Міністерство освіти І науки України Відділ освіти Сєвєродонецької міської ради Міський методичний центр Середня загальноосвітня школа №5 Види задач, які вирішуються в курсі математики Вчитель вищої категорії «старший вчитель» Попович О. В. Сєвєродонецьк

Вид материала

7. Нестандартні задачі та їх розв’язок
8. Складання і розв′язування алгебраїчних текстових задач
Алгебраїчне розв’язування задач методом
Застосування «методу обернених задач»

Подобный материал:

1 2 3

7. Нестандартні задачі та їх розв’язок

В означенні стандартних задач, яку було дане в якості основної ознаки цих задач вказано наявність таких спільних правил або положень, які однозначно визначають програму розв’язку цих задач і виконання кожного кроку цієї програми. Звідси зрозуміло, що нестандартні задачі – це такі, для яких немає спільних правил і положень, які визначають точну програму їх розв’язку.

Вміння розв’язувати задачі є основним показником хороших математичних знань. Щоб навчитися розв’язувати задачі, необхідно зрозуміти відповідну теорію, а глибоко зрозуміти суть теорії допомагає розв’язування достатньої кількості різноманітних задач.

Характерно, що багато учнів, виявляючи зовнішньо благополучні знання теорії, слабо розв’язують задачі. Навпаки ж, як правило, не буває.

Здійснення завершального, найбільш відповідального етапу вивчення якої-небудь теореми або теми – успішне розв’язування достатньої кількості відповідних задач – часто викликає в учнів великі труднощі. Нерідко учень навіть не знає, як «приступити» до розв’язування задачі. У таких випадках він намагається вирішити задачу серією спроб – сліпих, нецілеспрямованих шукань. І якщо ці спроби кінець кінцем і досягають своєї мети, то про учня, який так розв’язав задачу, ще не можна сказати, що він навчився розв’язувати задачі, оскільки фактично він ще не оволодів методом розв’язування, який дав би змогу піддавати аналізу довільну текстову задачу.

Нерідко учні намагаються «розв’язувати» задачу, в умові якої немає достатньої кількості даних величин або цих величин більше, ніж потрібно.

На підставі багаторічного досвіду роботи в школі ми переконалися в тому, що найважливішими причинами труднощі в у розв’язку задач є:

1. Відсутність аналізу задачі з погляду її визначеності (достатності або недостатності числа даних елементів), невміння бачити внутрішню структуру задачі, процес складання задачі, а також процес її «розвитку» від більш простої задачі, невміння пов’язувати між собою процеси складання і розв’язування задачі.

2. Відсутність у шкільній практиці загальних методів розв’язування задач, зокрема задач на розв’язування геометричних фігур, відсутність загального погляду на різноманітні текстові задачі шкільного курсу математики.

3. Відсутність такого методу вивчення теоретичного матеріалу на уроці, який максимально сприяв би успішному розв’язування відповідних задач.

4. Надзвичайно вузький погляд на саме поняття текстової задачі в курсі шкільної математики, як задачі обов’язково визначеної , тобто такої, що має цілком певний розв’язок або скінчене число розв’язків.

У школі мало приділяється уваги неозначеним задачам, тобто таким, що мають нескінченне число розв’язків, як і неозначеним рівнянням.

Не вміючи розв’язувати неозначені задачі і неозначені рівняння та нерівності, учень не буде підготовлений до розуміння задач лінійного програмування, які мають досить широке застосування у народному господарстві, а також до розв’язування задач на максимум і мінімум.

Відчувається розрив між поняттям текстової задачі і найголовнішим поняттям шкільної математики – поняттям функції. У методичній літературі панує статичний, а не функціональний погляд на текстову задачу. Пояснимо цю думку.

Відомо, що розв’язування неозначених задач зображається у вигляді функції одного або кількох параметрів.

Графічною інтерпретацією розв’язку задачі, що є функцією одного параметра, є деяка крива. Випадок, коли розв’язок задачі зображається графічно скінченим числом точок координатної площини (визначені задачі) , − це частинний випадок і з теоретичного, і з практичного поглядів.

