Программа дисциплины «вычислительная математика» Индекс дисциплины по учебному плану: ен. Ф. 01. 4 Направление 230200 Информационные системы

Вид материала

Программа дисциплины

Содержание До занятия На за­нятиях До занятия На занятиях 7.Формы контроля знаний студентов.

Подобный материал:

• Программа дисциплины «информационные сети» Индекс дисциплины по учебному плану: опд., 123.28kb.
• Программа дисциплины «Дискретная математика» Индекс дисциплины по учебному плану ен., 194.02kb.
• Самостоятельная работа студентов 34 Курсовой проект. Форма итогового контроля: экзамен, 371.54kb.
• Программа дисциплины «Информационная безопасность и защита информации» Направление, 280.62kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины дн. Ф. 13 Операционные системы Для направления, 227.68kb.
• Многоуровневая учебная программа дисциплины электротехника и электроника для подготовки, 409.29kb.
• Аннатационная программа дисциплины теория вероятностей, случайные процессы направление, 46.02kb.
• Рабочая программа дисциплины (указывается шифр и наименование дисциплины по учебному, 610.49kb.
• Программа дисциплины "Информационно-поисковые системы" Направление 230200 Информационные, 236.78kb.
• Рабочая программа дисциплины «офисное программирование» Индекс дисциплины по учебному, 133.25kb.

