Матеріал розробила Гордієнко Марія Григорівна, учитель вищої категорії Вельбівської зош І-ІІ ст. Гадяцького району Полтавської області

Вид материала

Документы

Содержание Функція у = х Функції y = kx, y = k 1. у = k х + 1 Розв’язання 2. у = kх + b. Розв’язання

Подобный материал:

• Пропозиції до Комплексної програми впровадження у навчально виховний процес загальноосвітніх, 78.05kb.
• Маркетингові дослідження проекту Мета, 135.94kb.
• Федорова С. М., учитель української мови та літератури зош №138, спеціаліст вищої категорії, 72.17kb.
• Програми з читання, української мови, математики для 1-10 класів спеціальної загальноосвітньої, 1141.95kb.
• Рішенням Конституційного Суду України від 22 травня 2008 р. N 10-рп закон, 128.22kb.
• Учитель вищої категорії, вчитель-методист навчально-виховного комплексу «Загально-, 2399.21kb.
• Ісакієва Людмила Вікторівна, директор Горлівського нвк «зош І ііі ст. №14 багато профільний, 173.71kb.
• «Українська мова 7 клас», 76.39kb.
• Маляренко Світлана Олексіївна, спеціаліст вищої категорії, «старший учитель». «Нестандартні, 102.6kb.
• Постановою Верховної Ради України  від 11 грудня 1991 року n 1964-xii із змінами, 203.18kb.

Відділ освіти Гадяцької районної державної адміністрації

Гадяцький науково – методичний центр


ВИВЧЕННЯ МОДУЛІВ

У КУРСІ МАТЕМАТИКИ

БАЗОВОЇ ШКОЛИ


З досвіду роботи
вчителя математики
вищої категорії
Вельбівської ЗОШ І-ІІ ст.

Гордієнко М.Г.


2010р.

Матеріал розробила Гордієнко Марія Григорівна, учитель вищої категорії Вельбівської ЗОШ І-ІІ ст. Гадяцького району Полтавської області.


Посібник містить основні методи розв’язування вправ з модулями в 6-9х класах загальноосвітньої школи. викладення методів супроводжується необхідним теоретичним матеріалом і відповідними прикладами. Для кожного класу і по кожній темі наводяться приклади з детальним поясненням їх розв’язування. Посібник містить велику кількість вправ з модулями.


Рецензенти:

Ємець Т.М. – методист районного методичного кабінету.


Методичний посібник розглянутий і схвалений радою районного методичного кабінету (протокол №3 від 17.02.2009р.) як перспективний педагогічний досвід.

Однією з проблем викладання математики в загальноосвітніх школах є розв’язання вправ модулями. Якщо з модулями працювати систематично з 6-го по 11-й класи, засвоївши певні методики, алгоритми розв’язування вправ, то такий матеріал не такий уже й складний. На жаль, на вивчення модулів у середній школі відводиться одна година в 6-му класі і одна година в 11-му класі. Рівень знань модулів у 6-му класі зводиться до вміння відшукати модуль конкретного числа. Пропоную вихід з такого становища, апробований на власному досвіді, хоча б для засвоєння модулів сильнішими учнями. Ідея така – потрібно з цим матеріалом працювати в 6-9-х класах під час вивчення інших тем.

Вивчення модулів починається в 6-му класі. Учні повинні вміти знаходити модуль числа, як записано в Державному стандарті математичної освіти, але важливо, щоб вони зрозуміли означення модуля за допомогою букв, як подано в підручнику. Найбільша проблема під час вивчення модулів у старших класах – це незнання або нерозуміння означення модуля. Учні добре знають, що
5 = 5 і -5 = 5, а завдання: записати, чому дорівнює х, якщо
-3 < х < -1, викликає труднощі. Особливу увагу слід звернути на розв’язування рівнянь типу х - 1= 4. Успішне засвоєння матеріалу підручника та вміння розв’язувати найпростіші рівняння через означення модуля стане добрим підґрунтям у наступних класах. На жаль цю роботу необхідно провести за один урок. Згідно з програмою та рекомендаціями з планування навчального матеріалу наступна зустріч з модулями – в 11-му класі на одному уроці. Я хочу показати, в яких розділах шкільної програми ми можемо опрацьовувати матеріал з модулями.

