Відділ освіти Ізмаїльської міської ради Міський методичний кабінет Загальноосвітня школа №2 І – ІІІ ступенів Тема

Вид материала

Урок

Содержание Ход урока Нас всех терзают тревоги… VІ. «Задача на будущее» VІІ. «Роль Платоновых тел» велика К сожалению, я уже ухожу…

Подобный материал:

• Відділ освіти І науки нікопольської міської ради, 89.5kb.
• Міністерство освіти І науки україни відділ освіти І науки нікопольської міської ради, 159.64kb.
• Відділ освіти виконкому довгинцівської районної в місті ради криворізька загальноосвітня, 1038.72kb.
• Управління освіти Кременчуцької міської ради Кременчуцька загальноосвітня школа І-ІІІ, 514.6kb.
• Міністерство освіти І науки України Відділ освіти Сєвєродонецької міської ради Міський, 358.54kb.
• Конкурс серед учнів загальноосвітніх навчальних закладів Черкаської області на тему:, 26.13kb.
• Відділ освіти Вовчанської районної державної адміністрації Жовтнева Друга загальноосвітня, 258.56kb.
• План вступление. Компьютеризация черта новой парадигмы современного обучения, 326.3kb.
• Шполянська районна державна адміністрація відділ освіти наказ 14. 02. 2012 №31 м. Шпола, 27.99kb.
• Відділ освіти Харцизької міської ради Міський методичний кабінет Застосування методу, 755.05kb.

Відділ освіти Ізмаїльської міської ради


Міський методичний кабінет


Загальноосвітня школа № 2 І – ІІІ ступенів


Тема:

«Правильні многогранники.

Сіметрія правильних многогранників»


Урок геометрії

в 11-А класі

(ІПЛ, 01.12. 2009 р.,

мова навчання: рос.)

вчитель: Догару Г.Г.


Ізмаїл, 2009 р.

Тема: Правильные многогранники.

Симметрия правильных многогранников.


Основная цель урока: Дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников и их симметрии.


Образовательная цель:

• показать учащимся элементы многогранников (В - вершины, Г - грани, Р - рёбра);
  
• ознакомить с понятием «симметрия в пространстве»;
  
• показать симметрию относительно точки, прямой, плоскости;
  
• ввести понятие «центра», «оси», «плоскости симметрии» тела
  

Развивающая цель:

• тренировать навыки образного видения и мышления;
  
• тренировать навыки устного вычисления;
  
• развивать логическое мышление;
  
• формировать умения систематизации изучаемого материала; развивать всестороннее восприятие новой информации
  

Воспитательная цель:

• воспитывать уважение к работе учёных – математиков;
  
• поддерживать стремление к изучению истории математики как науки (её развитие);
  
• показать межпредметные (межнаучные) связи изучаемого материала;
  
• ориентировать на самостоятельную работу по углублению и пополнению багажа знаний.
  

Тип: Урок усвоения новых знаний


Методы: словесный, наглядный, практические работы


Формы: опрос (фронтальный, индивидуальный), беседа, индивидуальная работа учащихся, самопроверка


Оборудование и материалы: фоторепродукции учёных; заготовки правильных многогранников (модели), таблица № 1 «Характеристика многогранников и их элементов», таблица № 2 «Симметрия многогранников», раздаточный материал «Построение правильных многогранников».

Ход урока

І. Организация класса

(после звонка, в тишине, перед детьми)

Когда проходит конкурс,

Подобный очень многим,

Нас всех терзают тревоги…

Не стоит! Ведь в чём фокус?

Новый класс?! ... Знакомые лица!!!

Значит всё должно получиться!

• Добрый день, ребята! Присаживайтесь! Меня зовут… Обычно я работаю в школе № 2, но сегодня я с вами, на ближайшие 45 минут. Глядя в Ваши умные и приветливые глаза, понимаю, что вы немножечко волнуетесь, но открою секрет: «Волноваться надо мне! Это я – на конкурсе, а вы – нет!!!» Так что, давайте дружно вздохнём и …, пожалуй, начнём!
  

ІІ. Мотивация учебной деятельности. Сообщение темы и задач урока

• Уважаемые знатоки, вы уже много знаете. Но, надеюсь, после этого урока узнаете ещё больше! Вместе с вашим учителем математики … вы уже выучили призмы и пирамиды – то есть многогранники. Выучили и знаете, что многогранники имеют красивые формы; обладают богатой историей, связаны с именами Пифагора, Евклида, Архимеда и др.
  
