Міністерство освіти І науки України Відділ освіти Сєвєродонецької міської ради Міський методичний центр Середня загальноосвітня школа №5 Види задач, які вирішуються в курсі математики Вчитель вищої категорії «старший вчитель» Попович О. В. Сєвєродонецьк
| Вид материала | Документы |
| Повна система рівнянь 2. Застосування повної системи рівнянь для складання і розв'язування текстових задач вимагає від учня твердого засвоєння залежно |
- Управління освіти І науки міської ради Середня загальноосвітня школа №44, 1705.19kb.
- Міністерство освіти І науки україни відділ освіти І науки нікопольської міської ради, 159.64kb.
- Відділ освіти Веселинівської райдержадміністрації Районний методичний кабінет Веселинівська, 903.44kb.
- Заступник директора з навчально-виховної роботи, вчитель математики вищої категорії,, 1763.48kb.
- Відділ освіти виконкому Жовтневої районної у місті ради Районний методичний кабінет, 623.79kb.
- Відділ освіти І науки нікопольської міської ради, 89.5kb.
- Відділ освіти Ізмаїльської міської ради Міський методичний кабінет Загальноосвітня, 404.36kb.
- Науково-методичний центр вищої освіти, 579.99kb.
- Відділ освіти Білоцерківської районної державної адміністрації Методичний кабінет Підготувала, 216.56kb.
- Пахомова Ганна Вікторівна вчитель інформатики вищої категорії, вчитель-методист, звання, 261.54kb.
Складання алгебраїчних текстових задач.
Повна система рівнянь
Питання про складання текстових задач розглядається в методичній літературі з вузького погляду: зміна числових даних із збереженням умови задачі, складання обернених задач за допомогою даної (складної) задачі.
Зміст і мету задачі і її розв’язування учень усвідомлює, коли бачить теоретичну і практичну схему початкового її складання, тобто складання без допомоги іншої (складеної) задачі. Розкриття учням «секрету»початкового складання задач, ознайомлення їх із загальним принципом алгебраїчного розв’язування (складання рівнянь), глибоко зв’язаним з процесом початкового складання задач, дають змогу не лише знаходити найбільш раціональний і свідомий шлях розв’язування, але й широкі можливості дослідження.
Розв’язування задачі, яке безпосередньо випливає з процесу початкового її складання, є найбільш глибоким і перспективним розв’язуванням. Це процес, обернений процесові початкового складання задачі: розв’язати задачу – це означає за даним текстом скласти рівняння, скласти задачу – значить за даними її рівнянням скласти текст задачі.
Величини, що зустрічаються в умовах різноманітних алгебраїчних текстових задач, які розв’язуються в середній школі, зв’язані тією чи іншою залежністю, – переважно прямо або обернено пропорціональною залежністю, яка записується за допомогою формули z = xy.
Умовимося називати ці величини основними елементами текстової задачі, а формули, що їх зв’язують, – базисом задачі.
Наведемо приклади основних елементів задачі та залежностей між ними, які найчастіше зустрічаються в шкільній практиці.
Якщо деякий рівномірний процес утворення величини z відбувається протягом y одиниць часу зі швидкістю x одиниць швидкості, то z = xy або х = z/y , або у = z/x, якщо в початковий момент числове значення z дорівнювало нулю.
У текстових задачах елементи z, x, y мають звичайно такий конкретний смисл:
а) віддаль (шлях), швидкість і час;
б) вартість товару, його ціна і кількість;
в) вага тіла, питома вага і об’єм;
г) запас z теплової енергії в x вагових одиницях води при температурі yº;
д) об’єм z роботи, що виконується x робочими одиницями однакової потужності протягом y одиниць часу;
е) формулою z = xy виражаються ще й такі величини, як тонно-кілометри, людино-дні, запас провіанту та ін.;
є) в задачах з геометричним змістом формула z = xy може виражати залежність між площею прямокутника або трикутника і його вимірами;
ж) іноді при складанні задач використовують співвідношення c2 = a2 + b2 між сторонами прямокутного трикутника, а також пропорції, які випливають з подібності фігур;
з) для складання задач, які зводяться до рівнянь третього і вищих степенів, слід використовувати формули (з геометрії, фізики) з членами третього і більших вимірів, наприклад, формулу x = abc для обчислення об’єму прямокутного паралелепіпеда та ін.
