Geum.ru

О. А. Захарова теоретические основы курса математики в учебно-методическом комплекте «перспективная начальная школа» Лекция

Вид материалаЛекция
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6
.

Для обозначения результата действия вводится специальный термин – значение суммы (разности). Различение понятий сумма (разность) – значение суммы (разности) обусловлено облегчение, снятием двусмысленности многих формулировок, а также полным соответствием понятиям числовое выражение – значение числового выражения, которые будут вводиться позднее.

Т.о. введении действия сложения и вычитания проходит следующие этапы:

1) формирование понятия действия;

2) введение названия действия, компонент действия, знака действия;

3) введение названия результата действия.

После введений самих действия рассматриваются их взаимосвязь, свойства, способы упрощения нахождения результата действий.

После изучения первых пяти чисел учащиеся знакомятся с понятием сложения. Место введения операции сложения в данном курсе обусловлено следующим: во-первых, для правильного формирования понятия действия (операции) необходимо указать пару чисел над которыми совершается действие, а также третье число – результат действия. Для этого, на момент введения операции необходимо иметь определенный «запас» чисел. Во-вторых, не целесообразно откладывать введение этой операции, дабы искусственно не тормозить математическое развитие детей, так как аддитивность, является одной из основ формирования числового ряда.

Одним из важнейших свойств сложения и вычитания является из взаимообратность. Не смотря на то, что эти операции в курсе вводятся отдельно, выявлению их взаимосвязи посвящен отдельный урок. Значимость дано свойства определяется следующим:

- на его основе можно вводить понятие разности (как числа, к которому нужно прибавить вычитаемое, чтобы получить уменьшаемое);

- оно послужит основой для нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого или вычитаемого;

- это свойство можно использовать для проверки правильности выполнения соответствующего действия.

Итогом работы с операциями сложения и вычитания является заполнение таблицы сложения.

В первом полугодии второго класса продолжается изучение действий сложения и вычитания (вычислительный аспект). Особое внимание, как это и заявлено в программе, уделяется способам и приемам устных вычислений. При этом последовательность изучения различных приемов строго определена, так как практически каждый новый прием вычисления опирается на ранее изученные. Особое внимание уделяется поразрядному способу сложения и вычитания. Такое пристальное внимание указанному способу объясняется не тем, что при выполнении устных вычислений этот способ наиболее удобен, а тем, что усвоение этого способа на данном этапе изучения действий создает очень хорошую базу для перехода к изучению алгоритмов письменного сложения и вычитания столбиком, которое начнется во втором полугодии 2-го класса.

В первом полугодии 2-го класса начинается систематическое изучение действия умножения, которое вводится как сложение одинаковых слагаемых. Сначала учащимся предлагается освоить лишь распознавание и запись этого действия, а его результат они будут находить с помощью сложения. Обращаем внимание на достаточно раннее рассмотрение переместительного свойства умножения, что позволяет объяснить «разумность» правил умножения на 0 и на 1, а также упростить составление таблицы умножения. Отдельно вводятся случаи умножения на 0 и на 1. Составление таблицы умножения (основанное на определении умножения и на умении учащихся выполнять сложение в пределах 100) завершается к концу первого полугодия, а в течение второго полугодия работа с таблицей будет продолжена, причем работа будет построена таким образом, чтобы в результате этой работы произошло запоминание всех табличных случаев умножения. После рассмотрения первых четырех столбиков таблицы умножения целесообразно рассмотреть вопрос о порядке выполнения действий (для сложения и умножения). Более раннее рассмотрение этого вопроса не рекомендуется в силу недостаточно подготовленной операционной базы, а откладывание этой темы на более поздний срок существенно обедняет тот набор заданий, который может быть предложен учащимся при изучении оставшихся случаев умножения.

Во втором полугодии второго класса продолжается изучение действий сложения и вычитания (вычислительный аспект). Но теперь особое внимание уделяется не способам и приемам устных вычислений, а способу сложения и способу вычитания столбиком. Мы намеренно не называем этот способ алгоритмом сложения (или, соответственно, вычитания) столбиком, так как мы не предполагаем знакомить учащихся с полной формулировкой этого алгоритма, а лишь дать примеры использования алгоритма в некоторых типичных случаях (без перехода через разряд и с переходом через разряд).

