Методика решения текстовых задач в 5-6 классах Учитель математики

Вид материала

Содержание

Методы обучения
Методы решения задач
Решение задач с помощью уравнений
Х ц. яблок было продано магазинами города до обеда; (х – 48) ц
Всего 18 яблок.
Задачи на сложные пропорциональные деления.
Задачи на дроби и проценты
Нахождение дроби от числа.

Подобный материал:

1 2 3 4

Методы обучения

Методы обучения - упорядоченность способов взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленных на достижение целей обучения как средства образования и воспитания.

Описание каждого метода должно включать:

описание обучающей деятельности учителя;
описание учебной (познавательной) деятельности ученика;
связь между ними, или способ, каким обучающая деятельность учителя управляет познавательной деятельностью учащихся.

Система методов обучения математике состоит из общих методов обучения и из частных (специальных) методов обучения математике, отражающих основные методы познания, используемые в математике.

Что такое познавательная деятельность в математике? Психологический анализ этой деятельности выявляет три основных компонента:

набор общих логических приемов мышления (индукция и дедукция, анализ и синтез, аналогия, обобщение и абстрагирование, конкретизация, классификация, метод проблемного обучения);
набор специальных (для математики) приемов мыслительной деятельности: метод построения математических моделей изучаемых явлений, процессов (один из наиболее плодотворных методов познания внешнего мира); различные, характерные для математики способы абстрагирования; аксиоматический метод, ставший одним из основных при построении математических моделей действительности. Все используемые в математике методы познания как бы интегрируются в методе построения математических моделей изучаемых объектов действительности;
система знаний - важная составная часть познавательной деятельности, ее результат. Ее формирование и развитие происходит путем постепенного наращивания уже имеющихся знаний в процессе учебной деятельности.

Очень большая роль задач в обучении математике и развитии математического мышления учащихся. Усвоение математических знаний и уровень математического развития учащихся всегда проверялись с помощью решения задач.

Специальные методы и общие методы используются во взаимной связи. В основе выбора и сочетания различных методов обучения лежат как объективные факторы (цели и содержание обучения), так и субъективные (учитель, учащиеся). Цели и содержание обучения не определяют однозначно методы обучения. Одно и то же содержание может быть изучено различными методами, причем так. Чтобы во всех случаях достигались цели обучения. И, одни и те же методы обучения, применяемые разными учителями, могут дать разные результаты.

Методы решения задач:

- арифметический метод (с помощью выполнения последовательности арифметических действий);

- алгебраический метод (решение с помощью составления и решения уравнений);

- практический метод (решение путем практического выполнения описываемых в задаче действий с реальными предметами или графическими моделями);

- логический метод (решение только с помощью логических рассуждений);

- табличный метод (решение путем занесения содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу);

- геометрический метод (решение путем построения геометрических фигур и использования их свойств в ходе моделирования ситуации задачи и отыскания ответа на вопрос задачи);

- смешанный метод (решение с помощью средств, принадлежащих нескольким методам);

- метод проб и ошибок (самый примитивный), в нем ответ на вопрос задачи угадывается. Но и здесь основные моменты решения - выбор пробных ответов на вопрос задачи и проверка их соответствия условию осуществляется с помощью мыслительных операций, необходимых при решении любым путем. Угадывание ответа требует интуиции, без которой невозможно никакое решение.

Если учащиеся владеют методами решения задач, то это помогает им составить план, проверить правильность решения.

Обучение каждому из методов и приемов ведется по схеме:

- накопление учащимися практического опыта применения данного метода или приема по указанию учителя или самостоятельно;

- осознание полезности применения метода или приема;

- организация « целостного акта учебной деятельности» учащимися по освоению метода или приема (т.е. от принятия каждым ребенком учебной цели: научиться решать задачи с помощью уравнения; с помощью действий с предметами; и п.п.) до получения каждым ребенком ответа на вопросы: «Научился ли я решать задачи с помощью уравнения?», «Научился ли я решать задачи с помощью действий с предметами?»;

- осознание достоинств и недостатков изученного метода или приема; границ его применения, особенностей применения к решению задач определенных видов.