• А знаете ли вы, как называется геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями?
  
• Правильно, это многогранники. И тема нашого урока связана с ними, сегодня мы рассматриваем многогранники правильные и их симметрию; рассмотрим центр симметрии, ось симметрии, плоскость симметрии и их количество. (В тетрадях записываем дату и тему урока)
  

ІІІ. Работа над темой урока

• Начнём с определения № 1. Правильные многогранники – это выпуклые многогранники, грани которого – равные многоугольники, двугранные углы равны (при всех вершинах) между собой, а в каждой вершине сходятся одно и то же количество граней и одно и то же число рёбер.
  
• Рассмотрим определение, из которого, как из песни «слов не выкинешь»!
  
• Выпуклый многогранник – это поверхность или тело? – это такое многогранное тело, у котрого все точки расположены в одном полупространстве относительно одной грани (плоскости).
  
• Правильный многоугольник – что это? – это многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
  
• А иначе? – правильный многоугольник – это многоугольник, для которого верно, что центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
  
• Двугранный угол – что это? – помним с 10-го класса, что это фигура, образованная прямой а (ребро) и двумя полуплоскостями с общей границей а. Полуплоскости – грани, угол – линейный угол двугранного угла.
  
• В одной вершине сколько сходится граней, рёбер? – проанализируем на моделях куба, тетраедра!
  
• Разобрались! Но можно дать и другое определение № 2. Об этом позже, а пока…
  

Правильные многогранники: какие они и откуда?

Правильные многогранники названы по имени Платона, который в сочинении «Тимаус» в ІV веке до н. э. описал их и придали им мистический смысл. Но, хоть они и были известны до Платона, однако в математике и по сей день их называют «Платоновы тела». А сам Платон называл их не иначе, как «идеальными», вкладывая в термин «идеальный» не только абстрактный смысл, но и смысл «наилучший». Как мы уже убедились, куб и тетраэдр – правильные многогранники. Но сколько их всего?

В отличие от бесконечного множества правильных многоугольников (для n≥3 сущестует n – угольник): равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, … правильных многогранников лишь 5! И число их граней соответственно равно: 4; 6; 8; 12 и 20.

Рассмотрим каждый подробно! А в тетрадях заполним характеристическую таблицу № 1.

тип	Число сторон грани	Число рёбер в 1-й вершине	Количество вершин В	Количество рёбер Р	Количество граней Г	Греч язык	Стихия (по Платону)	Величина двугранного угла

(Ученики заполняют таблицу, на основе своих выводов, рассматривая модели и рисунки данных многогранников)

тип	Число сторон грани	Число рёбер в 1-й вершине	Количество вершин В	Количество рёбер Р	Количество граней Г	Греч язык	Стихия (по Платону)	Величина двугранного угла
Тетраэдр	3	3	4	6	4	Тетра	Огогнь
Гексаэдр	4	3	8	12	6	Гекса	Земля
Октаэдр	3	4	6	12	8	Окта	Воздух
Додекаэдр	5	3	20	30	12	Додека (2 + 10)	Вселенная Гармония эфир
Икосаэдр	3	5	12	30	20	икоси	вода

• Сложная терминология досталась от греков, от их приставок, означающих количество граней, и корня «эдр» - сама грань (буквально, место)
  
• Фактически доказано, что для определения количества правильных многогранников существует всего 5 пар чисел _, где p – количество сторон одной грани, q – количество рёбер в одной вершине:
  

_ - тетраедр (самодвойственный, т.е. не дуальный);

_ – октаедр и _ – куб (двойственные или дуальные);

_ - додекаедр и _ - икосаэдр (двойственные или дуальные).

Кроме этого – характеристического – свойства, правильные многогранники обладают ещё несколькими:

1. Формула (Теорема Эйлера) – 1758 г. «Для любого випуклого многогранника (в том числе и правильного) верно, что: В + Г – Р = 2». Сегодня, это одна из основных теорем Топологии – крупного раздела современной математики, с которой вы познакомитесь в ВУЗах на 2-3 курсе.
   
2. 1) Вершины правильного многогранника принадлежат сфере № 1 (так как все вписанные многоугольники – могут быть вписаны в окружность) – описанная сфера.
   

2) Все середины рёбер лежат на сфере № 2 – срединная сфера.

