представления, на данном этапе, как единственно существующие. Поэтому необходимости каждый раз указывать на «плоскость» (двухмерность) рассматриваемых фигур у учащихся не будет.

Совершенно по-другому обстоят дела с прямой и точкой. Понятие прямой в настоящем курсе вводится на контрасте с кривой линией. При формировании представлений о прямой линии внимание учащихся акцентируется на двух ее свойствах: прямолинейности и «целостности» (вопрос о бесконечности затрагивается на 2-м году обучения).

Свойство непрерывности прямой возникает при рассмотрении понятия точки. В настоящем курсе точка возникает как геометрический объект, не имеющий формы. Говорить об отсутствии у точки размеров, вероятно, преждевременно. Во-первых, обсуждение метрической характеристики в «дочисловой» период представляется достаточно сложным, и, во-вторых, об отсутствии каких размеров необходимо вести речь? Не имея представлений об измерениях (длине, ширине и высоте), сложно вести разговор об их отсутствии.

Наряду с отсутствием размеров, еще одной характеристикой точки (в стиле «Начал» Евклида), является отсутствие у нее частей. Этот вопрос требует подробного обсуждения с учащимися, с целью исключения суждений о возможности проведения линии через «верх» или «низ» точки. Основой возникновения такого вопроса может служить задача о выборе инструмента для построения.

После введения основных геометрических понятий (прямой и точки) можно перейти к рассмотрению определяемых объектов, и, прежде всего, отрезка и дуги. В соответствии с общим принципом построения курса, возникновение любого нового математического объекта связано с некоторой реальной (псевдореальной) ситуацией. Так, отрезок возникает как модель натянутого куска веревки. При построении соответствующей модели важно выделить те аспекты, свойства объекта которые должны быть промоделированы. Для натянутого куска веревки такими свойствами являются прямолинейность и наличие концов.

Полезным окажется сравнение понятий отрезок и дуга: отрезок – часть прямой, дуга – часть кривой линии; и для отрезка и для дуги – соответствующие части ограничены двумя точками.

На основе понятия отрезка появляется возможность рассмотреть еще один геометрический объект – многоугольник и (или) многоугольную область. Эти определения базируются на представлениях о замкнутых ломаных линиях, внутренних и внешних областях, соответствующих замкнутым линиям. Именно эти понятия предваряют введение понятия многоугольников.

Имея представление об отрезках, и умея соединять пары точек отрезками, появляется возможность ввести понятие ломаной линии. С математической точки зрения, конструктивное определение ломаной крайне сложное (это связано с необходимостью исключения многих «не желательны», предельных случаев, например, таких, как ломанные с самопересечением или с соседними ребрами, лежащими на одной прямой). Однако, на данном этапе, достаточно описательное определение этого объекта, как линии, состоящей из последовательно соединенных отрезков – звеньев, и, соответственно, их концов – вершин ломаной.

Выделение особого вида многоугольника – прямоугольника, становиться возможным лишь на основе понятия прямого угла. Определение этого понятия сопряжено со многими сложностями. Во-первых, с тем, что понятие угла вообще не рассматривалось и не будет рассматриваться в этом классе, и, во-вторых, с предметной, математической сложностью этого понятия. Здесь стоит отметить, что на данном этапе важно не столько само понятие прямого угла, сколько случай перпендикулярности прямых (пересечения под прямым углом).

Понятие прямоугольника вводится на основе выделения этого вида и множества четырехугольников. С этой целью, прежде вводится сам термин четырехугольник, которое представляется остаточно естественным после выполнения задания на пересчет количества вершин и сторон, представленных многоугольников.

Признаком выделения прямоугольников, из множества четырехугольников, является пересечения всех его соседних сторон под прямым углом. Стоит обратить особое внимание учащихся на то, что под прямым углом должны пересекаться все соседние стороны. В противном случае, к классу прямоугольников будут отнесены, например, прямоугольные трапеции. Отметим еще один аспект: на данном этапе традиционное определение прямоугольника как четырехугольника с прямыми углами не возможно, так как понятие угла, и тем более угла многоугольника не определено.

В первом полугодии второго класса изучаются следующие геометрические понятия и их свойства: прямая (аспект бесконечности), луч, углы и их виды, углы многоугольника, квадрат, периметр многоугольника, периметр квадрата и прямоугольника.