Во втором полугодии не остается без внимания и действие умножения, но практически вся работа в этом направлении сосредоточена на отработке табличных случаев умножения. Во второй части учебника осуществляется знакомство учащихся и с действием деления. Вводится деление на основе предметных действий, заключающихся в разбиении некоторой совокупности предметов как на группы, содержащие одно и то же заданное число предметов (так называемое деление по содержанию), так и на заданное число равночисленных частей (так называемое деление на равные части). Как и при изучении предыдущих трех арифметических действий важное значение придается усвоению соответствующей терминологии: с самых первых уроков мы учим учащихся различать делимое и делитель, частное и значение частного. Особое внимание следует обратить на тот факт, что действие деления вводится как самостоятельное действие без опоры на действие умножения. Это позволяет не ставить деление в жесткую определяющую зависимость от умножения, что, в свою очередь, дает возможность избежать формирования ошибочного представления о делении как действии зависимом и второстепенном по сравнению с умножением. Существующая взаимосвязь арифметических действий устанавливается по ходу их изучения и рассматривается как свойство этих действий. Так, сначала учащиеся знакомятся с тем, как деление связано с вычитанием. Эта взаимосвязь аналогична той, которая существует между умножением и сложением, поэтому она легко воспринимается учащимися и находит практическое применение в качестве вычислительной базы для нахождения значения частного. Например, значение частного 8 : 2 можно трактовать как число, которое показывает, сколько раз из 8 можно вычесть 2.

Изучение взаимосвязи деления и умножения включено в программу 3-го класса, поэтому сейчас мы этот вопрос не затрагиваем. Но затрагиваем другой важный вопрос, касающийся существующих взаимосвязей. Речь идет о связи деления с измерением величин. Процедура измерения величины с помощью некоторой выбранной величины-мерки может быть истолкована как деление измеряемой величины на величину-мерку, в результате чего выясняется, сколько раз величина-мерка укладывается в измеряемой величине. Если распространить этот подход на ситуацию с предметными совокупностями, то «деление по содержанию» есть ни что иное, как измерение данной предметной совокупности некоторой выбранной меркой, являющейся частью этой совокупности. Например, когда мы связываем 15 морковок в пучки по 3 морковки, мы «измеряем» первоначальную совокупность в 15 морковок с помощью мерки-пучка из 3-х морковок и устанавливаем, что эта мерка укладывается в измеряемой совокупности 5 раз. Тот же результат мы получим и при вычислении значения частного 15 : 3.

Еще один аспект изучения действий над числами заключается в рассмотрении вопроса о порядке их выполнения. Во втором полугодии учащиеся сначала узнают о приоритетности умножения над вычитанием аналогично тому, как это было сделано для умножения и сложения. А после того, как вводится действие деления, изучается тема «Действия первой и второй ступеней». При изучении этой темы мы предлагаем опираться на хотя и искусственную, но очень удобную ассоциацию, заключающуюся в том, что с действиями первой ступени (сложением и вычитанием) учащиеся знакомятся в первом классе, а с действиями второй ступени умножением и делением) — во втором.

В первом полугодии 3-го класса продолжается изучение способа сложения (вычитания) многозначных чисел столбиком. При этом в рассмотрение включаются изученные только что числа, вплоть до шестизначных, а сам способ рассматривается уже на уровне алгоритма сложения (вычитания) столбиком, так как учащиеся должны научиться правильно действовать во всех возможных случаях. Мы хотим особо подчеркнуть, что от учащихся не требуется знать формулировку соответствующего алгоритма, но они должны уметь дать правильный ответ на все вопросы, которые могут возникнуть в процессе выполнения этого алгоритма. Полная формулировка самого алгоритма сложения (вычитания) столбиком представляет собой достаточно сложную логическую конструкцию, которую учащимся выстроить или запомнить очень непросто, но это и не обязательно делать. На наш взгляд, вполне достаточно уметь применять соответствующий алгоритм для выполнения вычислений, а для этого требуется знать, как нужно поступать в тех или иных ситуациях, возникающих при сложении (вычитании) многозначных чисел столбиком. Найти ответ на конкретный вопрос, касающийся выполнения алгоритма, гораздо проще, чем строить формулировку, предусматривающую ответы на все вопросы, которые могут возникнуть в процессе выполнения этого алгоритма.