Решение задач по-разному – мощное средство постижения мира, осознание разнообразия свойств и отношений его элементов. Разные методы и способы решения - средство развития познавательного интереса, умения отстаивать свою точку зрения, способности слышать и понимать других людей.

Решение задач с помощью уравнений

Уравнения часто оказываются хорошими помощниками при решении задач.

Задача:1.Магазины города за день продали 342ц. яблок. До обеда продали на 48ц. яблок больше, чем после обеда. Сколько центнеров яблок продано до обеда и сколько после обеда?

Графическая иллюстрация к условию задачи:

До обеда ________________________

48 Всего342ц.

После обеда __________________

1 способ. Это одна из типовых задач - задача на нахождение чисел по их сумме и разности.

1) Предположим, что после обеда яблок продано столько же, сколько и до обеда. Тогда за день магазины города продали: 342 = 48 = 390(ц.) яблок

2) Найдем количество яблок, проданных до обеда:

390 : 2 = 195(ц)

3) Найдем количество яблок, проданных после обеда:

195 – 48 = 147(ц)

Ответ: 195ц, 147ц.

2 способ. В условии задачи фигурируют следующие величины: количество яблок, проданных до обеда; количество яблок, проданных после обеда; 48ц - результат разностного сравнения названных выше величин и 342ц- общее количество проданных за день яблок. Выпишем из них ту величину, которая бы связывала оставшиеся величины.

Возможны варианты выбора:

1. 342. 2. 48.

Охарактеризуем каждую из выбранных величин как результат некоторого математического действия:

342

До обеда

После обеда

До обеда

После обеда

Величины, стоящие в правой части равенства неизвестны, но связаны между собой условием:

Количество яблок, проданных до обеда, больше, чем проданных после обеда на 48ц

Общее количество яблок, проданных за день- 342ц

Обозначим одну из неизвестных величин буквой х. Получим:

1)

342

До обеда

После обеда

а) х х – 48

б) х + 48 х

2)

До обеда

После обеда

а) х 342 – х

б) 342 – х х

Подставив полученные выражения в модель поиска, приходим к четырем уравнениям:

1) 342 = х + (х – 48); 2 ) 342 = (х + 48) + х; 3) 48 = х + (342 – х); 4) 48 = (342 – х) + х.

Выбрав одно из этих уравнений и решив его, получим ответ задачи.

Остановимся на первом варианте. Наметим план решения этой задачи:

Обозначим буквой х количество яблок, проданных до обеда.
Выразим через х количество яблок, проданных после обеда.
Выразим через х количество яблок, проданных за день.
Составим уравнение, используя выбранную модель поиска.

Решение.

Х ц. яблок было продано магазинами города до обеда; (х – 48) ц яблок продано после обеда; (х + (х – 48))ц яблок продано за день. По условию задачи магазины города продали за день 342ц яблок. Получаем уравнение: х + (х – 48) = 342.

Решение уравнения:

х + х – 48 = 342;

2х – 48 = 342;

2х = 342 + 48;

2х = 390;

Х = 195.

195ц- столько яблок было продано до обеда;

195 – 48 = 147(ц) яблок продано после обеда.

Ответ: 195ц., 147ц.

После решения задачи бывает полезно выполнить проверку, т.к. она помогает выяснить, правильно ли понята задача, согласуется ли найденный ответ с условием задачи.

Существуют разные способы проверки, например:

решение задачи другим способом;
установление того факта, что полученный ответ удовлетворяет условию задачи по содержанию;
составление и решение задачи, обратной данной.

Решая задачу с помощью уравнения, удобно придерживаться следующего порядка:

1.вначале хорошо ознакомиться с условием задачи. Если нужно, то надо выполнить его краткую запись. Затем выделить величины, фигурирующие в условии задачи.

2.Осуществить поиск плана решения задачи.

3.записать найденное решение и решить уравнение, полученное в ходе решения.

4.выполнить проверку задачи. Записать ответ.

Задачи на пропорциональное деление

Деление числа на части прямо пропорционально данному ряду чисел.

В учебнике Э.Р. Нурка, А.Э. Тельгмаа приведено решение такого типа задачи в № 618 в разделе Б.

