Методика розв’язування графічних задач Підготував: Тютюнник Іван Федорович, учитель фізики Вельбівської
| Вид материала | Документы |
- Методика розв’язування олімпіадних задач з логічним навантаженням. Геометричні інваріанти, 399.86kb.
- Розв'язування дослідницьких задач з фізики із застосуванням нових інформаційних технологій, 137.39kb.
- Урок розв’язування задач, 858.39kb.
- Методика навчання школярів розв’язанню творчих графічних задач із креслення стаття, 99.86kb.
- Правила організації та проведення Міжнародного чемпіонату з розв’язування логічних, 84.21kb.
- Правила організації та проведення Міжнародного чемпіонату з розв’язування логічних, 90.4kb.
- Методика навчання розв’язуванню планіметричних задач на побудову із використанням комп’ютера., 256kb.
- Матеріал розробила Гордієнко Марія Григорівна, учитель вищої категорії Вельбівської, 217.41kb.
- Методика проведення позакласних занять з математики. Методика розв’язування задач, 28.16kb.
- Методика розвитку критичного мислення: розв’язування проблемних задач з історії л.І., 39.8kb.
Міністерство освіти і науки України
Доповідь на тему:
Методика розв’язування графічних задач
Підготував:
Тютюнник Іван Федорович,
учитель фізики Вельбівської
загальноосвітньої школи І-ІІ ступенів
Гадяцької райдержадміністрації,
спеціаліст першої категорії
Гадяч - 2011
РІВНОМІРНИЙ ПРЯМОЛІНІЙНИЙ РУХ. ШВИДКІСТЬ РУХУ ТІЛА
Найпрстішим є рівномірний рух тіла вздовж прямої в одному напрямі. З курсу фізики 8 класу ви знаєте, що прямолінійним рівномірним рухом називають такий рух уздовж прямої, під час якого тіло за будь-які однакові інтервали часу проходить однакові шляхи. Дамо інше визначення такого руху і з'ясуємо певні відмінності.
Прямолінійним рівномірним рухом називають рух уздовж прямої", під час якого тіло за будь-які рівні інтервали часу здійснює однакові переміщення. Обидва визначення прямолінійного рівномірного руху значною мірою еквівалентні щодо його ознак, але у другому визначенні фігурує векторна величина переміщення, на відміну від скалярного шляху, тобто у ньому враховано напрям руху тіла і тому нове визначення більш змістовне, оскільки дає змогу повніше і детальніше описати рух.
Дуже важливими у визначеннях прямолінійного рівномірного руху є те, що рівність шляхів, або переміщень розглядається за будь-які рівні інтервали часу. Якби цієї умови не було, то можна було б підібрати для прикладу такі рухи, для яких ознака рівності шляхів виконувалася б для вибраних рівних інтервалів часу, а протягом цих окремих інтервалів умова рівності шляхів-переміщень не виконувалася б. У цьому разі рух безумовно не був би рівномірним, хоча ознака рівномірності формально і виконувалася б. Умова визначення вимагає, щоб рівності переміщень виконувались, наприклад, і для інтервалів 0,01 с, і для інтервалів 1 с, і для всіх довільних, що лежать поза межами цих значень.
Вимога рівності переміщень тіла за будь-які рівні інтервали часу є дуже жорсткою, тому на практиці рівномірні рухи бувають рідко. Проте на прикладі цього найпростішого виду руху можна дослідити більшість характеристик механічного руху і використати їх для вивчення складніших рухів. Значною мірою прямолінійним і рівномірним рухом можна вважати рух металевої кульки у воді, дощових крапель, парашутиста під куполом парашута, транспортних засобів на окремих ділянках шляху.
Порівнюючи рух різних тіл, користуються такими характеристиками, як повільно, швидко, які є якісними і відносними. Щоб порівняти різні рухи кількісно, треба порівняти, наприклад, переміщення різних тіл за одиницю часу. Якщо за і одиниць часу здійснено переміщення з то віднозі .