Изучение действия умножения выходит за рамки табличных случаев и распространяется на случай умножения многозначного числа на однозначное. Для этого случая умножения вводится запись столбиком, но сам способ умножения столбиком пока еще не рассматривается. Предшествует изучению этого вопроса рассмотрение двух вспомогательных тем, без которых нельзя обосновать поразрядный способ умножения многозначного числа на однозначное. Речь идет о случаях умножения «круглого» числа на однозначное и об умножении суммы на число.

Важным моментом в изучении действий умножения и деления является рассмотрение свойства, выражающего взаимосвязь этих действий. На основании этого свойства можно находить значение частного, опираясь на знание соответствующего случая умножения. Обратная связь также существует, но она используется не так часто.

Особое внимание уделяется изучению сочетательного свойства умножения. Обоснование этого свойства построено на рассмотрении вопроса о подсчете числа кубиков, из которых построен прямоугольный параллелепипед: различные варианты разбиения этой фигуры на части позволяют смоделировать различные варианты расстановки скобок в произведении трех множителей и показать независимость значения этого произведения от такой расстановки. Сочетательное свойство находит применение при рассмотрении вопроса о группировке множителей (здесь оно применяется вместе с переместительным свойством), а также при рассмотрении вопроса о повторном увеличении числа или величины в несколько раз (без сочетательного свойства умножения нельзя обосновать тот факт, что увеличение, например, в 3 раза, а потом в 2 раза можно заменить увеличением сразу в 6 раз).

Во втором полугодии 3-го класса продолжается изучение алгоритма сложения (вычитания) многозначных чисел столбиком. При этом предлагаемые задания имеют целью предоставить учащимся возможность поупражняться в выполнении этих алгоритмов на множестве изученных уже чисел, но эти упражнения задаются, как правило, не непосредственно (что существенно снижало бы их эффективность в силу однообразия и монотонности такого рода деятельности), а опосредованно через другие виды заданий. В частности, алгоритм сложения многозначных чисел столбиком учащимся постоянно приходится применять при выполнении способа умножения на двузначное число столбиком.

Изучение действия умножения выходит на новый уровень. На базе рассмотренного ранее случая умножения на однозначное число изучается способ умножения на двузначное число столбиком. Для его обоснования предварительно рассматриваются случаи умножения на число 10 и на остальные «круглые» двузначные числа, а также свойство умножения числа на сумму. Знание именно этих фактов позволяет представить процедуру умножения на двузначное число как последовательное выполнение умножения на однозначное число и на «круглое» двузначное число с последующим сложением полученных результатов. Записи всех этих трех этапов умножения на двузначное число сначала рассматриваются отдельно, а потом объединяются в одну запись, которая и используется в алгоритме умножения столбиком (пока об алгоритме в целом мы речь не ведем, так как обучаем учащихся применять только частный случай этого алгоритма).

Достаточно много времени во втором учебном полугодии будет уделено изучению действия деления. Речь пойдет не только о постоянной тренировке в освоении табличных случаев деления, но и о существенном расширении перечня случаев деления, с которыми познакомятся учащиеся. Будут рассмотрены случаи деления «круглых» десятков на число 10, «круглых» сотен на число 100, «круглых» тысяч на число 1000, а также устные приемы деления двузначных чисел на однозначные (внетабличные случаи) и двузначных чисел на двузначные. Важным моментом, связанным с изучением действия деления, является рассмотрение свойств этой операции. Наряду с такими очевидными свойствами, в которых рассматриваются случаи деления на число 1, деления числа на само себя и деление числа 0 на натуральное число, мы делаем попытку обосновать правило: «деление на 0 невозможно!».