Умова всякої текстової задачі задає ті чи інші основні і ті чи інші похідні елементи (у вигляді функцій від основних). Якщо записати всі вихідні співвідношення між основними елементами задачі (вигляду z = xy або інші), а також всі ті співвідношення між цими елементами, які задані умовою задачі, то дістанемо систему рівнянь між основними елементами, яку умовимося називати повною системою рівнянь.
У текстовій задачі мова йде звичайно про величини, які перебувають у тій чи іншій залежності. Більшість залежностей, які використовуються для складання шкільних текстових задач, мають, як ми бачили, форму
z = xy (базис)
Зрозуміло, що коли ми поряд з вихідним рівнянням напишемо ще два рівняння з тими самими основними елементами, то тим самим всі елементи будуть зафіксовані: дістанемо повну систему трьох рівнянь з трьома невідомими. А якщо напишемо додатково лише одне рівняння між тими самими елементами, то виведена повна система двох рівнянь з трьома невідомими буде неозначеною відносно сукупності всіх трьох основних елементів ( хоч відповідна задача може виявитися і визначеною відносно деяких похідних елементів).
Отже, щоб дістати визначену (що має скінчене число розв’язків) задачу, потрібні ще два даних елементи – два рівняння між елементами z, x, y. Шуканим елементом можна буде вважати будь-який з елементів z , x, y, якщо ми його не задаємо, а також будь-який елемент, похідний від цих елементів, тобто неосновний.
ВИСНОВКИ
1. Розв'язування задачі доцільно розглядати як процес, обернений процесові складання задачі, а саме:
А) записуємо базис, тобто рівняння тих процесів або загальних правил, про які йде мова в задачі; у ці формули входять лише основні елементи;
Б) дані елементи слід розглядати як характеристики основних елементів, що входять до написаних формул (рівнянь). Тому весь текст задачі відносимо до цих формул: щоб дістати решту рівнянь певної системи, досить написати змінені умовою задачі значення основних елементів, зберігши залежність між ними; доцільно, користуючись «методом обернених задач», виразити через основні елементи всі дані елементи;
В) якщо число рівнянь системи дорівнює числу основних елементів, то задача визначена відносно всіх основних елементів; якщо це число менше від числа рівнянь повної системи, то задача неозначена відносно сукупності всіх основних елементів; однак у цьому разі задача може виявитись визначеною відносно деяких основних або похідних елементів;
Г) якщо даний елемент не увійшов до повної системи, то він зайвий, а якщо він не увійшов до остаточної формули для шуканого елемента, то він допоміжний. Шукані елементи нема потреби вводити в повну систему штучно – це завжди ускладнює роботу: шукані елементи нерідко є похідними від основних елементів, які завжди входять до повної системи; в процесі складання повної системи рівнянь елементи природно («самі») включаються в неї;
Д) якщо шуканий елемент входить до повної системи, намагаємося знайти його з цієї системи (виключенням решти елементів), а якщо він до системи не входить, то знаходимо з неї ті основні елементи, функцією яких є шуканий елемент.
2. Застосування повної системи рівнянь для складання і розв'язування текстових задач вимагає від учня твердого засвоєння залежності z = xy між пропорціональними величинами та деяких інших залежностей між величинами.
Потрібні також навички раціонального рішення систем рівнянь. На цьому матеріалі слід тренувати учнів паралельно з розв'язуванням задач «методом обернених задач».