шення показує, яке переміщення здійснило тіло за одиницю часу. Це відношення називають швидкістю руху тіла і позначають малою латинською літерою V:
Швидкість прямолінійного рівномірного руху — це стала векторна величина, яка характеризує переміщення тіла за одиницю часу і визначається відношенням переміщення тіла до інтервалу часу, за який це переміщення відбулося.
Знаючи швидкість руху тіла V можна визначити переміщення тіла за будь-який час і:
Напрям швидкості рівномірного прямолінійного руху показує напрям руху тіла і збігається з напрямом переміщення тіла.
ШВИДКІСТЬ ПРЯМОЛІНІЙНОГО РІВНОМІРНОГО РУХУ
Прямолінійним рівномірним рухом називають такий рух тіла, під час якого воно за будь-які рівні відрізки часу робить рівні переміщення.
Наприклад, таким є рух автомобіля по прямому шосе, коли стрілка спідометра (приладу, що показує швидкість автомобіля) «застигає» в одному й тому самому положенні.
Прямолінійний рівномірний рух — найпростіший для вивчення. Природа теж любить простоту: як ми невдовзі побачимо, тіло рухається прямолінійно і рівномірно, якщо на нього не діють інші тіла.
Швидкістю V прямолінійного рівномірного руху називають фізичну величину, що дорівнює відношенню переміщення 5 до відрізка часу і, за який відбулося це переміщення:
Як видно з означення, швидкість — величина векторна. Напрям швидкості 6 збігається з напрямом переміщення 5, а модуль швидкості
де s — модуль переміщення.
За умови прямолінійного рівномірного руху модуль переміщення s збігається зі шляхом І, тому в цьому випадку
можна записати, що
Одиниця швидкості в 81 — 1м/с. Це швидкість неспішної прогулянки. Ідучи з такою швидкістю, людина проходить за одну годину 3 600 м, тобто її швидкість дорівнює 3,6 км/год. Швидкість автомобілів і потягів задають зазвичай у кілометрах за годину.
Швидкість ракет та штучних супутників Землі задають у кілометрах за секунду (км/с). Як ми побачимо в $ 10. Закон всесвітнього тяжіння, швидкість руху штучного супутника Землі навколоземною орбітою становить близько 8 (км/с).
Способи опису руху
Поступальний рух. Матеріальна точка. Тіло може рухатись так, що під час руху всі його точки описують однакові траєкторії. Такий рух називається поступальним.
Поступальний рух - це рух тіла, при якому пряма, яка сполучає дві будь-які його точки, при переміщенні тіла буде паралельною сама собі (мал. 13).
Оскільки при поступальному русі всі точки тіла описують однакові траєкторії, здійснюють однакові переміщення, рухаються з однаковими швидкостями, то, описуючи рух тіла, ми можемо розглядати його як точку. У фізиці прийнято говорити матеріальну точку.
Матеріальна точка - це тіло, розмірами і формою якого у певній задачі можна знехтувати, а всю масу тіла можна вважати зосередженою у точці.
Слід зазначити, що одне й те саме тіло не завжди можна вважати матеріальною точкою. Наприклад, велосипедиста, який рухається по дорозі і долає відстань 1 км, можна вважати матеріальною точкою, але не можна - якщо треба визначити, на який кут він нахиляється при повороті.
Можна чи не можна вважати тіло матеріальною точкою - залежить не від розмірів тіла, а від поставленої задачі.
Надалі, якщо ми розглядатимемо поступальний рух тіла або рух тіла, розміри якого малі, порівняно з довжиною пройденого шляху, то вважатимемо тіло матеріальною точкою.
Відносність руху. Система відліку. Основною ознакою механічного руху тіла є те, що воно змінює своє положення. Щоб фіксувати зміну положення тіла у просторі, необхідно встановити, відносно чого відбувається саме ця зміна.
Як ви, напевно, бачили, крім рухомих тіл є нерухомі. Не рухаються будинки, мости, дерева. Але не рухаються відносно чого? Відносно Землі, так - вони нерухомі, а відносно Сонця - вони обертаються навколо нього разом із Землею. Отже, відносність — важлива ознака механічного руху.