Обоснование этого правила основано на использовании хорошо известного учащимся свойства, связывающего действия умножения и деления. Если допустить, что натуральное число, например число 127, можно разделить на число 0 и получить в результате какое)то число, то это число при умножении на число 0 (на делитель) должно дать число 127 (делимое), что невозможно в силу свойства умножения на число 0. Именно такие рассуждения мы предлагаем учащимся провести на примере нахождения корня уравнения: х •0 = 127.

Подробнее о том, как мы предлагаем построить изучение этого вопроса, можно узнать из методических рекомендаций к теме «Делить на 0 нельзя!».

Еще два важных свойства деления (деление суммы на число и деление разности на число), которые мы также предлагаем рассмотреть, лежат в основе выполнения приемов деления, которые можно успешно использовать в устных вычислениях.

В первом полугодии 4-го класса изучение действий над числами в основном сводится к изучению действия деления с остатком. При этом мы не забываем о тренировочной работе по выполнению алгоритмов сложения, вычитания и умножения столбиком. Более того, первая тема этого направления арифметической содержательной линии посвящена рассмотрению алгоритма умножения столбиком. Напомним, что необходимая подготовительная работа по освоению этого алгоритма была проделана в 3!м классе. Сейчас нам остается только повторить уже изученный материал и сделать завершающий вывод. Таким выводом как раз и будет введение в арсенал вычислительных умений учащихся алгоритма умножения столбиком в полном его объеме.

Действие деления с остатком мы предлагаем учащимся рассмотреть в сопоставлении с действием деления нацело, т. е. с тем действием, которое им уже хорошо знакомо. Именно такое сопоставление позволяет нам акцентировать внимание учащихся на основных особенностях действия деления с остатком. Следует выдвинуть на первый план тот факт, что результатом этого действия является не одно число (как это имело место для всех ранее изученных арифметических действий), а пара чисел, из которых первое показывает, какое максимальное число раз делитель содержится в делимом, а второе — какое еще число остается при этом в остатке. Для первого числа мы вводим термин «неполное частное», а для второго — «остаток».

Вместо термина «неполное частное», опираясь на принятую нами систему терминов, следовало бы ввести термин «значение неполного частного», но мы этого не делаем, так как, во-первых, такой термин выглядит излишне громоздким, а во-вторых, в нем нет необходимости в силу того, что термин «неполное частное» в других ситуациях не применяется и никакой терминологической путаницы это вызвать не может.

Практически с самого начала изучения действия деления с остатком мы обращаем внимание учащихся на связь между делителем и остатком, показывая, что остаток всегда должен быть меньше делителя. Указанный факт мы рассматриваем как условие однозначности нахождения неполного частного и остатка, что является обязательным требованием к результату любой операции (любого арифметического действия). Продолжая разговор об остатке, мы предлагаем учащимся познакомиться со случаями деления с остатком, в которых остаток равен 0. Эти случаи приводят к рассмотрению деления нацело, что позволяет в дальнейшем считать деление нацело частным случаем деления с остатком.

Особого внимания заслуживают те случаи деления с остатком, в которых делимое меньше делителя. Для таких случаев характерно, что неполное частное в них равно 0, а остаток совпадает с делимым. Не следует думать, что эти случаи представляют интерес только с точки зрения их теоретической осуществимости. Они имеют и вполне определенную практическую направленность. Дело в том, что эти случаи деления с остатком могут быть промежуточными шагами при выполнении алгоритма деления с остатком столбиком.

От учащихся потребуется понимание того, что при делении с остатком меньшего числа на большее в неполном частном получается 0 (этот 0 нужно обязательно записывать в соответствующий разряд окончательного результата деления), а имеющееся делимое переходит в категорию остатка, и дальнейшая работа с этим числом происходит по правилам работы с остатком.

