Geum.ru

О. А. Захарова теоретические основы курса математики в учебно-методическом комплекте «перспективная начальная школа» Лекция

Вид материалаЛекция
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6
Формирование первичных алгоритмических представлений


Линия по обучения решению текстовых (сюжетных) арифметических задач является одной из центральных линий курса. Это исходит из прикладной направленности всего курса, то есть использованию математических знание на практике, что в свою очередь связано с решение той или иной задачи.

В умении решать задачу можно выделить три, достаточно самостоятельных, направления и связанных с ними умений:

1) умение формулировать, преобразовывать задачу;

2) умение составлять алгоритм решения задачи;

3) умение реализовывать алгоритм решения задачи.

Ключевым, в решении задачи, в данном курсе является умение составлять алгоритм (описание) решения, в силу того, что это, во-первых, согласуется с современным понимание решения задачи, а во-вторых, способствует формированию алгоритмического мышления, что непосредственно связано с успешностью овладения основами информатики и информационными технологиями.

Само описание алгоритма задача может быть представлено в трех видах:

1) по действиям (по шаговое описание);

2) в виде число выражения, как свернутой пошаговой записи;

3) в виде буквенного выражения (формулы) с использованием стандартной символики.

Формирование умения решать задачу непосредственно связано с умением работать с текстом (иллюстрацией), а именно:

- умение идентифицировать (определять) текст, являющейся задачей;

- умение составлять преобразовывать текст в задачу;

- умение устанавливать связи между данными и искомыми величинами;

- умение устанавливать последовательность шагов, направленных на нахождение искомой величины;

- умение устанавливать связь между преобразованием текста и происходящим преобразованиями алгоритма решения;

- определять задачи, служащие основой решения других задач (это умение лежит в основе классификации задач).

В заключении отметим на различные трактовки (смыслы) понятия решение. Под решением понимают, во-первых, мыслительный процесс, приводящий к ответу на выдвинутое требование; во-вторых, математическую запись этого процесса, и, в третьих, результат этого процесса.

В обучении решению текстовых задач можно выделить следующие этапы:

1) формирование представление об условии и требовании задачи;

2) выделение арифметических задач, на фоне логических и прочих (установление различия задачи и загадки);

3) нахождение и запись решения;

4) вычисление и запись ответа.

В отношении решения задача, отметим, что на данном этапе изучения математики под решением задачи понимается ее арифметическое решение, т.е. решение, связанное с нахождением неизвестного посредством выполнения одного или нескольких арифметических действий.

Зачастую, основная сложность при решении текстовых (сюжетных) арифметических задач заключается в нахождении алгоритма решения. В связи с этим, в настоящем курсе особое внимание уделяется алгоритмическому описанию процесса, результатом которого является нахождение числа, удовлетворяющего требованию. Более того, основой обучения решению задач является различение самого алгоритма получения искомого от его непосредственного выполнения. Такой подход связан как с современным тенденциями развития самой математики, так и с бурно развивающимися, на сегодняшний день, процесса компьютеризации всех сфер деятельности человека. Именно такое видение решения задач и легло в основу «алоритмического» обучения. Любая традиционная форма записи решения (по действиям или в виде числового выражения) содержит последовательность самостоятельных, связных между собой шагов (действий), выполнение которых приводит к получению значения искомой величины.

Заключительным этапом в решении задачи является вычисление (реализация алгоритма) и запись ответа. Причем, этот этап может быть как заключительным (в случаи записи алгоритма решения в виде выражения), так и осуществлять в непосредственной связи с описанием самого алгоритма (как в случае решения по действиям). При выполнении каждого действия результат сопровождается указанием (в скобках) соответствующего наименования, что позволяет делать правильные пояснения к действиям, а на заключительном этапе – давать ответ.

