Geum.ru

О. А. Захарова теоретические основы курса математики в учебно-методическом комплекте «перспективная начальная школа» Лекция

Вид материалаЛекция
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6
Формирование первичных алгебраических представлений


Во втором полугодии второго класса начинается систематическое изучение одного из основных алгебраических понятий — понятия уравнения. Хотя в программу второго класса мы не включили специального раздела по изучению алгебраического материала, но это не означает, что алгебраическим вопросам отводится второстепенная роль. Такое положение дел объясняется лишь тем, что объем алгебраического материала пока еще не позволяет выделить для него специальный раздел программы.

Прежде чем рассматривать понятие «уравнение», мы предлагаем учащимся познакомиться с понятием «неизвестное», трактуя это понятие, прежде всего, как неизвестное число. При этом мы хотим провести границу между неизвестным числом, которое может быть переведено в разряд известных с помощью счета или измерения, и неизвестным числом, для нахождения которого требуется выполнить некоторые вычисления. К неизвестному числу первого типа относится, например, число рыбок в аквариуме, который мы первый раз видим: для нас это число неизвестно, но при желании мы можем всех рыбок пересчитать. К неизвестному числу второго типа можно отнести число рыбок, которые уплыли в пруд после того, как ведро с уловом опрокинулось. Мы их сосчитать не можем, но можем вычислить это число, если будем знать, сколько рыбок было поймано и сколько рыбок осталось на берегу. Рассмотрением неизвестных второго типа мы и будем, главным образом, заниматься, так как именно такие неизвестные участвуют в составлении уравнений. Для обозначения неизвестного на данном этапе мы будем использовать пока только латинскую букву х Знакомство с уравнением мы будем проводить на основе сопоставления уравнения и верного числового равенства. Поэтому корень уравнения мы определяем как число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного получается верное числовое равенство.

После знакомства с простейшими видами уравнений, которые по структуре своей записи аналогичны записям действий сложения и вычитания, учащимся будут предложены правила, позволяющие решать уравнения такого вида. Вывод этих правил будет основан на использовании круговых схем, с которыми учащиеся хорошо знакомы в плане их применения для решения текстовых арифметических задач (речь идет о простых задачах на сложение и вычитание). Для того, чтобы использовать эти схемы при решении уравнений, в них нужно внести совсем небольшие изменения: заменить на схеме знак ?, с помощью которого обозначается искомое в задаче, на латинскую букву х, с помощью которой обозначается неизвестное в уравнении. Все остальные элементы схемы остаются без изменения. Научиться решать уравнения, хотя бы их некоторые виды, это задача совсем не простая и имеет самостоятельное значение. По этой причине мы уделяем данному вопросу достаточно большое внимание уже на первых этапах изучения уравнений. Более того, отдавая дань традиции в выборе способов решения уравнений, с которыми мы знакомим младших школьников (имеется в виду способ подбора и способ, основанный на связи компонентов и результата арифметического действия) мы уже во 2-м классе начинаем пропедевтическую работу по введению понятия «равносильные уравнения», на основе которого построены способы решения уравнений, изучаемые в средней школе. Пока термин «равносильные уравнения» не упоминается, но когда мы предлагаем учащимся составить уравнение, имеющее такой же корень, что и данное уравнение, мы, по существу, предлагаем им составить уравнение, равносильное данному.

В заключение хотим обратить внимание еще на один аспект изучения алгебраического материала. Имеется в виду вопрос об использовании уравнений для решения текстовых арифметических задач. Этот вопрос является точкой пересечения двух содержательных линий курса: алгебраической и алгоритмической. В нашей трактовке уравнение, в котором находит отражение связь между данными и искомым рассматриваемой текстовой задачи, можно считать решением данной задачи (по аналогии с тем, как мы решением считали соответствующее числовое выражение). Такая постановка вопроса не противоречит тому, как в общем случае нами толковалось понятие «решение задачи». При записи решения задачи с помощью соответствующего уравнения мы фактически указываем алгоритм (речь идет об алгоритме решения данного уравнения), выполнение которого позволяет получить ответ задачи.

Другими словами, когда составлено уравнение, то вопрос о решении задачи уже не стоит. Его заменяет вопрос о решении уравнения, а это не одно и то же. Так как для уравнений, которые изучаются в начальной школе и даже в средней школе, существуют алгоритмы их решения (в начальной школе они представлены в виде соответствующих правил), то составленное с учетом условия и требования задачи уравнение мы с полным основанием можем считать одной из возможных форм записи решения этой задачи (наряду с записью по действиям, в виде одного числового выражения или в виде формулы).

Во втором полугодии 3-го класса алгебраическая линия представлена как самостоятельными темами алгебраического характера (речь идет о рассмотрении уравнений с неизвестным множителем, неизвестным делителем и неизвестным делимым), так и отдельными заданиями, при выполнении которых проводится алгебраическая пропедевтика. Так, например, при изучении темы «Измерение площади прямоугольника» учащиеся впервые в данном курсе знакомятся с формулой, построенной на основе буквенного выражения (имеется в виду формула площади прямоугольника S = a • b). Кроме этого, в целом ряде заданий учащимся предлагается либо найти корень уравнения, либо проследить за изменением значения выражения при изменении одного из компонентов этого выражения. Очевидно, что задания и первого, и второго типов имеют непосредственное отношение к основным алгебраическим понятиям, таким, как уравнение и функция.