У 6-му класі з перших кроків вивчення раціональних чисел у добірку вправ треба ввести вправи на відпрацювання поняття модуля та його геометричної інтерпретації.

У 6-му класі діти вчаться розв’язувати рівняння, що містять модуль:

-5 + х = 3;

-7 - у = 4;

(8,3 - х)·4,7 = 5,64 та обчислювати значення виразів типу:

-20 + 17 + -17 + 20 + -15 + 15

У 7-му класі під час вивчення лінійних рівнянь можна звернутися до найпростіших рівнянь типу х - 2 = 4, а потім розв’язати рівняння типу х - 3 = 2х. Розглядаючи це рівняння, показуємо, що за означенням модуля розв’язати його не можна, бо ми не знаємо, який знак має вираз 2х (це не число). Тому шлях його розв’язування такий.

Розглянемо два випадки, коли х – 3 > 0 і х – 3 < 0. Якщо
х – 3 > 0, х - 3 =  - 3, а якщо х – 3 < 0, х - 3 =  - (х – 3) (ось тут і необхідне означення модуля). У першому випадку (х – 3 > 0) маємо рівняння х – 3 = 2х. Розв’язок його х = -3. Але ми розглядали випадок, коли х – 3 > 0. Число -3 цю умову не задовольняє, тому розв’язком не буде. Можливий і інший підхід: х - 3 > 0 завжди, тому 2х > 0, х = -3 цю умову не задовольняє. Але перший підхід універсальний, другий – строго індивідуальний.

Розглянемо другий випадок: х – 3 < 0. У цьому випадку
-(х - 3) = 2х. Розв’язавши його, маємо х = 1. Це число задовольняє умову х – 3 < 0, тому є розв’язком рівняння. Складніших лінійних рівнянь у 7-му класі звичайних шкіл, на мою думку, розв’язувати не варто. Їх можна використати, готуючи учнів до олімпіади. Вони зможуть за цією методикою розв’язати і рівняння, де є кілька модулів  х – 1 - 1 = 2х. Головне, щоб учні зрозуміли підхід до розв’язування (поділ числової осі на проміжки, де й шукаємо розв’язки).

Розглянемо приклади побудови графіків функції з модулями в 7-му класі.

Функція у = х

Функцію у = х та її графік доцільно розглянути вперше під час вивчення графіка прямої пропорційної залежності y = kx. Необхідно звернути увагу учнів на те, що у формулі у = х коефіцієнт k =1. далі вчитель пропонує учням пригадати означення модуля, наголошуючи на тому, що саме на основі цього означення будують графік функції у = х. Розглядають два випадки:

1. у = х, коли х  0.

Графік – промінь, який є бісектрисою першого координатного кута;


2. у = - х, коли х < 0. Графік – промінь, який є бісектрисою другого координатного кута.

Отже, графік функції у = х складається з двох променів, які виходять з початку координат.

Областю визначення функції у = х є уся числова пряма.





У ході подальшого вивчення відомостей про функцію доцільно побудувати графік залежності у = -х.

Учні повинні самостійно дійти висновку, що графік функції
у = -х проходить через початок координат, складається з двох півпрямих, симетричних відносно осі у, розміщених у нижній півплощині.


Функції y = kx, y = k x + b (k  0)

Для закріплення і поглиблення матеріалу учні будують графіки функцій y = 3x і y = - 3x, y = 0,5x та і подібних.




Дослідним шляхом учні переконуються, що на одній півпрямій графіка більшому значенню х відповідає більше значення у (тобто функція зростає), а на другій – більшому значенню х відповідає менше значення у (тобто функція спадає).