Наиболее трудным для усвоения учащимися, на наш взгляд, является вопрос о бесконечности прямой. Это объясняется тем высоким уровнем абстракции, на котором должны оперировать учащиеся в своей мыслительной деятельности, чтобы правильно реализовывался процесс формирования этого понятия. Это первая встреча учащихся с «бесконечностью», и от того, как она будет организована, во многом зависит успешность формирования аспекта бесконечности при изучении других геометрических и арифметических понятий (луч, плоскость, натуральный ряд чисел и т.д.) Мы предлагаем дать учащимся представление о бесконечности на основе идеи о бесконечности некоторого процесса (речь идет о так называемой потенциальной бесконечности). Таким бесконечным процессом является процесс продолжения прямой. Учащиеся без особого труда понимают, что теоретически этот процесс ничем не ограничен, а то ограничение, которое связано с существованием границы листа бумаги носит лишь технический характер.

После введения понятия «прямая» следующим логическим шагом является переход к рассмотрению понятия «луч». Далее, опираясь на понятие «луч», мы можем ввести понятие «угол» и перейти к рассмотрению видов углов (острый, прямой и тупой углы). Изучая виды углов, мы естественным образом затрагиваем не только геометрический, но и величинный аспект.

При изучении тем геометрического характера мы на первых этапах еще не вводим соответствующие буквенные обозначения, но их использование в учебном процессе считаем вполне допустимым. Примером тому может служить рассмотрение темы «Прямая бесконечна» в Тетради для самостоятельной работы. Что же касается выбора самих букв, то желательно, чтобы сначала это были буквы, которые являются общими для русского и латинского алфавитов (А, Е, К, М, Т).

Величинную основу несет в себе и еще одно геометрическое понятие, изучение которого осуществляется в первом полугодии второго класса. Речь идет о понятии «периметр».

В основе этого понятия лежит сумма длин отрезков, с чем учащиеся знакомились еще в первом классе. По этой причине, когда мы говорим о периметре многоугольника как сумме длин всех его сторон, от учащихся требуется лишь усвоить новый термин, а сама суть этого понятия им, в принципе, хорошо знакома. Совсем другая ситуация складывается при рассмотрении вопросов о периметре прямоугольника и периметре квадрата. В этом случае мы делаем попытку неявно познакомить учащихся с новой для них операцией — умножением величины на натуральное число. Основой для такого подхода является рассуждение по аналогии. Учащиеся уже умеют заменять сумму одинаковых слагаемых (для чисел) соответствующим произведением. Когда они сталкиваются с суммой одинаковых величин (при рассмотрении периметра прямоугольника или периметра квадрата), то по аналогии они вполне могут заменить такую сумму произведением величины на число, что им и предлагается сделать. Никаких других объяснений, кроме опоры на аналогию, приводить не следует.

Во втором полугодии 2-го класса практически весь геометрический материал посвящен изучению одной геометрической фигуры: речь идет о круге. Все другие рассматриваемые геометрические понятия (окружность, радиус, диаметр) непосредственно связаны с этой фигурой. При этом окружность рассматривается как замкнутая линия, являющаяся границей круга.

При рассмотрении понятий круг и окружность важно понимать, что понятие окружности в начальном курсе математики можно изучать без привлечения понятия круга. Окружность как особый вид замкнутой линии не обязательно связывать с соответствующим ей кругом. Что же касается круга, то его рассмотрение без соответствующей окружности, являющейся границей этого круга, нецелесообразно, хотя в математике понятие «открытый круг» (т.е. круг без своей границы) имеет достаточно широкое применение.