Поняття «рух» і «спокій» - відносні і залежать від обраної системи відліку.
Для розв'язання будь-якої задачі про рух необхідно передусім вибрати систему відліку, в якій досліджуватиметься рух тіла.
Наприклад, автомобіль їде по дорозі. Положення автомобіля змінюється відносно дерев, будинків, що стоять на узбіччі. У цьому випадку дерево чи будинок можна вважати за тіло відліку, відносно якого розглядається рух автомобіля. Тілом відліку може бути й інший автомобіль, що їде по дорозі. Тіло відліку можна обирати довільно.
Але для опису механічного руху тіла обрати тільки тіло відліку недостатньо. Ще необхідно фіксувати, як саме змінюється його положення відносно обраного тіла відліку. Для цього вибирають систему координат і прилад для вимірювання часу (найчастіше годинник).
Як правило, початок координат суміщають з тілом відліку. У цьому разі зміна положення рухомого тіла відносно тіла відліку визначатиметься зміною його координат у часі.
Кінематичні способи визначення положення тіла. Систему відліку в кінематиці вибирають, керуючись лише міркуваннями зручності для математичного опису руху.
Наприклад, нам необхідно дослідити рух тіла, кинутого вертикально вгору. У такому випадку за тіло відліку зручно обрати землю і розглядати рух тіла відносно однієї вертикально направленої координатної осі (рух уздовж прямої). А якщо, наприклад, тіло кинули під кутом до горизонту, то його рух описуватиметься двома координатами (рух у площині). Рух тіла у просторі зазвичай описується трьома його координатами.
Сукупність тіла відліку, пов'язаної з ним системи координат і приладу для відліку часу утворює систему відліку.
Рівняння, яке встановлює залежність координат тіла (матеріальної точки) від часу називається кінематичним рівнянням (законом) руху.
Кінематика поступального та обертального рухів матеріальної точки
Математично це записують так: х = х(і); у = у(і); г =
Дослідити рух тіла (зміну його положення у просторі з плином часу) можна і за його траєкторією.
Траєкторія — неперервна уявна лінія, яку описує тіло під час свого руху в обраній системі відліку.
Траєкторія руху деяких тіл може бути заздалегідь відомою, так само, як траєкторія руху потяга, що визначена залізничною колією, або траєкторія руху плота течією річки. Досить часто траєкторію руху тіла необхідно розрахувати, виходячи з інших характеристик руху. Наприклад, щоб запустити супутник, який обертатиметься навколо Землі, йому необхідно надати певної початкової швидкості.
Траєкторія руху може бути видимою (слід лижника, слід від пензлика на папері (мал. 14)) і невидимою (політ птаха).
Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійний і криволінійний рух. Зрозуміло, що траєкторією прямолінійного руху тіла є пряма лінія. Траєкторії криволінійного руху можуть бути дуже складними і різноманітними. Але, як зазначалося, будь-який складний рух можна вивчити за допомогою простішого. Так, будь-який криволінійний рух можна подати як послідовність ділянок, що складаються з дуг кіл різних радіусів (мал. 15).
Оскільки тіло відліку можна вибрати довільно, то траєкторія руху одного і того самого тіла відносно різних систем відліку буде різною. Наприклад, усі точки колеса велосипеда відносно його осі описують кола. Проте в системі відліку, пов'язаній із землею, ця лінія складніша — її називають циклоїдою (мал. 16).
За траєкторією руху легко визначити шлях, пройдений тілом. Для цього необхідно виміряти довжину траєкторії між початковим і наступним положеннями тіла.
Шлях дорівнює довжині траєкторії, яку описує тіло за час руху.
Довжина пройденого шляху позначається латинською літерою І. Одиницею шляху є метр, [І] = 1 м.
Шлях - величина скалярна, тобто не визначає напрям і характеризується тільки числовим значенням довжини пройденого шляху.
Якщо відомо, де розташовано тіло на початку руху, його траєкторія і пройдений шлях, то можна визначити, де буде тіло у кінці руху.