Доцільно розглянути і графіки таких залежностей:
х = 1 та у = 1.

Спираючись на означення модуля, замінимо рівняння х = 1 двома такими:

х = 1, якщо х  0,

х = - 1, якщо х < 0.

Шуканий графік є сукупністю цих двох півпрямих.

Міркуючи аналогічно, побудуємо графік у = 1; у = 1, якщо
у  0 і у = - 1, якщо у < 0.





Розгляд таких вправ ще раз проілюструє учням властивість модуля числа х = -х, сприятиме кращому усвідомленню понять парної і непарної функцій. Учні роблять висновок, що функція у = х – непарна, а отже, графік її симетричний відносно осі у. Виходячи з цього, можна сформулювати більш загальне правило побудови графіка функції у = х: щоб побудувати графік функції
у = х, досить побудувати графік функції у = х для х  0, і відобразити його симетрично відносно осі у.

Варто звернути увагу учнів також на те, що коли коефіцієнт
k > 1, то півпрямі звужують ламану, а коли коефіцієнт k < 1, то півпрямі розширюють її.

У 7-му класі під час вивчення лінійної функції варто ознайомити дітей з поняттям осьової симетрії і почати вивчати побудову графіків, що містять знак модуля. Під час побудови таких графіків доцільно розглянути різні види лінійних функцій з модулем. Розглянемо перетворення графіків лінійних функцій, що містять модуль.

1. у = k х + 1

Розв’язання

Будуємо графік функції у = kх + b і частину графіка, що знаходиться в правій площині, відображаємо симетрично відносно осі координат.

2. у = kх + b.

Розв’язання

Функція набуває тільки додатних значень, отже, будуємо графік функції у = kх + b і ту частину графіка, що розміщена нижче від осі Ох, відображаємо симетрично їй.

3. у = kх + b.

Розв’язання

Будуємо графік функції у = kх + b. Оскільки права частина рівності набуває тільки додатних значень або дорівнює 0, то залишаємо частину графіка, яка знаходиться вище від осі абсцис, і відображаємо її симетрично осі Ох.

Розглянемо ці перетворення н прикладах.


1. у = -2 х + 5. 2. у = 2 х + 5.


3. у = 2х + 5 . 4. у = -2х + 5 .




5. у = 2х + 5. 6. у = -2х + 5.




Приклади.

Записати формулу за графіком, поданим на малюнку:




Відповідь. у = 2х – 4 Відповідь. у = -0,5х + 2




Відповідь. у = х - 2 Відповідь. у = -2 х + 2.





Відповідь. у = -0,5 х + 1. Відповідь. у = -2 х - 6.


Коли учні набудуть досвіду побудови і читання графіків функцій, слід продовжити розгляд вправ, де аргумент входить під знак модуля. Графік функції y = k x + b можна побудувати так: будуємо графік функції y = k x + b для х > 0 і відображаємо його симетрично осі у. У загальному вигляді графік функції y = k x + b – ламана, що складається з двох ланок.


Приклад. Побудувати графік функції y = x + 2.

Виконаємо побудову, використовуючи означення модуля: накреслимо пряму y = x + 2 (для х  0), а потім пряму y = -x + 2 (для
х < 0).

Пам’ятаючи, що функція y = x + 2 – парна, тобто її графік симетричний відносно осі у, можна обмежитися побудовою за двома точками прямої y = x + 2 (для х  0) і відобразити її симетрично відносно осі у.

Приклад. Побудувати графік функції y = 1 – 2 x.

Виконаємо побудову графіка функції y = 1 – 2 x (для х  0) і відобразимо його симетрично відносно осі у.




Після розв’язування подібних вправ корисно запропонувати учням зробити деякі узагальнення, а саме:

а) коли перед х стоїть знак плюс, то півпрямі направлені вгору, а коли стоїть знак мінус – униз;

б) коли в формулі y = k x + b число b – додатне, то графік функції y = k x переміщується на b одиниць вгору вздовж осі у, а коли b число від’ємне, то – на b одиниць униз.