Необхідно наблизити тему «Алгебраїчне розв’язування текстових задач» до її природної бази – до функціональної залежності величини. Лише в такому світлі яскраво вимальовується справжній смисл текстових задач, їх теоретичне і практичне значення.

Слід перейти на функціональний погляд в оцінці текстової задачі шкільного курсу математики. У викладанні математики звичайні визначені задачі повинні зайняти належне їм місце окремих випадків більш загальних, більш багатих за своїм функціональним змістом неозначених задач. Визначені задачі повинні бути основним видом задач тільки на початкових етапах, а в старших класах слід розв’язувати і досліджувати (головним чином) неозначені, функціональні задачі.

Питання про складання задач у середніх та старших класах майже не висвітлене в методичній літературі. Залишається непоміченим глибокий зв’язок між процес складання задачі і процесом її цілеспрямованого розв’язку.

ВИСНОВКИ

1. Практика показує, що завдяки систематичному застосуванню навчаючих задач учні швидко оволодівають різноманітними прийомами розв’язування задач, зокрема так званих нешаблонних задач. Кожний ланцюг навчаючих задач ознайомлює учнів з тим чи іншим підходом до розв’язування, з тим чи іншим прийомом. Поступово змінюючи характер і зміст навчаючих задач, ми тим самим керуємо мисленням учнів, розвиваємо і тренуємо його.

2. Навчаючі задачі дають учням змогу спочатку порівняно легко, а пізніше з більшою витратою сил здобувати самостійні «перемоги», що підбадьорює їх, розвиває інтерес і ініціативу; учні починають відчувати естетичну насолоду від розв’язування задач – з’являються зачатки глибокого інтересу до математики.

3. Навчаючі задачі створюють сприятливі умови для індивідуального навчання: можна всьому класові запропонувати максимальний набір навчаючих задач або кожному учневі відповідний набір навчаючих задач. Яким би не був рівень відставання учня, можна завжди підібрати систему основних задач і відповідні їм навчаючі задачі, які досягатимуть своєї мети з найменшою витратою сил учня і вчителя.

4. Навчаючі задачі створюють сприятливі умови для здійснення прямого і оберненого зв’язку між учителем і учнем. Керування процесом засвоєння методів розв’язку задач здійснюється в самому ході їх розв’язування.

5. Пропонуючи учням навчаючі задачі, ми спрямовуємо їх думку в певне русло і замість того, щоб пропонувати учням для самостійного розв’язування одну (основну) задачу, ми пропонуємо їм 7-8 задач (задач-запитань, а не відповідей на запитання!). Цим ми створюємо сприятливі умови для успішної самостійної роботи.

6. Найголовніша мета вчителя математики – навчити учнів самостійно розв’язувати задачі, самостійно складати допоміжні задачі. Ця мета досягається поступово: спочатку ланцюг навчаючих задач містить «максимальний» набір, потім в міру досягнення успіхів число цих задач зменшується.

7. Уміння складати навчаючі задачі – надзвичайно цінна якість учителя математики. Це вміння набувається нелегко: необхідно наполегливо тренуватися, а в першу чергу – глибоко проникати в суть задачі і методи її розв’язування.

8. Складання і розв′язування алгебраїчних текстових задач

У шкільному курсі алгебри тема «Розв’язування задач за допомогою рівнянь» є однією з найважливіших. Однак доводиться спостерігати, як учні розв’язують алгебраїчну текстову задачу з недостатнім або зайвим числом даних елементів і щиро дивуються, чому задачі «не розв’язується». Це пояснюється тим, що учні не розуміють логіки і схеми «утворення» задачі, які тісно зв’язані з процесом її розв’язування: свідоме і цілеспрямоване складання задачі є процес, обернений до процесу свідомого і цілеспрямованого її розв’язування.

Несвідоме ставлення до задач викликається не лише тим, що учні не володіють «механізмом» їх складання, а й тим, що в наших підручниках і збірниках задач приділяється увага лише в и з н а ч е н и м задачам, що наша методика визнає лише визначені текстові задачі та ще й, здебільшого, з «круглою» відповіддю.