5.2.Тематика лабораторных работ

№	ТЕМА	Неде­ля	Порядок выполнения
1	Основы работы с Math­­Cad.Отделе­ние корней нелинейно­го уравнения.	1	1)Получить вариант задания (2 уравнения). 2)Построить в Excel таблицы и графики для отделения од­но­го (любого) кор­ня каждого уравнения с точностью до целых. 3)Построить в Math­Cad таблицы и графики для отделения одного (любого) кор­ня каждого уравнения с точностью до целых. 4)Оформить ре­­зультаты в тетради и сдать работу препо­да­ва­телю с де­мон­стра­цией на компьютере.
2	Основы програм­ми­­­рования вычис­ле­­ний в Excel и MathCad	2	1)Записать блок–схему программы отделения корня не­ли­ней­ного уравнения. 2)Разработать программу в VBA Excel для от­деления кор­ня нелинейного уравнения. 3)Разработать прог­рам­му в MathCad для отделения корня нелинейного урав­не­ния. 4)Продемонстрировать работу программ преподавателю. 5)Оформить блок–схему и тексты программ в тетради и сдать ра­боту препо­да­ва­телю.
3	Стандартные сред­ст­ва решения урав­не­ний в Excel и MathCad	3	1)Для каждого из двух заданных уравнений получить зна­че­ние корня в Excel, используя 3 варианта начальных то­чек (на­ча­ло, середина и конец полученного ранее отрезка) и 2 ин­ст­ру­мента («Подбор параметра» и «Поиск реше­ния»). 2)Для каж­­дого из двух заданных уравнений получить зна­­че­ние кор­ня в MathCad, используя 3 варианта начальных то­чек и 2 ин­струмента (функцию roots и блок решения). 3)Сравнить и упо­рядочить по достигнутой точности полу­ченные ре­зу­ль­та­ты решения каждого из двух уравнений. 4)Найти, используя фун­кцию polyroots в MathCad, корни для заданного урав­не­ния,допускающего использование этой функции. 5)Оформить ре­зультаты в тетради и сдать работу препо­да­ва­телю с де­мон­ст­рацией на компьютере.
4	Уточнение корня урав­нения методом бисекции	4	1)Построить в Excel таблицу для уточнения корня урав­не­ния методом бисекции (таблица должна допускать прос­тое продолжение с целью увеличения точности). 2)Построить в MathCad расчетные формулы и таблицы для уточнения корня урав­не­ния методом бисекции (таб­ли­цы должна допускать прос­­тое продолжение с целью уве­личения точности). 3)Оп­ре­де­лить для каждого из заданных уравнений ско­лько нужно сде­лать шагов и какая при этом достигается точ­­ность по ар­гу­мен­ту для решения с точностью по функ­ции: а)0,1; б)0,001; в)0,001; г)макси­маль­ной точностью по­­­­лученной в пре­ды­ду­щей работы (все результаты долж­ны быть подтверждены двой­ным расчетом – в Excel и MathCad). 4)Оформить ре­зу­ль­та­ты в тетради и сдать работу препо­да­ва­телю с де­мон­ст­ра­ци­ей на компьютере.
5	Сравнение методов уточнения корней не­­линейного урав­не­ния	5–6	1)Определить, используя расчеты в Excel и MathCad, ско­ль­ко ша­гов нужно сделать для решения заданного урав­не­ния с точ­ностью 0,001 по аргументу каждым из 6 сле­ду­ю­щих ме­то­дов: а)бисекций; б)хорд; в)касательных; г)уп­ро­­щенных ка­са­тель­ных; д)модифицированных каса­тельных; е)комби­ни­ро­ван­ным. 2)Определить, используя расчеты в Excel и MathCad, ско­ль­­ко шагов нужно сделать для решения заданного урав­не­ния с точностью 0,001 по функции каждым из тех же 6 ме­­­то­дов. 3)Оформить результаты в тетради и сдать работу препо­да­­ва­телю с демонстрацией на компьютере.
6	Программирование методов уточнения корней нели­ней­но­го уравнения.	7–8	До занятия: 1)получить у преподавателя задание для прог­рам­­ми­ро­ва­ния уточнения корня нелинейного урав­нения, вклю­ча­ю­­щее метод уточнения, язык програм­ми­ро­вания (VBA Ex­cel или программа в MathCad), критерий про­вер­ки точ­нос­ти. На за­нятиях: 1)Представить преподавателю блок–схему ре­а­ли­зации метода. 2)Продемонстрировать работающую прог­рам­му, реали­зу­ю­щую заданный метод. 3)Сдать пре­по­да­ва­те­лю отчет, включающий задание на программирование, тесто­вый пример, блок–схему и текст программы.
7	Стандартные сред­ст­ва решения сис­тем нелинейных урав­­не­ний в MathCad	9	1)Получить вариант задания (систему уравнений). 2)Построить в MathCad таблицы и графики для при­бли­жен­ной оценки корней системы уравнений (при правых частях, равных 0). 3)Используя блок решения в MathCAD, построить таб­­ли­цы и графики, отражающие зави­си­мость корней сис­те­мы уравнений x и y от правых частей: a (при b=0) и b (при a=0). 4)Оформить результаты в тетради и сдать работу препо­да­­ва­телю с демонстрацией на компьютере.
8	Методы решения сис­тем нелинейных уравнений	10–11	1)Используя MathCAD и Excel, определить количество ша­­гов, необходимое для дос­ти­же­ния точ­ности 0,1; 0,01; 0,001 (при a=0 и b=0): а)методом Ньютона по значениям аргументов; б)методом Ньютона по значениям функций; в)методом простых итераций; г)методом Зейделя. 2)Оформить результаты в тетради и сдать работу препо­да­ва­телю с демонстрацией на компьютере.
9	Приближенное вы­числение опре­де­лен­­ных интегралов	12–13	1)Получить вариант задания (подинтегральную фун­к­цию и пре­делы интегрирования). 2)Вычислить значение оп­ре­де­лен­но­го интеграла, ис­поль­зуя инструменты MathCad. 3)Вычислить значение определенного интеграла (если воз­­мож­но), используя аналитическое взятие интеграла в Math­Cad и формулу Ньютона–Лей­б­ни­ца. 4)Вычислить значение оп­ределенного ин­те­г­рала в Excel по формулам трапеций и па­ра­бол, раз­бив от­ре­зок интег­ри­рования на 8 и 16 частей. Оце­нить пог­реш­ность по фор­му­­ле Рунге. 5)Вычислить значение оп­ределенного ин­те­г­рала в Math­Cad по формулам пря­мо­у­голь­ников (3 ва­ри­ан­та), тра­пе­ций и парабол, раз­бив отрезок ин­тегрирования на 8, 16 и 32 части. 6)Оформить результаты в тет­ради и сдать работу препо­да­ва­телю с демонстрацией на ком­пьютере.
10	Вы­числение опре­де­­­лен­­ных интегра­лов методом ста­ти­с­­тических испы­та­ний	14	1)Используя MathCAD и Excel реализовать вычисление оп­ре­де­ленного интеграла по первому и второму методам ста­тис­ти­ческих испытаний. 2)Сравнить результаты вычисления оп­ре­деленного ин­тег­ра­ла по первому и второму методам ста­тис­тических ис­пы­та­ний при 100, 500, 1000 испытаний, вы­пол­нив в каждом случае по 5 реализаций. 3)Оформить ре­зу­ль­таты в тетради и сдать работу препо­да­ва­телю с де­мон­ст­ра­ци­ей на компьютере.
11	Аппроксимация фун­­кции одной пе­ре­менной поли­но­ма­ми.	15	1)Получить вариант задания (экспериментальных зна­че­ния ре­гулируемой и измеряемой переменных – x и y). 2)Построить по экспериментальным данным полиномы раз­лич­­­ных степеней, ап­про­кси­ми­рующие зависимость y от x. Рас­считать ко­эф­фи­ци­енты полиномов (ис­поль­зуя урав­нения трен­да и функцию регрессии) и суммы квад­ра­тов невязок. 3)Определить ко­эф­фи­ци­енты аппроксимационного поли­но­ма вто­рой степени по МНК и построить график. 4)Оформить ре­зуль­таты в тетради и сдать работу препо­да­ва­телю с де­мон­ст­ра­цией на компьютере.
12	Программирование методов решения си­с­тем нелиней ных уравнений и вы­числения оп­ре­де­­ленных ин­тег­ра­лов.	16–17	До занятия: 1)получить у преподавателя задание для прог­рам­­ми­ро­ва­ния, вклю­чаю­щее задачу (система уравнений или ин­тег­­рал), метод вычисления, язык програм­ми­ро­вания (VBA Ex­­cel или программа в MathCad). На занятиях: 1)Представить пре­подавателю блок–схему ре­а­ли­­зации метода. 2)Продемонстрировать работающую прог­рам­му, реали­зу­ю­щую заданный метод. 3)Сдать пре­по­да­ва­те­лю отчет, включающий задание на программирование, тес­то­вый пример, блок–схему и текст программы.