Функція y = k x + b

Під час повторення і систематизації відомостей про лінійну функцію у сильних класах доцільно ознайомити учнів з графіком функції y = k x + b, наголошуючи на відмінностях функцій y = k x і
y = k x + b та їх графіків.

Підкреслимо, що з перших кроків вивчення функцій, заданих формулами з вживанням знака модуля, треба чітко розрізняти функції виду у = f(х) і у = f(х).

По-перше, функція у = f(х) не є парною, тому не можна застосовувати симетричне відображення відносно осі у частини графіка. По-друге, з формули, якою задана функція у = f(х), ясно, що вона набуває лише невід’ємних значень, отже, її графік розміщується лише у першому і другому координатних кутах. По-третє, оскільки з означення модуля випливає, що


коли f(х)  0

коли f(х) < 0,


то очевидна симетричність графіків функцій у = f(х) і
у = - f(х) відносно осі х. Спираючись на ці міркування, приходимо до висновку: щоб побудувати графік функції y = k x + b досить побудувати пряму y = k x + b (для kx + b  0, ). Потім ту частину прямої, якій відповідають від’ємні значення у, відобразити симетрично відносно осі х.


Приклад. Побудувати графік функції y = x – 3.

Побудуємо за двома точками пряму y = x – 3 і ту її частину, якій відповідають від’ємні значення у, відобразимо симетрично відносно осі х. Варто запропонувати учням визначити, чи має графік вісь симетрії, записати її рівняння х = 3.





Приклад. Побудувати графік функції y = 2x + 2.

Побудуємо пряму y = 2x + 2 і відобразимо ту її частину, якій відповідають від’ємні значення у, симетрично відносно осі х.


Приклад. Побудувати графік функції y = - x + 1.

Розпочнемо з побудови графіка y = - (x + 1).

Другим кроком буде відображення частини прямої y = – x – 1, якій відповідають додатні значення у, симетрично відносно осі х (тому, що за умовою у набуває лише від’ємних значень). Звертаємо увагу учнів на те, що віссю симетрії графіка буде пряма
у = -1.


Приклад. Побудувати графік функції y = 1 + x - 3.

Для побудови цього графіка треба виконати переміщення графіка функції
y = x - 3 на одну одиницю вгору відносно осі х.





Приклад. Побудувати графік функції
y = - x + 3 - 4.

Аналогічно до попереднього виконаємо переміщення графіка
y = - x + 3 на 4 одиниці униз відносно осі у.


Приклад. Побудувати графік функції

Перш за все визначимо ОДЗ:
х  0. За означенням модуля , якщо x > 0 і , якщо х < 0.

Графік матиме розрив у точці нуль і складається із двох півпрямих.


Наступний етап роботи – побудова графіків функцій, що містять кілька модулів. Добірка завдань може бути такою.

Побудувати графіки функцій:

1. у = 2 х + 5;
   
2. у = 1 - 4х + 8;
   
3. у = - 0,2 х + 1;
   
4. у = 5х + 1;
   

5)

1) ;

2) ;

3) 1 = у ·х;

4) ;

5) ;

6) у = х³ - 1;

7) у = х² - 4;

8) у = х² + 4;

9) у = х²;

10) у = х² - 2;

11) у = - х² + 3;

12) у = х² - 3.

1. х - 1 = 4 + х;
   
2. х + 4 = -2 х - 8;
   
3. 3 - 2х = 2 - х - 3;
   
4. 4х + 2 = ;
   
5. ;
   
6. ;
   
7. ;
   
8. 2х - 5 = 3х – 10;
   
9. х + х + 4 = х + 1;
   
10. х² - 1 = ;
    
11. х² - 2 = ;
    
12. –х х = -;
    

1)

2)

3)