Практика показує, що коли поряд з визначеними пропонувати учням для розв’язування задачі невизначені і особливо неозначені, то усвідомлення і якість розв’язування ними задач значно підвищується.

Однією з причин тих труднощів, які відчувають при розв’язування задач, які відчувають учителі при навчанні, є також недооцінка ролі і значення для розвитку логічного мислення арифметичного розв’язування задач.

Доцільно арифметично розв’язувати такі задачі, зокрема типові, які сприяють не лише розвитку логічного мислення, а й більш глибокому засвоєнню теоретичного матеріалу, підготовці учнів до успішного засвоєння алгебраїчних методів розв’язування задач. Правильно роблять ті вчителі, які в старших класах періодично розв’язують з учнями арифметичні задачі.

Навчальний ефект штучного й надто громіздкого арифметичного розв’язування задач незначний. Всю різноманітність математичної фабули арифметичних задач, які доцільно вивчати в школі, можна вкласти в 10-15 «типів» таких задач. Кожна така задача може бути сформульована за допомогою ланцюга нескладних арифметичних задач так, щоб вона стала само навчаючою, щоб учень, розв’язуючи послідовно кожну задачу ланцюга, сам «відкрив» розв’язання даної типової задачі.

Процес алгебраїчного розв’язування задач (процес складання рівнянь) являє собою послідовне арифметичне розв’язування задач з буквенними даними. Отже, арифметичні розв’язування підготовляють учнів до алгебраїчних. Крім того, арифметичне розв’язування задачі в загальному вигляді (буквене арифметичне розв’язування) має велике практичне значення, бо вказує шлях раціонального розв’язування відповідних числових практичних задач. Розглянемо приклад.

«Вологість зерна була 23 %. Після просушування вологість дорівнювала 12 %. На скільки процентів зменшилась вага зерна?».

Один зі студентів запропонував таке «арифметичне розв’язування цієї задачі, яким він користувався на практиці:

1) 23% - 12% = 11%. На скільки процентів зменшилась вологість зерна?

2) 100% - 12% =88%. Скільки процентів становила вага зерна після усушки?

3) 11/88* 100 = 12,5%. На скільки процентів зменшилась вага зерна?

Всі дії правильні, відповідь правильна, але це розв’язування арифметично нелогічне, бо проценти 23%, 12% беруться від різних величин, і дія 23% - 12% ніякого «арифметичного сенсу» не має. Для обґрунтування правильності розв’язання « в діях» доводиться розв’язувати задачу в загальному вигляді.

Позначимо p = 23%, q = 12%.

1) 100% - p%. Скільки процентів від початкової ваги становить вага «чистого» зерна?

2) 100% - q%. Скільки процентів від ваги зерна після усушки становить та сама вага «чистого» зерна?

3) Яку частину початкової ваги становить вага зерна після усушки?

4) На скільки процентів зменшилась вага зерна після усушки?

Можливі й інші способи арифметичного розв’язування. Відзначимо, що розв’язування цієї задачі рівняннями не було б легшим, раціональнішим: ніяк не вдалося б обминути «арифметичні» міркування і тим більш – арифметичні дії.

Алгебраїчне розв’язування задач методом

послідовного позначення величин

Сучасна методика математики заперечує існування загального способу алгебраїчного розв’язування задач, загального «підходу» до процесу складання рівнянь. Така думка правильна, якщо мати на увазі всю різноманітність текстових задач на складання рівнянь. Але щодо алгебраїчних текстових задач, які звичайно розглядаються в середній школі, така думка неправильна. Коли вважати, що загального «рецепта» для складання рівнянь не існує, то цим ніби підкреслюють, що той навчиться добре розв’язувати задачі, хто більше їх розв’язуватиме.

Заперечити проти цієї рекомендації не можна. Треба тільки сказати, що нелегко навчитися розв’язувати задачі лише практичним застосуванням різноманітних штучних і нецілеспрямованих прийомів.