Линия по обучению решению арифметических сюжетных (текстовых) задач (условно мы ее называем «алгоритмической») является центральной для данного курса. Ее особое положение определяется тем, что настоящий курс имеет прикладную направленность, которая выражается в умении применять полученные знания на практике. А это, в свою очередь, связано с решением той или иной задачи. При этом для нас важно не только научить учащихся решать задачи, но и правильно формулировать их, используя имеющуюся информацию. Особое внимание мы хотим обратить на тот смысл, который нами вкладывается в термин «решение задачи»: под решением задачи мы понимаем запись (описание) алгоритма, дающего возможность выполнить требование задачи. Сам процесс выполнения алгоритма (получение ответа задачи) важен, но не относится нами к обязательной составляющей умения решать задачи (получение ответа задачи мы относим прежде всего к области вычислительных умений). Такой подход к толкованию термина «решение задачи» нам представляется наиболее правильным. Во-первых, это согласуется с современным математическим пониманием сути данного вопроса; во-вторых, ориентация учащихся на алгоритмическое мышление будет способствовать более успешному освоению ими основ информатики и новых информационных технологий. Само описание алгоритма решения задачи мы допускаем в трех видах: 1) по действиям (по шагам) с пояснениями; 2) в виде числового выражения, которое мы рассматриваем как свернутую форму описания по действиям, но без пояснений; 3) в виде буквенного выражения (в некоторых случаях в виде формулы или в виде уравнения) с использованием стандартной символики. Последняя форма описания алгоритма решения задачи будет использоваться только после того, как учащимися достаточно хорошо будут усвоены зависимости между величинами, а также связь между результатом и компонентами действий.

Что же касается самого процесса нахождения решения задачи (а в этом смысле термин «решение задачи» также часто употребляется), то мы в нашем курсе не ставим целью осуществить его полную алгоритмизацию. Более того, мы вполне осознаем, что этот процесс, как правило, содержит этап нестандартных (эвристических) действий, что препятствует его полной алгоритмизации. Но частичная его алгоритмизация (хотя бы в виде четкого усвоения последовательности этапов работы с задачей) не только возможна, но и необходима для формирования у учащихся общего умения решать задачи.

Для формирования умения решать задачи учащиеся, в первую очередь, должны научиться работать с текстом и иллюстрациями: определить, является ли предложенный текст задачей, или как по данному сюжету сформулировать задачу, установить связь между данными и искомым, и определить последовательность шагов по установлению значения искомого. Другое направление работы с понятием «задача» связано с проведением различных преобразований имеющегося текста и наблюдениями за теми изменениями в ее решении, которые возникают в результате этих преобразований. К этим видам работы относятся: дополнение текстов, не являющихся задачами, до задачи; изменение любого из элементов задачи, представление одной и той же задачи в разных формулировках; упрощение и усложнение исходной задачи; поиск особых случаев изменения исходных данных, приводящих к упрощению решения; установление задач, которые можно решить при помощи уже решенной задачи, что в дальнейшем становится основой классификации задач по сходству математических отношений, заложенных в них.

Определяющим фактором развития данной содержательной линии во втором полугодии 2-го класса является переход от рассмотрения вопросов, связанных с обучением решению только простых задач, к вопросам обучения решению составных задач. При этом проблема обучения решению простых задач не остается без нашего внимания: учащиеся учатся решать простые задачи на умножение и деление, а также простые задачи на сложение и вычитание с помощью уравнений.

Методические подходы, которые мы используем при обучении решению текстовых арифметических задач, принципиально зависят от того, о простых или составных задачах идет речь. Умение решать простые задачи заключается в правильном выборе действия для ее решения, а это, в свою очередь, опирается на хорошее знание смысла каждого арифметического действия во всех аспектах (количественном, порядковом, величинном). Для решения составных задач важную роль играет другое умение — умение сформулировать к данной задаче одно или несколько дополнительных требований, ответы на которые дают необходимую дополнительную информацию, позволяющую получить ответ на основное требование задачи.

Другими словами, нужно научиться представлять решение составной задачи как последовательное решение нескольких взаимосвязанных простых задач, когда полученное искомое одной задачи становится данным для другой задачи. Для достижения этого необходимо научиться анализировать формулировку задачи в комплексе, т.е. учитывать сразу и условие, и требование. Традиционно принятый в методике анализ от требования или от условия, на наш взгляд, имеет целый ряд существенных недостатков. Дело в том, что такой путь анализа не позволяет видеть конечную цель, а значит может завести в тупик, так как даже в самых несложных ситуациях существуют различные пути логического продвижения от имеющихся предпосылок, которые приводят к различным выводам.