При введении понятий окружность и круг мы используем хорошо знакомый методический прием: учащимся предлагается рассмотреть реальную ситуацию, в которой в явном виде проявляются все характеристические особенности изучаемых геометрических понятий. Речь идет о козе, которая пасется на лугу (см. тему «Окружность и круг»). Так, вбитый колышек, к которому привязана коза, является аналогом особой точки, называемой центром круга (окружности). Длина веревки задает радиус этого круга. А имеющаяся возможность для козы щипать травку с любой стороны от колышка и на любом расстоянии, но не превышающем длину веревки, и является отражением характеристического свойства круга. Таким образом, реализуются определение круга как геометрического места точек, отстоящих от данной точки на расстояние, не превышающее заданного. Если же рассматривать движение козы вокруг колышка при натянутой веревке, то мы смоделируем процесс построения окружности. Рассмотрение описанной реальной ситуации целесообразно использовать при знакомстве с понятиями «круг» и «окружность». Что же касается процесса формирования этих понятий, то в этом случае вся работа должна проводиться с использованием изображений соответствующих геометрических фигур. Суть этой работы может быть сформулирована следующим образом: учащимся для анализа должно быть предъявлено изображение круга с отмеченным центром, на котором они должны выполнить ряд измерений; сначала нужно измерить расстояние от центра круга до нескольких точек на границе и убедиться в том, что эти расстояния одинаковые; после этого имеет смысл измерить расстояние от центра до любой точки внутри круга и сравнить полученный результат с расстоянием от центра до границы круга; такую же процедуру следует проделать и с точками, лежащими вне круга; после того, как указанные процедуры будут выполнены несколько раз, можно формулировать общий вывод о том, что любая точка круга (в том числе и точка окружности) отстоит от центра не более чем на заданное расстояние. Более подробные рекомендации о том, как проводить указанную работу, можно получить из методических указаний к изучению соответствующих тем.

При рассмотрении понятия радиус следует иметь в виду возможность двоякого толкования этого термина. С одной стороны, радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой этой окружности. С другой стороны, радиус — это расстояние от центра окружности до любой ее точки, т.е. длина соответствующего отрезка. Мы будем употреблять термин «радиус» в обоих смыслах. Аналогичная ситуация имеет место и для термина «диаметр».

Есть свои особенности и при рассмотрении понятия центра для окружности и для круга. Мы имеем в виду следующее. Когда речь идет о центре окружности, то данная точка не принадлежит рассматриваемой фигуре, хотя и может изображаться на чертеже. Если же рассматривается центр круга, то эта точка является точкой данной фигуры наряду со всеми другими точками, находящимися внутри окружности и на самой окружности.

Важным умением, которым должны овладеть учащиеся при изучении геометрического материала во втором полугодии, является умение пользоваться циркулем. Причем речь идет не только об умении чертить окружности с помощью циркуля, но и откладывать с его помощью отрезки заданной длины, в том числе и равные по длине отрезки. Этому вопросу будет посвящена специальная тема «Откладываем равные отрезки». Некоторые возможности циркуля и линейки как инструментов для проведения геометрических построений будут рассмотрены при изучении соответствующей темы в конце учебного года.

В заключение отметим, что изученный геометрический материал найдет свое применение при рассмотрении вопросов, связанных с измерением времени и при построении круговых схем, используемых для решения задач и уравнений.

Изучение геометрического материала в первом полугодии 3-го класса начинается с повторения понятий «плоская поверхность» и «искривленная поверхность». С этими понятиями учащиеся сталкивались еще в 1-м классе перед тем, как приступили к изучению плоских геометрических фигур. На данном этапе обучения понятие «плоская поверхность» позволяет провести пропедевтическую работу в плане знакомства с понятием «плоскость». При этом понятие «плоскость» нас интересует не само по себе, а в связи с вопросом изображения фигур и предметов на плоскости.

Прежде всего, учащиеся знакомятся с изображением на плоскости такой фигуры, как куб. Умение изображать куб (или предметы, имеющие форму куба) будет востребовано при рассмотрении геометрической модели для такой разрядной единицы, как тысяча (указанная модель представляет собой куб, состоящий из 10 слоев, каждый из которых состоит из 100 кубиков, расположенных в виде квадрата 1010). Еще один аспект включения данного блока вопросов в программу первого полугодия 3)го класса состоит в том, что мы тем самым обеспечиваем необходимую математическую базу для изучения соответствующих вопросов из курса «Окружающий мир».

Следующий блок геометрических вопросов посвящен формированию умения сравнивать и измерять углы. Простейший способ сравнения углов — это способ «наложения», согласно которому один угол нужно наложить на другой так, чтобы вершина и сторона одного угла совпадали с вершиной и стороной другого угла. При этом внутренние области углов должны иметь непустое пересечение. При таком расположении мы получим либо полное совпадение углов (это означает, что углы равны), либо один угол составит часть другого (это означает, что угол - «часть» меньше угла - «целого»). В процессе решения заданий на непосредственное сравнение углов учащиеся должны прийти к выводу о том, что больший угол никогда нельзя разместить внутри меньшего угла.