При складанні рівнянь до текстової задачі користуються здебільшого так званим методом послідовного позначення величин, сіть якого полягає в тому, що всі величини шляхом «проб» і здогадів виражають через дані і шукані. При цьому виникають труднощі, зв’язані з «виявленням» в умові задачі величин, які безпосередньо не вказуються. Наприклад, якщо в умові задачі сказано, що поїзд прибуває з пункту А в пункт В з запізнення на 20 хв, то тут виступають дві величини: час, який повинен затратити поїзд на шлях АВ за графіком, і час, який витрачає поїзд на шлях АВ.

У процесі «перекладу» умови задачі на мову алгебри ми поступово «використовуємо» дані елементи; вираження останнього «невикористаного» елемента через решту елементів дає нам необхідне рівняння (якщо рівняння з одним невідомим). Не можна сказати, що такий план складання рівнянь відзначається якоюсь певною послідовністю, планомірністю і глибоко осмислюється учнями.

Учень, який розв’язує задачу цим способом, переконаний, що «переклад» обов’язково повинен привести до необхідного рівняння. Коли ж замість рівняння виходить тотожність, він шукає інший варіант «перекладу», поки не натрапить на потрібний. Не можна також брати до уваги і внутрішній протест, який виникає в зв’язку з таким сумнівом: а може існує ще якийсь «переклад», який приведе нас до зовсім нової відповіді?

Для порівняння з іншими методами алгебраїчного розв’язання задач, про які мова буде далі, наведемо приклад розв’язування задачі цим способом. Розглянемо задачу.

1. «Велосипедист прибув з пункту А в пункт В призначений строк, рухаючись з певною швидкістю. Якби він збільшив цю швидкість на 3 км/год, то прибув би на годину раніше строку, а якби проїжджав за годину на 2 км менше, то запізнився б на годину. Визначити відстань між пунктами А і В, швидкість велосипедиста і час його руху».

Позначимо шукану відстань через x км, а швидкість руху – через y км/год (невдалий вибір шуканих елементів! Але як знати, який вибір буде вдалим?). на весь шлях x км велосипедист повинне був витратити часу x/y год (чому, для якої мети ми зацікавились цим часом? Чи бачили ми перспективу його використання?). При швидкості, на 3 км/год більшій, часу було б витрачено x/(y+3) год. За умовою задачі

x/y –x/(y+3) = 1.

Аналогічно дістанемо друге рівняння: x/(y-2) – x/y = 1.

Ми подали зразок цілком правильного розв’язування і вказали на ті внутрішні сумніви, якими воно може супроводитись. Але ми нічого не сказали про ті труднощі, ті сумніви, які виникають в учня в процесі пошуків розв’язування. А вони, як відомо, великі, бо учень не має загального «підходу» до складання рівняння, виконуючи той чи інший крок, він не бачить перспективи його використання.

Учня «заспокоюють», скажімо, такі моменти:

під час складання системи рівнянь «використано» всі числові дані. Але існують задачі з зайвим числом даних елементів, при розв’язуванні яких не використовують в с і дані елементи. В таких випадках учень нерідко вважає розв’язування помилковим і вперто шукає інших способів – аби «використати» всі дані елементи (він не бачить внутрішню структуру задачі, процес її складання, а тому не може її проаналізувати з точки зору визначеності);
складені рівності не є тотожностями;
задача розв’язалась за відповіддю.

Орієнтування учня в такому напрямі свідчить про відсутність ясної мети, перспективи.

Отже, розглянутий спосіб складання рівнянь до текстових задач – малоефективний. Основний його недолік – «сліпі» шукання, спроби, «гадання». Тих самих успіхів можна досягти швидше, раціональніше за допомогою інших методів, які відзначаються загальністю, цілеспрямованістю і плановістю.

Застосування «методу обернених задач»

до розв’язування і складання текстових задач

Дані та шукані елементи (величини) всякої текстової задачі зв’язані між собою деякими незалежними рівняннями. Ці рівняння можуть легко розв’язуватись відносно одних параметрів і дуже складно відносно інших. Це саме модна сказати і про розв’язування задач, які відповідають тому чи іншому вибору невідомих.