Например, при поиске решения задачи с требованием «Установить число карандашей в двух коробках» вполне логично возникает вывод о том, что для этого нужно знать число карандашей в каждой коробке, но такой вывод только усложнит ситуацию, если условие в задаче сформулировано следующим образом: «В первой коробке 6 карандашей, а в двух — в 5 раз больше, чем в первой».

Подводя итог вышесказанному, еще раз подчеркнем, что для обучения решению составных задач используется совсем другой подход по сравнению с тем, что применялся при обучении решению простых задач. В случае составной задачи нам важно научить учащихся анализировать формулировку задачи с позиции восстановления недостающих логических звеньев, которые должны соединить условие и требование задачи. В нашей трактовке такими логическими звеньями будут являться дополнительные промежуточные требования, последовательное выполнение которых должно привести к получению информации, позволяющей ответить на основное требование задачи.

Для нахождения этих дополнительных условий целесообразно осуществлять логическое продвижение не в одном направлении (от требования к условию или от условия к требованию) как это принято в традиционной методике, а двигаться навстречу от требования и условия поочередно. Например, после того, как определены те данные, которые позволят ответить на требование задачи, нужно обратиться к условию и установить, можно ли эти данные получить из условия как ответ на одно или несколько дополнительных промежуточных требований к задаче. Если ответ будет положительным, то эти дополнительные требования вместе с основным требованием и определят последовательность и содержание шагов для решения данной задачи. Напоминаем, что каждый шаг в решении составной задачи состоит в решении соответствующей простой задачи, поэтому он может быть записан в виде выполнения одного арифметического действия. Если же ответ будет отрицательным, то следует опять обратиться к анализу основного требования и постараться определить другие данные, которые также дадут возможность ответить на это требование. Далее процедура перехода к анализу условия повторяется.

Покажем на примере, как это можно реализовать. Для этого рассмотрим следующую задачу: «В первой корзине лежало 20 яблок, во второй — на 3 больше, чем в первой, а в третьей — на 5 меньше, чем во второй. Сколько яблок лежало в третьей корзине?». Начинаем работу с анализа требования.

Единственной полезной информацией, которую мы можем извлечь из требования, является информация о том, что нас интересует число яблок в третьей корзине. Никаких разумных дополнительных требований по этой информации мы сформулировать не можем. Следовательно, нужно переходить к анализу условия, а точнее к той его части, где речь идет о третьей корзине. В условии сказано, что яблок в третьей корзине на 5 меньше, чем во второй. Это означает, что нам дополнительно нужно узнать, сколько яблок во второй корзине. Вот и определилось дополнительное промежуточное требование.

Продолжая анализировать условие применительно к этому дополнительному требованию, мы устанавливаем, что ответ на это требование может быть получен в результате выполнения одного действия сложения, так как число яблок во второй корзине на 3 больше чем в первой, а в первой их число известно (20 яблок). Таким образом, достаточно ввести одно дополнительное промежуточное требование, чтобы с его помощью получить ответ на основное требование задачи. При этом решение задачи будет состоять из двух действий. В том случае, когда условие и требование нельзя соединить одним логическим звеном в виде дополнительного требования, а нужно найти несколько последовательных дополнительных требований (составная задача решается в три и более действий), переход от анализа требования к анализу условия и наоборот может осуществляться несколько раз с постепенным сближением новых полученных данных с новыми сформулированными требованиями. Более детальный разговор на эту тему нам еще предстоит, так как задачи в три и более действий будут предметом изучения в следующих классах. О малой эффективности проведения однонаправленного анализа в таких ситуациях было сказано выше. Мы лишь еще раз хотим подчеркнуть, что однонаправленный анализ имеет высокую степень вероятности завести ученика в логический тупик. Тогда потребуется возвращаться на исходные позиции и начинать работу заново.

В первом полугодии 3-го класса мы продолжаем проводить систематическую работу по обучению решению сюжетных арифметических задач. При этом основное внимание будет уделено разъяснению логической структуры составных задач на сложение и вычитание, способам распознавания и графическому моделированию простых задач на умножение и деление, а также составлению краткой записи в виде таблицы. Что касается выявления логической структуры составных задач на сложение и вычитание, то мы предлагаем этот вопрос изучать на основе построения и анализа графических схем, первичным элементом конструкции которых является хорошо знакомая учащимся круговая схема простой задачи на сложение или вычитание. В зависимости от сложности логической структуры составной задачи такая схема может состоять из нескольких «простых» схем. Мы в основном будем рассматривать «двойные» схемы, которым отвечает решение в два действия, но познакомим учащихся и с «тройными» схемами. Принцип использования таких схем, как и ранее, заключается в следующем: мы обучаем учащихся решению задач через составление разнообразных задач по заданной логической структуре, представленной с помощью данной схемы (сами схемы также варьируются). Когда учащиеся в достаточной степени владеют этим умением, тогда они смогут без особого труда определять логическую структуру данной задачи и тем самым находить ее решение.