3. «Метод обернених задач» доступніший і ефективніший на початковому етапі вирішення задач; він сприяє засвоєнню залежностей між основними елементами.
Поняття про повну систему рівнянь і його застосування для складання і розв'язування текстових задач становить інтерес насамперед для вчителя математики, який повинен мати уявлення про початкове складання задачі і її дослідження.
У старших класах, а також на заняттях математичного гуртка, якщо учні досконало володіють «методом обернених задач», дуже корисно ознайомити їх з поняттям про повну систему рівнянь, яка дасть змогу дослідити задачу з погляду її визначеності.
У середній школі при розв'язуванні текстових задач основним повинен бути метод обернених задач. Можна визнати методично доцільним застосування методу послідовного позначення величин, але при умові, якщо він «осяяний» методом обернених задач.
4. Аналогічно до загального принципу визначення текстової задачі і геометричної фігури можна сформулювати і принцип визначеності алгебраїчної текстової задачі, основним змістом якої є та чи інша формула, що виражає існуючі між величинами (елементами задачі) залежності: кожна текстова алгебраїчна задача визначається деяким мінімальним числом незалежних параметрів.
Всякий параметр, який входить у формулу, може бути знайдений, якщо відомі всі інші параметри. Тому принцип визначеності алгебраїчної текстової задачі може бути сформульований як ознака визначеності залежностей (формул): число параметрів (елементів), що визначають ту чи іншу залежність між величинами, дорівнює числу параметрів без одного, які входять у відповідну формулу. Очевидно, що й алгебраїчна текстова задача, в якій йдеться про процес, описуваний даною формулою, визначається тим самим числом незалежних параметрів. При цьому, коли ми говоримо, що задача визначається m незалежними параметрами, то маємо на увазі, що в загальному випадку задача стає визначеною, якщо ці m параметрів нам задані.
Отже, з погляду принципу визначеності задачі поняття фігури в геометричній текстовій задачі ( в якій йдеться про розв'язування цієї фігури) відіграє таку саму роль, яку й поняття про формулу залежності між основними елементами в алгебраїчній текстовій задачі (в якій йдеться про розв'язування цієї формули): адже розв'язування фігури зводиться до розв'язування формули (рівняння), даними параметрами якої є основні елементи фігури. Це саме можна сказати про розв'язування алгебраїчної текстової задачі – воно теж зводиться до розв'язування рівняння.
5. Принцип визначеності відіграє велику роль також і при свідомому складанні та розв'язуванні алгебраїчних текстових задач. Можна провести класифікацію алгебраїчних текстових задач з погляду принципу їх визначеності і дати вказівки щодо складання і розв'язування кожного класу задач, але ці вказівки і сама класифікація були б цілком аналогічними. Читач для складання і розв'язування алгебраїчних текстових задач сміливо може користуватися багатьма методичними вказівками до геометричних задач. Треба лише поняття про фігуру заміняти відповідним йому в алгебраїчних текстових задачах поняттям про формулу процесу або залежності між величинами, що не змінюються в часі.
6. Один із основних практичних висновків з усього раніше сказаного – узагальнення поняття текстової задачі в середній школі шляхом рішучого збільшення питомої ваги нешаблонних текстових задач, головним чином, неозначених задач. Принцип визначеності успішно застосовується для складання і розв'язування деяких важливих типів нешаблонних задач: неозначених задач, задач без числових даних, задач з незвичайною (нешаблонною) постановкою запитання. Ці задачі багаті своїм математичним (функціональним) змістом і тому розв'язування їх має велике педагогічне значення.
Література
1. Фридман Л.М., Турецький Е.Н. – Как научиться решать задачи: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1984.-175с.
2. "История математики в древности" Э. Кольман.
3. "Решение уравнений в целых числах" Гельфонд.
4. "В мире уравнений" В.А.Никифоровский.
5. "История математики в школе" Г.И.Глейзер.
6. "История математики" (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.
net.ua/ru/view/11235