Задача: Зоя купила в магазине 18 яблок. Эти яблоки разделили между мамой, папой и Зоей в отношении 2:1:3, то есть мама получила 2 части, папа 1 часть, а Зоя 3 части всех яблок. Сколько яблок получил каждый?

Выполним графическую иллюстрацию к условию задачи:

папа

Мама Зоя

Всего 18 яблок.

Число яблок мамы, папы и Зои должны относиться как 2:1:3 и решение сводится к делению 18 яблок на части пропорционально числам 2, 1, и 3.

Решение: 1) Все купленные яблоки составляют 2 + 1 + 3 = 6(частей).

2)Так как 6 частям соответствуют 18 яблок, то на одну часть приходится

18 : 6 = 3(яблока).

3) Мама получила 2 части, а это значит 2*3 = 6(яблок), папа 1*3 =

=3(яблока), и Зоя 3 * 3 = 9(яблок).

Ответ: мама получила 6 яблок, папа 3 яблока, Зоя 9 яблок.

Вывод: чтобы разделить число пропорционально данному ряду чисел, нужно найти:

общее число частей;
величину одной части;
величину требуемого числа частей.

Деление числа на части обратно пропорционально данному ряду чисел.

Рассмотрим примеры двух задач со схожими сюжетами. Одна задача на деление числа прямо пропорционально данному ряду чисел, а вторая задача окажется новой. При ее решении нужно делить данное число на части обратно пропорционально данному ряду чисел.

Задача 1. Две бригады школьников, работая с одинаковой производительностью, пропололи морковь на участке, площадь которого составляет 15 соток. Причем одна бригада работала 2 часа, а другая 3 часа. Сколько соток прополола каждая бригада?

Выполним графическую иллюстрацию к условию задачи:

1-ая бригада 2-ая бригада

2 части 3 части

Бригады работали с одинаковой производительностью. Первая, работая 2 часа, прополола меньше, чем вторая, работавшая 3 часа. Следовательно, 15 соток, прополотых обеими бригадами, нужно разделить прямо пропорционально времени их работы, т. е. 2:3.

Решение: 1) 2 + 3 = 5(ч), всего частей; 2)15:5=3(сотки) составляет одна часть; 3)3*2=6 (соток) прополола первая бригада; 4)3*3=9(соток) прополола вторая бригада.

Ответ: 6 соток, 9 соток.

Задача 2. Группа школьников из 15 человек разбилась на 2 бригады для прополки моркови так, что одна бригада смогла бы выполнить всю работу за 2 часа, а другая за 3 часа. Сколько школьников в каждой бригаде, если известно, что все они работали в одном темпе?

Так как все школьники работают в одном темпе, то, в той бригаде, которая работает быстрее – больше человек, а медленнее меньше. Следовательно, общее число школьников (15 человек) нужно распределить прямо пропорционально темпу работы бригад. Но темп работы бригад не известен.

Так как по условию первая бригада за 2 часа пропалывает весь участок, то за один час – ½ участка, рассуждая аналогично, получим, что вторая бригада за один час – 1/3 участка. Теперь данное число 15 разделим в отношении 1/2:1/3. Ряд чисел ½; 1/3 – это ряд чисел, обратных числам ряда 2; 3, а следовательно, задача свелась к делению данного числа на части прямо пропорционально ряду чисел, обратных данным.

Говорят, в данной задаче нужно 15 разделить на части обратно пропорционально данному ряду чисел.

Вывод: чтобы разделить число на части обратно пропорционально данному ряду чисел, надо разделить его на части прямо пропорционально ряду чисел, обратным данным.

Решение.

1.Заменим ряд данных чисел: 2; 3 рядом чисел, им обратным – ½; 1/3.

2.Разделим 15 в отношении ½:1/3. Упростим это отношение: ½:1/3=3:2.

2-ая бригада 1-ая бригада

2 части 3 части

Всего 15 человек

1)3+2=5 – всего частей;

2)15:5=3(человека) составляют одну часть;

3)3*3=9(человек) в первой бригаде;

4)3*2=6(человек) во второй бригаде.

Ответ: 9 человек и 6 человек.

Задачи на сложные пропорциональные деления.