3. «За планом колгосп повинен був засівати 40 га. Але колгоспники засівали на 12 га більше і тому закінчили сівбу на два дні раніше, причому засіяли на 4 га більше, ніж намічалось за планом. Скільки гектарів засіяли колгоспники?»

Знайти безпосередньо (тобто арифметично) шукане число гектарів х як функцію даних елементів важко і незручно (через штучність відповідних міркувань). Тому складаємо і розв’язуємо більш легку арифметичну задачу, обернену даній; наприклад: за «даними» 40 га, 12 га, 4 га і х га «знаходимо» елемент 2 дні. За трудністю ця обернена задача стоїть на рівні задач для ІІІ класу: щоб знайти, на скільки днів раніше була закінчена сівба, знаходимо, за скільки днів була закінчена сівба і за скільки днів її треба було закінчити, прирівнюємо різницю до числового значення того елемента, який ми шукали.

Шуканим можна вважати будь-який з даних елементів. Його слід вибирати так, щоб відповідна задача була якнайлегша. Досвід показує, що учні легко виконують такий вибір, оскільки для успіху справи досить лише навчитися «перефіксовувати», перефразовувати умову задачі.

Корисно дати учням вказівку про те, що обернена задача буде найбільш простою в тих випадках, коли шукані елементи є величинами, які виражають: суму (загальну вартість, загальну відстань та ін.), різницеве або кратне відношення. Іншими словами: шукані елементи повинні бути по можливості більш складними, а дані елементи – більш простими, які виражають швидкість, ціну, питому вагу і т. д., а також різницеве або кратне збільшення (зменшення) швидкості, ціни, питомої ваги і т. д.

При розв’язуванні складних задач доводиться вводити більше невідомих, складати більше число рівнянь. У цьому разі обернена задача розпадається на кілька (відповідно до числа невідомих) обернених задач (більш легких порівняно з прямою). Коли шукані елементи задачі складні, то доцільно вводити допоміжні невідомі елементи, функціями від яких легко виражаються шукані елементи. Так, наприклад, в задачі 3 число у днів роботи за планом є елемент «більш простий», ніж число х га, які засіяли колгоспники, бо х = 52 (у – 2). «Знайшовши» за даними у, 40, 12, 2 «невідоме» 4 га, дістанемо не дробове рівняння 52 (у – 2) – 40у = 4.

4. «Кілька товаришів вирішили купити моторний човен. Якщо кожний з них внесе по 70 крб., то не вистачить 30 крб., а якщо кожний внесе по 80 крб., то залишиться 40 крб. Скільки крб. не вистачить, якщо кожний внесе по 65 крб., і скільки крб. буде зібрано, якщо кожний внесе по 75 крб.?»

Шукані елементи легко виражаються через вартість човна (у крб.) і число товаришів (х). Тому вводимо ці допоміжні невідомі і розв’язуємо дві обернені арифметичні задачі (за «даними» х, у , 70 «знайти» 30 і за «даними» х, у, 80 знайти 40):

у – 70х = 30,

80х – у = 40.

За математичним змістом ці дві задачі стоять на рівні задач для 1 класу.

Основною передумовою успішного розв’язування задач «методом обернених задач» є вміння розв’язувати найпростіші арифметичні задачі з буквеними даними. Тому доцільно ще в молодших класах практикувати розв’язування таких задач з наступною підстановкою числових значень і обчисленням за виведеною загальною формулою. Таку роботу слід поступово ускладнювати і видозмінювати.

Дуже корисно перед розв’язуванням «важкої» задачі хоча б усно розв’язати з учнями відповідну обернену арифметичну задачу.

5. «З посудини місткістю 20 л, яка наповнена спиртом, відлили деяку кількість спирту і долили посудину водою; потім відлили таку саму кількість суміші і знову долили водою. Тоді в посудині залиши-лось 5 л чистого спирту. По скільки літрів рідини відливали кожного разу?»