Якщо траєкторія руху невідома і якщо не має значення, якою саме траєкторією рухається тіло, а важливо визначити зміну положення тіла у просторі з плином часу, тоді користуються поняттями «радіус-вектор» і «переміщення» (мал. 17).
Радіусом-вектором г точки називається вектор, що сполучає початок відліку з цією точкою.
Наприклад, у початковий момент часу тіло перебуває у точці 1, положення якої визначається радіусом-вектором г0. Протягом інтервалу часу Аі тіло перемістилось у точку 2, положення якої визначається радіусом-вектором г . Зміну положення тіла можна визначити за пройденим шляхом або за переміщенням.
Переміщення 8 - вектор, що сполучає початкове положення тіла з його положенням у вибраний момент часу.
Рівномірний прямолінійний рух
Найпростішим видом механічного руху є рівномірний прямолінійний рух. Це такий рух, під час якого тіло, рухаючись уздовж прямої, за будь-які однакові інтервали часу здійснює однакові переміщення. Траєкторія такого руху - пряма лінія. Тому його можна описати зміною однієї з координат, наприклад х = х(і), якщо систему відліку обрати так, щоб координатна вісь збігалася з напрямом руху.
Нехай тіло в момент початку з > руху знаходиться в точці з коорди натою х0 (мал. 1.8); через деякий час, здійснивши переміщення 8,
воно матиме координату х. Переження тіла в просторі з часом, може відбуватися з різною швидкістю. Швидкість рівномірного руху - це фізична величина, що 20 дорівнює відношенню переміщення до часу, протягом якого воно відбулося:
Оскільки переміщення 8 - векторна величина, а час і - скалярна, яка завжди більша за 0, то швидкість та кож век тор на ве ли чи на, напрям якої збігається з напрямом переміщення (мал. 1.9). У разі рів-Мал. 1.9. Проекції переміщен- номірного руху значення швидкос-ня і швидкості на вісь ОХ ті залишається сталим, оскільки за
будь-які рівні інтервали часу здійснюються однакові переміщення.
Як відомо, основною задачею механіки є визначення положення тіла в просторі у будь-який момент часу. Отже, щоб її розв'язати, треба знайти координати тіла або їх зміну в часі: х = х(і). У механіці таке рівняння називається рівнянням руху. При розв'язуванні задач векторні фізичні величини, що характеризують рух тіла, записують у проекціях на відповідну вісь.
ГРАФІК ЗАЛЕЖНОСТІ ШЛЯХУ ВІД ЧАСУ ЗА УМОВИ ПРЯМОЛІНІЙНОГО РІВНОМІРНОГО РУХУ
Графік набагато наочніше, ніж формула, показує залежність однієї величини від іншої.
Побудуємо графік залежності шляху від часу для прямолінійного рівномірного руху.
З формули
її. Це формула прямої пропорційності, добре знайома вам з курсу математики. Графіком прямої пропорційності є відрізок прямої, що проходить через початок координат. Отже,графік залежності шляху від часу за умови прямолінійного рівномірного руху — відрізок прямої, один кінець якого збігається з початком координат.
Для побудови такого графіка досить знайти одну його точку, що не збігається з початком координат, і провести відрізок прямої через початок координат та цю точку. Розглянемо приклад.Зверніть увагу:
чим більша швидкість тіла, тим більший кут між графіком залежності шляху від часу та віссю часу.
Графіки функцій та правила їх побудови
Функціональні залежності величин.
Графіки функцій та правила їх побудови.
Функціональні залежності величин. Спостерігаючи за будь-яким процесом, можна помітити, що одні величини змінюють своє значення, інші - ні. Величини, які у певному процесі весь час зберігають своє значення незмінним, називаються постійними. Змінними є величини, значення яких у певному процесі змінюється.
Наприклад, під час зльоту літака відстань від поверхні землі збільшується, кількість бензину у баках зменшується, розміри літака залишаються постійними.
Одна і та сама величина в одному процесі може бути постійною, в іншому - змінною. Проте є такі величини, які весь час зберігають своє значення - константи (їх прийнято записувати: сопзі). Наприклад, відношення довжини кола до його радіуса; сума кутів трикутника; питома теплоємність речовини; величина елементарного електричного заряду тощо.