Для графического моделирования простых задач на умножение и деление мы предлагаем использовать диаграммы сравнения. Выбор такой модели определяется следующими соображениями: во-первых, диаграмма сравнения устроена так, что в ее конструкции задействован числовой луч, что позволяет готовить учащихся к изучению системы координат (моделирование с помощью отрезков такой возможности не предоставляет); во-вторых, диаграммы сравнения — это очень востребованный в настоящее время графический способ представления числовых данных (диаграммы сравнения учащиеся постоянно могут видеть на экранах телевизоров или в периодической печати); в-третьих, с помощью диаграмм сравнения можно наглядно представить как процедуру увеличения, так и процедуру уменьшения в несколько раз. Из всех типов диаграмм сравнения мы выбрали для использования так называемые «полосчатые» диаграммы, в которых числовое данное иллюстрируется с помощью длины (в определенном масштабе) горизонтальной полосы. Такие диаграммы наилучшим образом согласуются с горизонтальным расположением числового луча, которое является для учащихся привычным и хорошо знакомым. Еще одним фактором, определившим данный выбор, является более компактное и рациональное расположение «полосчатых» диаграмм по сравнению, например, с диаграммами в виде вертикальных столбиков.

Формируя общие умения решать арифметические сюжетные задачи, мы обращаем особое внимание на задачи, которые принято называть «задачами на кратное сравнение». Этот тип задач легко распознается по специфическому требованию, в котором речь идет о том, во сколько раз одно число (или величина) больше (или меньше) другого числа (или величины). По этой причине для решения таких задач можно использовать правило «кратного сравнения», с которым учащиеся предварительно уже познакомились. Выполнение этого правила требует выполнения действия деления, которое должно быть заключительным действием искомого решения (если задача простая, то это действие будет единственным). Обращаем внимание на тот факт, что аналогичная ситуация имела место при рассмотрении вопроса о задачах на разностное сравнение. Эту аналогию вполне можно использовать в методических целях, проводя соответствующие параллели между решением задач на кратное сравнение и решением задач на разностное сравнение.

С существованием краткой записи задачи учащиеся познакомились во 2-м классе. Теперь мы познакомим их с тем, как можно использовать таблицу для оформления краткой записи задачи. Такая форма краткой записи имеет, на наш взгляд, целый ряд преимуществ по сравнению с традиционной формой краткой записи. Во-первых, запись в виде таблицы более системна и информативна. Не случайно табулирование данных считается одной из простейших, но эффективных форм обработки данных. Во-вторых, при такой форме записи учащиеся постоянно учатся работать с таблицей, что является очень важным умением с точки зрения дальнейшего обучения. В-третьих, мы готовим учащихся к использованию таблицы при осуществлении краткой записи задач с пропорциональными величинами. В)четвертых, в отдельных случаях краткая запись задачи в виде таблицы может рассматриваться как пропедевтика изучения функциональной зависимости.

Мы не предлагали ранее такую форму краткой записи лишь по соображениям возможного возникновения проблем технического порядка при построении таблицы учащимися.

Во втором полугодии 3-го класса мы продолжаем систематическую и целенаправленную работу по формированию общих умений решения сюжетных арифметических задач. В данном случае основное внимание будет сосредоточено на работе с задачами с недостающими и избыточными данными. Это направление работы с понятием «задача» связано с проведением различных преобразований имеющегося текста и наблюдениями за теми изменениями в ее решении, которые возникают в результате этих преобразований. Учащиеся познакомятся с различными способами получения недостающих данных, которые позволяют сделать формулировку задачи полной, т.е. такой, из которой можно получить ответ на поставленное требование. В качестве таких способов мы предлагаем рассмотреть два основных. К первому способу мы относим такие действия, которые связаны с непосредственным получением недостающих данных путем счета или измерения (например, подсчет ящиков, которые привезли на склад, или измерение длины стены в комнате). Ко второму способу мы относим все действия, которые заключены в получении необходимой информации из дополнительных источников (например, из справочной литературы, средств массовой информации, этикеток на товары, от знающих эту информацию людей и т.д.).