Задача 1. Две бригады школьников получили за сбор клубники 2725 рублей. Причем в одной бригаде было 11 человек, а в другой 9 человек. Первая бригада работала, а вторая 6 дней. Как распределить между бригадами полученную сумму, если все школьники работали в одинаковых условиях?

Если бы обе бригады работали одно и то же число дней, то 2725 руб. нужно бы разделить в отношении 11:9. Если бы число школьников в обеих бригадах было бы одинаково, то 2725 руб. нужно бы разделить в отношении 5:6. А бригады отличаются и по количеству школьников и по времени их работы, значит и при распределении денег необходимо учитывать одновременно оба условия, поэтому удобно предварительно вычислить число рабочих дней каждой бригады.

Решение. 1. Вычислим число рабочих дней каждой бригады.

5*11=55 (рабочих дней) – у первой бригады;
6*9=54 (рабочих дня) – у второй бригады.

Разделим 2725 руб. в отношении 55:54.

55+54=109 (частей) всего;
2725:109=25 (руб.) составляет одна часть;
25*55=1375 (руб.) получила первая бригада;
25*54=1350 (руб.) получила вторая бригада.

Ответ: 1375 рублей, 1350 рублей.

В задаче требовалось разделить число пропорционально двум данным ряда чисел. Решая задачу, делили данное число пропорционально произведениям соответствующих чисел этих двух рядов.

Задачи на дроби и проценты

В объяснительном тексте учебников Н. Я. Виленкина и др, и под редакцией Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина и др., и Э. Р. Нурка, А. Э. Нурка, А. Э. Тельгмаа нет краткой записи условий данных задач, а это может привести учащихся к непониманию того, что происходит. И почему в одном случае выполняем деление, а в другом умножение. Нужно, чтобы дети видели, что в условии задачи является целым, а что его частью.

1. Нахождение дроби от числа.

Задача 1. Расстояние между двумя селами 24км. За первую неделю бригада заасфальтировала 5/8 этого расстояния. Сколько километров заасфальтировали?

Прежде всего запишем краткое условие:

5/8 заасфальтировали

24км-это 1.

В задаче известно расстояние между селами (целое-1). Необходимо найти часть его (5/8).

24 км составляют восемь восьмых долей. Сколько км приходится на 1/8 долю?

24 : 8 = 3(км)

За первую неделю заасфальтировали 5 таких долей. Сколько километров заасфальтировали? 3 * 5 = 15(км) Ответ:15 км заасфальтировали за первую неделю.

Запись выражением: 24 : 8 * 5 = 15(км).

24 разделили на знаменатель дроби и полученный результат умножили на числитель.

24 : 8 * 5 = 24/8 * 5 = (24*5) : 8 = 24 * 5/8.

Вывод: для нахождения дроби от числа, нужно число умножить на данную дробь.

2.Нахождение числа по его дроби (обратная задача).

Задача 2. За первую неделю бригада заасфальтировала 15км, что составило 5/8 расстояния между двумя селами. Каково расстояние между двумя селами?

Запишем краткое условие:

Все расстояние- это 1.

5/8 – это 15км.

15км - это 5 долей. Сколько км в одной доле? 15 : 5 = 3(км)

Так как все расстояние содержит 8 таких долей, то найдем его: 3 * 8 = 24(км).

Ответ: расстояние между селами 24 км.

Запишем выражение: 15 : 5 * 8 = 24(км) или 15 : 5 * 8 = 15/5 * 8 = (15*8):5 = 15*8/5 = 15:5/8.

Вывод: для нахождения числа по его дроби, можно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.

Так как проценты можно записать в виде дроби, то нахождение процентов от числа и числа по его процентам находятся аналогично. Для успешного решения задач такого типа нужно научиться различать их, для этого тщательно разобраться в условии.

Советы: 1) Сделать рисунок. На этом рисунке: а) изобразите произвольный отрезок прямой, который изображает известное или неизвестное целое;

б) приблизительно (или точно) изобразите отрезок- известную или неизвестную часть этого целого;

в) над отрезками укажите известные или неизвестные величины, которые они изображают; под ними - соответствующие им известные или неизвестные дроби.

2) Найдите, чему равна одна часть целого.

3) Найдите искомую величину. Запишите ответ.

Blog

Методика решения текстовых задач в 5-6 классах Учитель математики

Содержание