Однако если углы равны, то один из них можно разместить внутри другого. Трудность применения этого способа сравнения состоит в том, что он требует умения произвольно перемещать данный угол по плоскости. Это легко и удобно делать, если учащиеся имеют дело с моделями углов (например, моделями, сделанными из картона). Когда же в распоряжении учащихся имеются только чертежи углов, то применить для их сравнения способ «наложения» совсем не так просто. Для этого нужно уметь от произвольного луча откладывать угол, равный данному, чему мы пока учащихся не учим. Выход из этого затруднительного положения может быть связан с процедурой измерения углов. Хотя в полном объеме эту процедуру мы не рассматриваем, а ограничиваемся лишь рассмотрением случая измерения одного угла некоторым другим углом (вопросы использования стандартной единицы при измерении углов отнесены в приложение и носят факультативный характер), но и в этом случае необходимость и полезность введения процедуры измерения углов вполне очевидна.

Заключительный блок геометрических вопросов посвящен изучению видов треугольников. Учащимся предлагается познакомиться с прямоугольными, тупоугольными и остроугольными треугольниками, а также с треугольниками разносторонними и равнобедренными. Равносторонний треугольник рассматривается как частный случай равнобедренного. При проведении классификации треугольников по виду углов следует обратить внимание учащихся на тот факт, что в любом треугольнике обязательно имеется два острых угла, а вот третий угол может быть либо прямым, либо тупым, либо острым. Таким образом, вид треугольника и определяется видом этого третьего угла.

Практически все вопросы геометрического характера, которые планируется изучать во втором полугодии 3-го класса, имеют непосредственное отношение к понятию «площадь», изучение которого также запланировано на этот период. Такое взаимодействие геометрической и величинной содержательных линий предоставляет большие возможности в плане обогащения методических приемов и подходов при изучении соответствующих вопросов и геометрического, и величинного характера.

Практически весь геометрический материал второй части учебника 3-го класса имеет факультативный характер. Такое структурирование продиктовано следующей причиной: данный материал выходит за рамки утвержденного минимума содержания начального математического образования и не является обязательным для изучения, хотя такое изучение является очень желательным.

При изучении темы «Составление и разрезание фигур» учащиеся не только смогут развить свои умения по геометрическому конструированию, но и заложить необходимую базу для обоснования вывода формул площади треугольника, параллелограмма, трапеции, с чем учащимся придется столкнуться в начале изучения систематического школьного курса геометрии. Аналогичное предназначение в плане перспективы имеют две другие темы геометрического блока, а именно: «Равносоставленные и равновеликие фигуры» и «Высота треугольника».

Единственной темой собственно геометрического содержания, которая включена в перечень обязательных тем, является тема «Построение симметричных фигур». Хотя и эта тема выходит за рамки обязательного минимума содержания, но вопросы симметрии мы регулярно рассматриваем, начиная с 1)го класса, что продиктовано особой важностью формирования этого понятия для изучения реальной действительности и ориентации в окружающем мире. Кроме этого, вопросы симметрии играют очень большую роль на уроках трудового обучения.

Геометрический материал, который мы предлагаем рассмотреть в первом полугодии 4-го класса, связан с вопросами разбиения и составления плоских геометрических фигур, а через них с вопросами изучения площади, ее измерения и вычисления. Геометрический блок состоит всего лишь из пяти тем, при этом только первые две темы можно отнести к собственно геометрической линии, а оставшиеся — к типу пограничных тем, в которых пересекаются геометрическая и величинная содержательные линии данного курса. Рассматривая различные способы разбиения многоугольников на треугольники (а именно такой подход позволяет свести вопрос о вычислении площади многоугольника к умению вычислять площадь треугольника), мы знакомим учащихся с таким понятием, как диагональ многоугольника. Это знакомство осуществляется на основе сопоставления таких двух элементов многоугольника, как сторона и диагональ. У этих элементов есть нечто общее: это отрезки, соединяющие вершины многоугольника, но есть и отличие, которое заключается в том, что только сторона является звеном ломаной, образующей границу многоугольника. Кроме этого, для выпуклых многоугольников (а именно такие многоугольники мы и рассматриваем) диагональ (кроме ее концов) состоит из внутренних точек многоугольника. Между числом сторон и числом диагоналей многоугольника имеется определенная зависимость, которую мы демонстрируем на примерах. У треугольника нет ни одной диагонали. У четырехугольника число диагоналей равно 2. У пятиугольника число диагоналей будет уже равно 5.

Если проводить все возможные диагонали из одной вершины многоугольника (а число таких диагоналей будет на 3 меньше, чем число вершин этого многоугольника), то данный многоугольник будет разбит на треугольники, число которых будет на 1 больше, чем число проведенных диагоналей.