Цю задачу учні вважають «важкою». Причиною «труднощів» можуть бути лише недостатні навички розв’язування арифметичних задач.

Перед розв’язуванням цієї задачі досить розв’язати усно або намітити шлях вирішення такої арифметичної задачі: «З посудини місткістю 50 л відлили 10 л спирту і долили її водою; потім відлили 10 л суміші і знову долили водою. Скільки чистого спирту залишилось у посудині?»

Після цього учні цілком самостійно і без «труднощів» розв’язують задачу, в якій за даними 20 л і х л (шукана кількість рідини) треба знайти елемент 5 л: (20 – х)² = 100, 20 – х = 10,

х = 10 л.; 20 – х = -10, х=30л.

У деяких випадках при складанні рівнянь «методом обернених задач» шуканий елемент може виконувати подвійну роль: роль даного і роль шуканого елемента. Наприклад:

Якщо в задачі мова йде про ті чи інші операції над величинами і вказується різницеве або кратне відношення результатів, то знаходимо це відношення як функцію від даних і шуканих елементів і тим самим дістаємо потрібні рівняння. Зокрема, якщо ці результати однакові (різницеве відношення дорівнює одиниці), то простіше їх виразити через шукані і дані елементи і потім прирівняти за умовою.

Для ефективного засвоєння «методу обернених задач» корисно розв’язувати задачі кількома способами. Наприклад, задача 3 допускає 4 способи. Зрозуміло, що окремі обернені задачі можуть виявитися важкими арифметичними або алгебраїчними задачами. Так, якщо в задачі 3 шуканими вважати елементів 40 га, то відповідну обернену задачу не можна було б розв’язати арифметично, бо вона звелася б до квадратного рівняння.

ВИСНОВКИ

1. Всяке алгебраїчне розв’язування текстової задачі являє собою процес послідовного розв’язування арифметичних задач. Отже, арифметичні розв’язування є основою для алгебраїчних; арифметичні задачі не лише сприяють розвитку логічного мислення, – вони є також важливим знаряддям логічної підготовки учнів до засвоєння дальшого курсу математики і інших дисциплін.

2. За допомогою «методу обернених задач» можна процес складання рівнянь звести до розв’язування порівняно не складних арифметичних задач з буквеними даними, тому нема потреби захоплюватися штучним і громіздким арифметичним розв’язуванням задач. Розв’язування арифметичних задач з буквеними даними підготовляє до складання рівнянь, тому до них слід вдаватися, починаючи з ІІІ класу.

3. Наявність глибокого зв’язку між розв’язуванням задач і їх складанням, між арифметичним і алгебраїчним розв’язуванням текстових задач дає нам змогу ефективно використати загальний принцип підходу до алгебраїчного розв’язування задач, тобто складання і розв’язування обернених задач.

Цей принцип можна і слід свідомо використовувати при навчанні алгебраїчно розв’язування задачі. 4. Щоб успішно навчати розв’язувати алгебраїчні текстові задачі, потрібна підготовча робота з учнями з арифметичного розв’язування задач з буквеними даними, із складання задач, обернених даній.

Поряд з цим дуже корисно перед складанням рівнянь до текстових задач кілька разів використати відповідні ланцюги навчаючих задач і вправ. Приклад навчаючої задачі подано в задачі 5.

5. «Метод обернених задач» і, тим більше, метод послідовного позначення величин, не дають можливості повністю дослідити задачу з точки зору її визначеності. Наприклад, неможливо або дуже важко з’ясовувати за допомогою цих методів такі питання: Чи досить у задачі даних для її розв’язування? Чи можна розв’язати задачу, не «використавши» всі дані? Які ще величини поряд з вказаними в запитанні задачі можна знайти?

«Метод обернених задач» зручно застосовувати для розв’язування лише такої задачі, про яку ми знаємо, що вона складена «правильно», тобто обов’язково має певний розв’язок. Що ж до дослідження алгебраїчної текстової задачі, то вона розглядається в наступному параграфі.

Blog