3)Все грани касаются сферы № 3 – вписанная сфера.

4) Все три сферы имеют общий центр – центр многогранника ( кроме тетраедра! Ваша задача: продумать и дать объяснение этому исключению)

(!!! Обратите внимание на свойство № 2! Иногда эту формулировку можно встретить в определении правильних многогранников как определение № 2! И изучать его будете во втором семестре, когда будете изучать вписанные и описанные многогранники.)

3. Правильные многогранники – симметричны. Это означает, что можно рассматривать симметрию относительно точки, относительно прямой, относительно плоскости.
   

• Рассматривая симметрию, вспомним её виды. Учебник Атанасяна «Геометрия 10 – 11 класс» откроем на стр. 71 (рис. 77) и стр. 72 (рис. 78): проанализируем симметрию на плоскости и в пространстве.
  

А сейчас рассмотрим правильные многогранники и их симметрию на моделях и подготовленных рисунках.

• Заполним таблицу № 2.
  

тип	Центр симметрии (кол-во)	Ось симметрии (кол-во)	Плоскость симметрии (кол-во)	R	r	S полной поверхности	V тела
Тетраэдр
Гексаедр
Октаедр
Додекаедр
Икосаэдр

Ученики заполняют первые 3 столбца таблицы (анализируя рисунки и модели правильних многранников). Затем рассматриваем вопрос о площади поверхности (на примере треугольных граней и их количества (4) для тетраэдра, а также октаэдра (8, то есть в два раза больше) и икосаэдра (20, то есть в 5 раз больше) по сравнению с тетраэдром) и ориентируем на самостоятельное заполнение остальных столбцов как выводы алгебраических преобразований формул.

тип	Центр симметрии (кол-во)	Ось симметрии (кол-во)	Плоскость симметрии (кол-во)	R	r	S полной поверхности	V тела
Тетраэдр	0 (центр описанной сферы не совпадает с центром вписанной)	3	6
Гексаедр	1	9	9
Октаедр	1	9
Додекаедр	1	15	15
Икосаэдр	1	15	15

(оставшуюся часть таблицы ученики заполняют дома, как выполнение домашнего задания, и на кпоследующих уроках, как систематизация необходимых знаний, для дальнейшего изучения математики в ВУЗах)

ІV. Первичное закрепление изученного материала


- Мы рассматриваем правильные многогранники и, наверняка, уже задумались: «А почему их только 5?».

Покажем одно из доказательств этого факта. Используя сведения из ученика геометрии (п.25. «Сумма плоских углов (п ≥ 3) при одной вершине < _»), на примере розвёрток правильных многогранников, выбирая некоторую вершину, находим сумму величин плоских улов и заполняем последний столик таблицы № 1.

А) тетраедр: один угол _{ }

Б) октаедр: один угол _{ }

В) икосаэдр: один угол _{ }

! В случае, если добавить ещё один угол, то нарушаем правило! (см. П.25!)

Теперь выбираем тела с квадратными гранями!

Г) гексаедр (куб): один угол _{ }

Д) додекаедр: один угол _{ }

! В случае, если добавить ещё один угол, то нарушаем правило! (см. П.25!)

Наконец, предположим, тела с 6-угольными гранями.

Тогда в одной вершине сходятся 3 грани, а один угол грани 12_{ } - что не соответствует правилу! (см. П.25!) Вывод: таких тел нет!

• Существуют и другие доказательства. Например, используя теорему Эйлера (алгебраическое доказательство) и приняв pГ = 2Р, а qВ = 2Р (см выше), рассмотреть равенство: В + Г – Р = 2. Помни: Г ≥ 3!
  

V. « Неопровержимый факт истории»

(используется учителем при наличии свободного времени на уроке, с целью паузы в письменной работе и ознакомления учеников с историей развития математики).

• Ещё в начале 17 века Иоганн Кеплер (1571 – 1630 гг) – немецкий учёный назвал куб «родителем» всех правильных многогранников. Именно он впервые описал построения всех видов правильных многогранников на основе куба!
  

1. На противоположных гранях куба берём скрещивающиеся прямые так, чтобы в вершинах A, B, C, D сходились по 3 отрезка.
   
2. ABCD – тетраэдр - правильный многогранник (пирамида), у которой BCD – правильный треугольник в основании.
   

Октаэдр: его вершины – центры граней, то есть точки пересечения диагоналей квадратов.