Представленный в данном учебнике алгебраический материал может быть охарактеризован как материал функциональной пропедевтики. Такая характеристика относится и к темам, в которых речь идет о переменной величине и о зависимости одной величины от другой, и к теме, в которой вводится в рассмотрение буквенное выражение.

Понятие переменной величины является важнейшим понятием современной математики, поэтому формированию этого понятия нужно уделять самое пристальное внимание с первого этапа его изучения. Мы предлагаем изучать понятие переменной величины, сопоставляя его с понятием постоянной величины, что позволяет расставить нужные акценты без привлечения большого количества однотипных примеров.

При этом важно особо выделить тот факт, что мы рассматриваем процесс изменения величины, который может происходить с одним объектом с течением времени, а может происходить с разными объектами при переходе от одного объекта к другому. Буквенное выражение мы рассматриваем как выражение с переменной или переменными. Именно такая позиция находит отражение в предлагаемых заданиях. В этом смысле для нас важно научить учащихся вычислять значение выражения с переменной (переменными) при заданных значениях этой переменной (этих переменных), а также научить их записывать основные математические законы с помощью равенства буквенных выражений (с помощью тождества) и составлять формулы для вычисления таких геометрических величин, как периметр и площадь.

При рассмотрении вопроса о зависимости одной величины от другой важно обратить внимание учащихся на существование такого типа зависимости, при котором по данному значению одной величины можно однозначно найти значение другой величины. В требовании однозначности как раз и заключается идея функциональной зависимости, пропедевтикой которой мы в данном случае и намерены заниматься.

Вопросы функциональной пропедевтики тесно связаны с вопросами изучения величин. По этой причине все темы, в которых речь идет о зависимости между различными величинами («цена — количество — стоимость», «скорость —время — пройденный путь», «производительность — время —объем выполненной работы») можно с полным правом отнести и к величинной, и к алгоритмической, и к алгебраической содержательным линиям данного курса. Этот факт следует учитывать при расчете учебных часов, отводимых на изучение каждой содержательной линии.

Представленный во второй части учебника алгебраический материал связан главным образом с изучением таких понятий, как уравнение и корень уравнения. Мы еще раз возвращаем учащихся к рассмотрению этих понятий, потому что хотим подчеркнуть их значимость как в плане освоения учащимися алгебраического способа решения арифметических сюжетных задач, так и в плане преемственности между начальным курсом математики и систематическим курсом алгебры основной школы. Что касается алгебраического способа решения арифметических задач, то этому вопросу мы посвящаем не только специальную тему в соответствующем тематическом блоке, но и отдельные задания из других тематических блоков.

При рассмотрении вопроса об уравнениях мы предлагаем учащимся познакомиться с уравнениями более сложными, чем те, с которыми они имели дело до этого момента. Находить корень данного уравнения мы предлагаем не только методом подбора или используя связь между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия, но и на основе использования свойств верных числовых равенств. К таким свойствам относятся следующие: 1) если к обеим частям верного числового равенства прибавить одно и то же число, то равенство останется верным; 2) если из обеих частей верного числового равенства вычесть одно и то же число, то равенство останется верным. Эти свойства лежат в основе получения равносильного уравнения с помощью увеличения (уменьшения) каждой из частей уравнения на одно и то же число. Таким образом, мы можем получать новое уравнение, которое будет иметь тот же корень, что и исходное, но быть более удобным в плане нахождения этого корня. Указанный только что факт, если он будет доведен до понимания учащихся, окажет им существенную помощь при освоении основного способа решения уравнений, базирующегося на понятии равносильности.

В математике равносильными называются уравнения, которые имеют одинаковые множества корней. Идея перехода от данного уравнения к равносильному, но более простому с точки зрения нахождения корней, и является той основой, на которой построен изучаемый в курсе алгебры способ решения уравнений. Мы не предлагаем учащимся осваивать такой способ и не вводим понятие «равносильные уравнения», но некоторую пропедевтическую работу в этом направлении считаем необходимым провести для того, чтобы обеспечить преемственность в данном вопросе.

Рассматривая понятие «корень уравнения», мы специально ничего не говорим о множестве решений уравнения, так как на данном этапе изучения алгебраического материала не представляется возможным обоснованно обсуждать вопрос о всех корнях данного уравнения или об отсутствии корней. Однако познакомить учащихся с уравнениями, которые имеют больше одного корня или вообще не имеют корней, было бы желательно.

На этапе повторения мы не только возвращаем учащихся к вопросам функциональной пропедевтики, но и подводим своеобразный промежуточный итог в вопросе решения уравнений.


1 «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят этого делать», - писал Платон