Часто одна змінна величина залежить від іншої. Якщо дві змінні величини пов'язані між собою так, що кожному значенню однієї з них відповідає певне значення іншої, то кажуть, що між цими змінними є функціональна залежність. Приклади функціональних залежностей: І = 2пЯ - довжина кола і його радіус, Я = Я0 (1 + аі) електричний опір провідника та його температура.
Якщо дві змінні знаходяться у функціональній залежності, то та з них, яка набуває довільні допустимі значення називається аргументом (незалежною змінною), інша, значення якої залежить від значень аргументу, - функцією (залежною змінною). Наприклад, відомо, чим вища температура, тим більшою стає довжина стального стержня, тобто довжина стержня залежить від температури. У цьому випадку температура - аргумент, довжина стержня -функція.
Якщо величина у є функцією величини х, то математично це записують так: у = /(х). Наприклад, шлях, що проходить тіло є функцією часу руху тіла: З = /(і).
Функцією називають і сам закон (правило) / взаємозв'язку величин.
Функцію можна задати формулою, за якою за певним значенням аргументу можна обчислити відповідне значення функції. Такий спосіб визначення функції називається аналітичним. Функцію також можна задати табличним, графічним, описовим та іншими способами.
Графіки функцій та правила їх побудови. При розв'язуванні фізичних задач найчастіше користуються аналітичним або графічним способами визначення функцій.
Звернемо увагу на графічний метод зображення функціональної залежності - побудову графіків. За допомогою графіка можна наочно подати функціональну залежність фізичних величин, з'ясувати, у чому суть прямої та оберненої пропорційності між ними, вказати, як швидко зростає чи спадає числове значення однієї фізичної величини залежно від зміни іншої, коли вона досягає максимального чи мінімального значення, і т. ін.
У курсі математики ви уже вивчали деякі графіки функцій та правила їх побудови. Пригадаємо ті, які найчастіше використовуються при розв'язуванні фізичних задач.
Графік лінійної функції. Лінійною функцією називають функцію, яку можна виразити формулою у = ах + Ь, де х - аргумент, а і Ь - задані числа.
Графіком лінійної функції є пряма. Залежно від знака і значення кутового коефіцієнта а та сталої Ь графік функції буде мати відповідний вигляд (мал. 11).
Якщо а = 0, графік лінійної функції є прямою, паралельною осі абсцис, що проходить через точку Ь на осі ординат.
Прикладами відомих вам лінійних залежностей фізичних величин є: залежність пройденого шляху від часу при рівномірному русі тіла І = и • і, де
ц> = сопзі; залежність сили струму в провіднику від напруги на його кінцях I = П • Я, де Я = сопзі; робота, яку виконує сила, що постійно діє на тіло, при його прямолінійному рівномірному русі А = Р • з, та багато інших.
Графік обернено пропорційної залежності. Залежність між величинами х і у, яку можна виразити формулою у = а/х, де х - аргумент, а - задане число, називають обернено пропорційною залежністю.
Графіком обернено пропорційної залежності є крива, що складається з двох окремих віток, розташованих у першій та третій чвертях координатної площини при а > 0 (мал. 12, а), або у другій та четвертій - при а < 0 (мал. 12, б). Ця лінія називається гіперболою.
у = - 0,5х + 2
Відомими вам оберненими пропорціями є: залежність періоду обертання від частоти обертання Т = 1, залежність сили струму в провіднику від величини його опору при постійній напрузі I = и/Я, де П = сопзі, та інші.
Графік квадратичної функції. Квадратичною називають функцію, яку можна виразити формулою у = ах2 + Ьх + с, де х - аргумент; а, Ь, с - задані числа. її графіком є крива, яку називають параболою.
Координати вершини параболи (т; п) визначаються за формулами:
З прикладами побудови таких графіків ми згодом ознайомимось при вивченні прискореного руху
Графіки рівномірного прямолінійного руху
Щоб краще усвідомити особливості змін параметрів рівномірного руху (координат, шляху, переміщення, швидкості) з часом, розглянемо відповідні графічні залежності, які випливають з рівняння руху.