Аналогично, икосаэдр, додекаедр, с чем вас познакомит ваш учитель математики позже…


VІ. «Задача на будущее»

(проводится учителем разъяснительная работа по целям и задачам изучения данной темы в будущем)

• Таким образом, мы показали, что существует лишь 5 правильных многогранников и впервые доказал этот факт существования Евклид в своих «Началах». Но как сказал другой математик – англичанин Томпсон: «Евклид вовсе не собирался выпускать систематизированный учебник геометрии. Он задался целью написать сочинение о правильных многогранниках, рассчитанное на начинающих. В силу этого, ему пришлось изложить все необходимые сведения (от Платона)».
  
• И кто знает, может эта красота правильных многогранников и кого-то из вас увлечёт настолько, что уже через 5 – 10 лет я буду с удовольствием изучать с учениками именно «вашу геометрию». Ведь неизученного ещё очень много!
  

И среди них – Архимедовы тела, у которых все многогранные углы равны, все грани – правильные многоугольники, но нескольких различных видов (треугольники, квадраты, …) Их немного, но до сих пор спорят: 13 или 14? Никак не договорятся об одном: псевдоромбокубоктаэдр – причислять его или нет?

• Раскрою секрет: «псевдо» говорит о существовании двух изомеров – кто из курса химии помнит, что это такое? Правильно, это состав тот же, но порядок разный, а значит и свойства тоже разные! А более подробно вы сможете об этом узнать сами: в библиотеке, в интернете,…
  

VІІ. «Роль Платоновых тел» велика:

(Раскрытие значимости изучаемой темы; даётся примерная тематика для подготовки рефератов или сообщений на следующий урок)

1. Это «Начала» Евклида;
   
2. Это теория о строении космоса (от Кеплера) – сам и опроверг, но время от времени ученые всё же возвращаются к ней;
   
3. Это и «основания геометрии» Давида Гильберта (Германия, 1902 г.), который во время «математических прогулок» с коллегами и своими студентами немало открыл; описал роль и место правильных многогранников в природе;
   
4. Это и художественное искусство в работах голландца Мориса Корнелиса Эшера (1898 – 1972 гг), который был абстракционистом лишь условно, а сам говорил: «Математик так же, как художник, создаёт узоры, и если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей» (его работа на обложке учебника Г.П. Бевза «Геометрия 10 – 11»);
   
5. Это и строение земной коры;
   
6. Это ДНК – четырёхмерная развёртка (по оси времени) вращающегося додекаедра;
   
7. Это и деление яйцеклетки – зарождение жизни (икосаэдро-додекаэдрическая структура);
   
8. Это и залежи полезных ископаемых (икосаэдро – додекаэдровый узор);
   
9. Это и оригами – навыки и искусство складывания многоугольников и многогранников (выпуклых и невыпуклых);
   
10. И прочее…
    

• Если это интересно, то мотив «хочу знать» обязательно создаст фактор «знаю» - вот в чём и желаю вам успехов!
  

А наш урок подошёл к концу!

VIІІ. Итоги урока. Экспресс - опрос

(Тестирование учеников за материалами урока, рассчитанное на самопроверку. Задача ученика: выбрать правильный ответ)

1. Сколько существует правильных многогранников?
   

А) 13 б) 5 в) 4 Г) много

2. Кто из математиков сказал, что В + Г – Р = 2?
   

А) Платон Б) Архимед в) Эйлер Г) Кеплер

3. Кто автор философской картины Вселенной, в которой главную роль играют правильные многогранники?
   

А) Эйлер Б) Кеплер В) Архимед Г) Платон

4. Чему равен плоский угол при вершине тетраедра?
   

А) 180 Б) 270 В) 240 Г)315

5. Выбери дуальные многогранники:
   

А) икосаедр – куб Б) октаедр – икосаэдр

В) тетраедр – додекаедр Г) куб - октаэдр

6. Сколько плоскостей симметрии имеет правильный тетраедр?
   

А) 3 Б) 6 в) 4 Г) не имеет

- Если вы получили набор БВБАГБ, то вы – Молодцы и имеете право собою гордиться!


ІХ. Инструктаж к выполнению домашнего задания

(Ст.71. , п. 31 – 32, № 271 – 275 – по желанию одно задание; № 276 – 278 – показать рисунок; № 279 – выполнить письменно.)