Это направление работы над задачей очень тесно связано с формированием умения правильно формулировать задачи на основе анализа некоторой реальной ситуации. Овладение именно этим умением позволяет нам говорить о практической направленности данного учебного материала: в реальной жизни постоянно приходится сталкиваться с ситуациями, которые требуют преобразования их в сюжетные арифметические задачи с последующим их решением. В виде готового текста задачи существуют лишь в учебниках, но не в реальной жизни.

Другое направление работы над задачей связано с формированием умения производить отбор необходимых данных из их избыточного перечня. Это направление работы напрямую выводит учащихся на проблему поиска оптимального варианта решения задачи, которую мы, как это традиционно принято, трактуем как выбор рационального пути решения. Рационализм выбранного пути решения может проявляться и в минимизации числа выполняемых для получения ответа действий, и в выборе таких действий, выполнить которые технически значительно проще. Можно говорить и о других параметрах рационализации решения задачи (например, о применении графических методов решения), но для нас на данном этапе обучения главную роль будет играть умение выбрать вариант решения с минимальным числом действий.

В качестве дополнительных видов работы, которые учитель может использовать для развития данной содержательной линии, мы можем рекомендовать следующие: 1) дополнение текстов, не являющихся задачами, до задачи; 2) изменение любого из элементов задачи; 3) представление одной и той же задачи в разных формулировках; 4) упрощение и усложнение исходной задачи; 5) поиск особых случаев изменения исходных данных, приводящих к упрощению решения; 6) установление задач, которые можно решить при помощи уже решенной задачи, что в дальнейшем становится основой классификации задач по сходству математических отношений, заложенных в них.

Вопросы обучения решению сюжетных (текстовых) арифметических задач занимают центральное место среди всех вопросов, изучаемых в первом учебном полугодии 4!го класса. Уже в первых трех темах (мы сейчас не берем в расчет тему «Сначала займемся повторением») учащиеся знакомятся с новыми типами задач, которые можно классифицировать как задачи, в которых известен результат либо разностного сравнения, либо кратного сравнения, либо и того и другого.

Сначала остановимся более подробно на задачах, в которых известен результат разностного сравнения величин (чисел). Эти задачи можно разделить на две группы: 1) когда дополнительно известен результат сложения величин (чисел), 2) когда дополнительно известен результат разностного сравнения других величин (чисел).

В первом случае такие задачи принято еще называть задачами «на сумму и разность», а во втором — задачами «на две разности».

Задачи на сумму и разность удобно решать, используя схему, на которой каждая из двух неизвестных величин изображается в виде полосы определенной длины (учитывается результат сравнения величин), при этом полосы расположены так, что они образуют общую полосу, которая изображает сумму этих величин.

Основная идея решения задач на сумму и разность состоит в том, что уменьшение известной суммы на величину известной разности приводит к получению удвоенной меньшей искомой величины. Если же известную сумму увеличить на величину известной разности, то получится удвоенная большая искомая величина. Оба эти факта очень хорошо можно проиллюстрировать на описанных выше линейных схемах, что существенно упрощает для учащихся поиск решения задач такого типа.

Что же касается задач, в которых известен результат кратного сравнения, то такие задачи можно сокращенно называть задачами на «сумму и частное». При поиске решения таких задач также удобно использовать для наглядности схемы. В этом случае построение схемы начинается с построения полосы, которая будет изображать меньшую величину (эта величина условно принимается за 1 часть).

К этой полосе пристраивается вторая полоса, длина которой (в выбранных частях) определяется данным результатом кратного сравнения. Эта вторая полоса будет изображать вторую величину. Получившаяся общая полоса будет изображать сумму искомых величин. После того как такая схема построена, не составляет особого труда определить с помощью деления величину 1 части и вычислить величину оставшихся частей.

Кроме указанного блока тем учащимся в первом полугодии будет предложено для изучения еще три блока тем, в которых рассматриваются вопросы, связанные с сюжетными арифметическими задачами.