1. Графік швидкості V = Як
відомо, швидкість тіла при рівномірному прямолінійному русі з часом не змінюється, тобто V = сопе! Тому графік швидкості - це пряма, паралельна осі часу і, яка розміщена над нею, якщо проекція швидкості додатна (мал. 1.11), або під нею, коли вона від'ємна. Пройдений тілом шлях графічно визначається, як площа прямокутника, обмеженого графіком мо ду ля швид кості і пер пен ди-куляром, опущеним на вісь часу і в точку, яка відповідає часу руху.
2. Графік шляху І = 1(і). З формули шляху = Vі випливає, що між пройденим шляхом і часом існує прямо пропорційна залежність. Графічно вона зображається прямою, що проходить через початок координат (адже шлях не може набувати від'ємних значень). Залежно від значення швидкості нахил прямих буде різним (мал. 1.12): чим більша швидкість, тим крутіше здіймається графік.
3. Графік проекції переміщення 8х = 8х(ї). Оскільки проекція переміщення може набувати як додатних, так і від'ємних значень, відповідно графік проекції переміщення (мал. 1.13) може здійматися вгору (проекція переміщення додатна) або спадати вниз (проекція переміщення від'ємна). Графік проекції переміщення завжди проходить через початок координат. Кут нахилу прямої, як і в разі графіка шляху, залежить від значення швидкості: чим вона більше, тим крутіший графік проекції переміщення.
Якщо тіло змінює напрям руху -спочатку рухається в один бік, а потім по вер тається на зад, то графік проекції переміщення матиме вигляд,
зображений на малюнку 1.14 (у момент часу і1 тіло змінило напрям руху і почало рухатися у зворотний бік).
4. Графік руху тіла х = х(і) характеризує зміну координат тіла з часом. З рівняння руху х = х0 + видно, що це лінійна функція і зображається вона прямою. Ця пряма проходить через початок координат, коли х0 = 0. Вона зміщена на х0, якщо х0 ф 0 (мал. 1.15 і 1.16). Оскільки проекція швидкості може мати додатні й від'ємні значення (на прям век то ра швид кості мо же збігатися або бути протилежним до обраного напряму координатної осі), то графік може здійматися вгору (рх > 0) або спадати вниз &х< 0). На поданих графіках відтворено залежність координати тіл, які в початковий момент були в одній точці з координатою х0 >0 (мал. 1.15) і х0 <0 (мал. 1.16), але рухалися в протилежних напрямах их1 > 0 і Vx2< 0.
Таким чином, за допомогою графіків руху можна з'ясувати характер руху тіла і зміни відповідних величин (координат, пройденого тілом шляху і переміщення, швидкості) з часом і.
ГРАФІК ЗАЛЕЖНОСТІ МОДУЛЯ ШВИДКОСТІ ВІД ЧАСУ
За умови прямолінійного рівномірного руху модуль швидкості тіла залишається постійним. Тому
за умови прямолінійного рівномірного руху графіком залежності модуля швидкості від часу є відрізок прямої, паралельної осі часу.
На рисунку 2.2 зображено для прикладу графіки залежності модуля швидкості від часу для розглянутих вище вантажівки та легкового автомобіля.
ЯК ВИЗНАЧИТИ ПРОЙДЕНИЙ ШЛЯХ ЗА ГРАФІКОМ ШВИДКОСТІ?
Графік залежності модуля швидкості від часу для прямолінійного рівномірного руху може здатися не надто цікавим. Однак він має чудову властивість, що допоможе нам надалі.
От ця властивість:
площа фігури під графіком модуля швидкості чисельно дорівнює шляху, пройденому тілом.Для доведення розглянемо фігуру, розташовану під графіком модуля швидкості (її виділено кольором на рис. 2.3).
Ця фігура — прямокутник. Його площа дорівнює добутку висоти V на основу І, тобто VI. А це саме і є виразом для шляху, пройденого тілом за умови прямолінійного рівномірного руху, адже І = VI.