Изучение вопроса о разбиении многоугольника на треугольники не только позволяет учащимся уяснить возможность вычисления площади многоугольника через сложение площадей полученных треугольников, но сделать очень важный вывод обратного характера: если известна площадь многоугольника и этот многоугольник разбит на равные треугольники, то площадь одного такого треугольника можно вычислить, разделив площадь многоугольника на число получившихся треугольников. Если этот вывод применить к прямоугольнику, который разбит с помощью диагонали на два равных прямоугольных треугольника, то не составляет особого труда сделать вывод, что площадь такого треугольника в 2 раза меньше, чем площадь соответствующего прямоугольника. Так как площадь прямоугольника мы уже умеем находить, то, разделив эту площадь пополам, мы получим площадь прямоугольного треугольника. Этот вывод может быть записан с помощью соответствующей словесной формулировки. Возможна его запись и в виде формулы с использованием буквенного выражения, но только в этой формуле пока мы еще не можем использовать в качестве знака деления дробную черту. Один из вариантов такой формулы выглядит следующим образом: S = (ab) : 2.

После того как мы научились вычислять площадь прямоугольного треугольника, можно перейти к рассмотрению вопроса о вычислении площади произвольного треугольника. Этот переход так же осуществляется на основе разбиения данной плоской фигуры на части, площадь которых мы вычислять умеем. Так, любой треугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника, если провести высоту из вершины наибольшего угла. В этом случае проведенная высота будет являться катетом как одного, так и другого из получившихся треугольников. Если теперь достроить каждый из двух прямоугольных треугольников до соответствующего прямоугольника (как мы это делали ранее), то площадь составленного из них большого прямоугольника можно вычислить, умножив основание треугольника на высоту. Это, в свою очередь, означает, что искомая площадь треугольника равна половине площади построенного большого прямоугольника, т. е. равна половине произведения основания на высоту данного треугольника.

Материал, связанный с изучением вопроса о вычислении площади треугольника, выходит за рамки обязательного минимума, предусмотренного государственным образовательным стандартом. По этой причине мы поместили данный материал на «цветных» страницах, что показывает (как и ранее) его факультативный характер. Учитель по своему усмотрению может решать вопрос о включении его в учебный процесс, но мы рекомендуем не оставлять этот материал без внимания, так как он окажет существенную помощь учащимся при дальнейшем изучении соответствующих геометрических вопросов.

Геометрический материал, который мы предлагаем рассмотреть во втором полугодии, посвящен изучению вопросов о свойствах таких геометрических фигур, как квадрат и куб, а также круг и шар. При этом сопоставление плоской и объемной фигур позволяет, с одной стороны, подчеркнуть принципиальные различия этих фигур, а с другой — установить факты, которые их связывают. Куб предлагается рассматривать как частный случай многогранника, а шар — как частный случай фигуры (тела) вращения. Более подробные сведения о многогранниках и фигурах вращения учащиеся смогут получить из соответствующих статей словаря.

При изучении темы «Площадь и объем» мы знакомим учащихся с понятием площади поверхности геометрической фигуры. Тем самым проявляется одно из принципиальных отличий плоской фигуры от объемной: для плоской фигуры не имеет смысла ставить вопрос о ее объеме, а для объемной можно говорить как об объеме всей фигуры, так и о площади ее поверхности.

Измерение площади фигуры с помощью палетки возможно применить и в случае приближенного вычисления площади. При этом учащимся предлагается усвоить следующее: площадь произвольной фигуры приближенно равна сумме площади ступенчатой фигуры, полностью помещающейся в измеряемой фигуре, и половине площади той ступенчатой фигуры, которая содержит границу измеряемой фигуры. На практике это означает, что учащимся нужно подсчитать число клеток палетки, которые полностью находятся внутри измеряемой фигуры, и число клеток, которые частично находятся внутри нее. При этом для получения приближенного значения площади в квадратных сантиметрах (именно эта единица лежит в основе построения палетки) к первому числу нужно прибавить половину второго числа (если второе число нечетное, то можно прибавлять половину любого соседнего с ним четного числа).

На этапе заключительного повторения учащимся предлагается вспомнить основные геометрические фигуры и их свойства, изученные ранее, а также поупражняться в простейших геометрических построениях как на основе измерения, так и не производя измерения.