Изучая действие деления, мы предлагали учащимся рассматривать его как кратное вычитание. Такая связь деления и вычитания имеет место и при изучении деления с остатком. Учащимся следует обратить внимание на тот факт, что неполное частное можно трактовать как число, которое показывает, какое наибольшее число раз можно вычесть делитель из делимого. При этом остаток показывает, какое еще число после такого вычитания остается. Опираясь на условие, которому должен удовлетворять остаток при делении с остатком, мы предлагаем учащимся выяснить, какие возможны остатки при делении целых неотрицательных чисел на число 2. Учитывая, что такими остатками могут быть только числа 0 и 1, мы вводим понятия «четное число» и «нечетное число». Об изучении свойств таких чисел было сказано выше в разделе «Изучение чисел». Напомним только о том, что эти свойства непосредственно связаны со всеми изученными ранее арифметическими действиями.

Своеобразным итогом работы по изучению действия деления с остатком является переход от записи этого действия в строчку к записи столбиком. Предлагаемая форма записи столбиком сначала рассматривается для случаев, когда неполное частное является однозначным числом, а после изучения способа поразрядного нахождения результата деления и для случаев многозначного неполного частного. Завершающий этап работы по введению в вычислительную практику учащихся алгоритма деления столбиком отнесен на второе учебное полугодие.

Во втором полугодии четвертого класса вопрос изучения действий над числами в основном сводится к изучению алгоритма деления столбиком. При этом мы, естественно, не забываем о тренировочной работе по выполнению алгоритмов сложения, вычитания и умножения столбиком. Не следует забывать, что изучать алгоритм деления столбиком мы начали еще в первом полугодии четвертого класса. К началу второго полугодия учащиеся уже знакомы с действием деления с остатком, умеют находить неполное частное и остаток на основе использования соответствующих случаев деления нацело и методом подбора, знают о существовании записи деления столбиком и умеют выполнять такую запись в простейших случаях деления (при однозначном неполном частном). В первом тематическом блоке второго полугодия продолжается работа по изучению алгоритма деления столбиком, которая предваряется необходимым повторением ранее изученного материала. Сначала мы предлагаем детально познакомиться со случаем деления многозначного числа на однозначное число столбиком. После этого учащиеся рассматривают вопрос о числе цифр в записи неполного частного.

Эти знания должны помочь им избежать ошибок при нахождении неполного частного в тех случаях, когда в записи неполного частного присутствуют нули. Следующий этап изучения алгоритма деления столбиком связан с рассмотрением случая деления многозначного числа на двузначное число. В этом случае неполное частное учащиеся находят как методом подбора, так и с помощью многократного вычитания.

После рассмотрения случаев деления на однозначные и двузначные числа мы предлагаем поставить вопрос об общей формулировке алгоритма деления столбиком, которую учащиеся должны дать в виде ответов на соответствующие вопросы. Сам же текст алгоритма они могут найти в Приложении 1, в котором приведен толковый словарь математических терминов. Как и в случаях с другими алгоритмами вычисления столбиком, мы не предлагаем учащимся запоминать формулировку этого алгоритма, но в обязательном порядке требуем не только правильного его применения, но и умения объяснять все выполняемые шаги этого алгоритма. В завершающей теме данного тематического блока рассматривается вопрос о существовании сокращенных форм записи алгоритма, связанных с существованием случаев деления меньшего числа на большее, которые приводят к появлению нулей в записи неполного частного. Для того чтобы не «потерять нули», можно использовать прием, помогающий предварительно определить число цифр в неполном частном и поставить соответствующее число точек на месте записи неполного частного.

При выполнении деления столбиком мы изначально предполагаем, что речь идет о делении с остатком. По этой причине используется и соответствующая терминология (результат деления мы называем неполным частным). Если же в итоге окажется, что деление выполнено нацело (а это совсем не исключается при выполнении деления столбиком), то результат мы можем уже называть значением частного.

При изучении всех последующих тем второго полугодия умение выполнять деление столбиком постоянно будет востребовано. На этапе заключительного повторения учащимся предлагается рассмотреть тему «Алгоритмы вычисления столбиком», в которую включены задания на повторение не только алгоритмов выполнения столбиком всех арифметических действий, но и правил порядка выполнения действий при вычислении значений числовых выражений со скобками и без скобок.