Они посвящены соответственно задачам на процесс купли-продажи, движение и работу. Особенностью изучения этих блоков тем является то, что с математической точки зрения задачи, рассматриваемые в них, абсолютно аналогичны. Именно использование принципа аналогии позволяет задачи на движение сопоставлять с соответствующими задачами на куплю-продажу. Для того чтобы эту аналогию сделать более явной, мы предлагаем записывать наименование для цены по тому же принципу, что и наименование для скорости. Например, если используется наименование руб./кг, то оно относится к цене в рублях за 1 кг товара. Когда же учащиеся перейдут к рассмотрению производительности, то уже в названии темы мы ориентируем их на то, что производительность — это скорость выполнения работы. Наименование для производительности также дается по указанному выше принципу. Например, наименование стр./ч означает, что речь идет о чтении (печати) количества страниц за 1 час. Таким образом, задачи всех трех блоков можно изучать в комплексе, что существенно упрощает и сокращает по времени решение данной учебной задачи.

В теме «Разные задачи» мы предлагаем учащимся познакомиться с некоторыми видами логических и комбинаторных задач. Для решения таких задач не требуется каких-то дополнительных знаний, но способы их решения существенно отличаются от тех, с которыми учащиеся уже хорошо знакомы. Методические рекомендации по работе с каждой такой нестандартной задачей будут представлены далее в соответствующем разделе.

Вопросы обучения решению сюжетных (текстовых) арифметических задач занимают очень важное место среди всех вопросов, изучаемых во втором учебном полугодии. Кроме продолжения линии на рассмотрение задач на процессы движения, работы и купли-продажи, учащимся предлагается познакомиться с задачами на нахождение части от величины и величины по ее части. При решении задач на процесс движения мы предлагаем сначала обратить внимание учащихся на существование прямой пропорциональной зависимости пройденного пути от скорости при постоянном времени движения и на существование обратной пропорциональной зависимости между скоростью и временем при постоянной длине пройденного пути.

Из всех задач на процесс движения мы выделяем задачи двух типов: задачи на движение в одном и том же направлении и задачи на движение в противоположных направлениях. В первом случае скорость изменения расстояния между движущимися объектами (а это может быть и скорость сближения и скорость удаления) равняется разности скоростей движущихся объектов. Во втором случае эта же скорость равняется сумме скоростей движущихся объектов. Научить учащихся распознавать именно эти две типичные ситуации и применять соответствующие каждой из них правила — вот, на наш взгляд, основная цель при обучении решению задач на процесс движения.

В полном соответствии с этим мы и выстраиваем систему заданий в этом тематическом блоке. Существенную помощь в решении задач на процесс движения может оказать схематическое моделирование. По этой причине мы уделяем достаточно много внимания построению схем к задачам на процесс движения.

При рассмотрении задач на процесс работы мы, как и ранее, опираемся на идею аналогии с задачами на процесс движения. Аналогия просматривается не только в выбранной последовательности изучаемых тем, но и в построении системы заданий внутри каждой темы. Более того, мы проводим аналогию даже на уровне задач на скорость — производительность при совместной работе: учащимся предлагаются задачи, при решении которых нужно находить как сумму индивидуальных производительностей, так и их разность.

В первом случае имеется аналогия с движением в противоположных направлениях, а во втором — с движением в одном и том же направлении.

После ознакомления с задачами на процесс движения и процесс работы мы предлагаем учащимся рассмотреть задачи на процесс купли-продажи. Логика построения этого тематического блока повторяет логику двух предшествующих тематических блоков. И в этом случае мы также используем идею аналогии. Такая аналогия просматривается практически во всех вопросах. Исключение составляет лишь ситуация, когда результирующая цена определяется как разность двух известных цен. Задач на такое правило вычисления результирующей цены мы учащимся практически не предлагаем. Но не потому, что таких задач не существует (примером может служить вычисление цены молока, продающегося в бутылках, когда известна цена «бутылки молока» и закупочная цена пустой молочной бутылки), а потому, что такие задачи выглядят достаточно искусственными.

На этапе заключительного повторения мы предлагаем учащимся вспомнить освоенные ими способы решения арифметических сюжетных задач с использованием различных моделей (с опорой на схемы, краткие записи и т. д.), а также поупражняться в применении этих способов.