6.Содержание и состав курсовой работы

Содержание курсовой работы: Программная реализация численного алгоритма решения прикладной задачи.


Состав курсовой работы:

1)Выбор математической модели решения прикладной задачи.

2)Выбор численного алгоритма решения прикладной задачи.

3)Разработка блок–схемы алгоритма

4)Программная реализация алгоритма.

5)Выполнение серии расчетов для анализа задачи.

6)Интерпретация, оформление и представление результатов.


7.Формы контроля знаний студентов.

Текущий контроль: Еженедельный отчет по лабораторным работам с выставлением оцен­ки в электронной технологической карте и учетом комплексного рейтинга учебной ак­тивности..

Промежуточный контроль: Осуществляется по контрольным точкам в соответствии электронной технологической картой дисциплины.

Итоговый контроль: Экзамен по итогам семестра.


8.Темы и контрольные вопросы для
самостоятельной работы студентов.

1. Задача интерполяции. Интерполяция сплайнами.
   
2. Задача аппроксимации. Использование метода наименьших квадратов для аппроксимации разных видов функций.
   
3. Задача аппроксимации в анализе динамических рядов.
   
4. Методы численного решения систем линейных уравнений с большим числом неизвестных.
   
5. Численные методы решения задачи о собственных числах и векторах квадратной матрицы.
   
6. Решение нелинейного уравнения. Отделение корней с построеним графиков функций на ЭВМ.
   
7. Решение нелинейного уравнения. Сравнение эфективности различных методов уточнения корня.
   
8. Решение систем нелинейных уравнений. Сравнение эфективности различных методов уточнения корня и методов, используемых в Excel и MathCad.
   
9. Методы приближенного вычисления определенных интегралов. Анализ эффективности методов статистических испытаний.
   
10. Формулировка задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения на примере прикладной задачи.
    
11. Формулировка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения на примере прикладной задачи.
    
12. Сопоставление эффективности методов Эйлера и Рунге–Кутта решения обыкновенного дифференциального уравнения.
    

9.Перечень вопросов к экзамену.

1.Какая точность будет достигнута при решении нелинейного уравнения ме­то­дом деления по­полам за N шагов? Сколько надо сделать шагов, чтобы получить за­данную точность?

2.Проиллюстрировать графически случай, когда при решении нелинейного урав­­­не­ния ме­тод деления пополам дает на первом шаге большую точность, чем ме­­тод хорд.

3.Проиллюстрировать графически случай, когда при решении нелинейного урав­не­ния ме­тод деления пополам дает на первом шаге большую точность, чем ме­­тод касательных.

4.Проиллюстрировать графически случай, когда при решении нелинейного урав­­не­ния на на­чальном отрезке имеется единственный корень, но комбиниро­ван­­ный метод не применим.

5.Какова связь методов касательных и итераций для решения нелинейного урав­нения?

6.Какова связь упрощенного метода касательных и метода итераций для ре­ше­ния не­ли­ней­ного урав­нения?

7.Какова связь методов хорд и итераций для решения нелинейного урав­нения? (Рас­смот­реть случай, когда метод хорд на всех шагах дает приближение слева.)

8.Проиллюстрировать графически 3 случая решения нелинейного уравнения с от­­­ри­ца­тель­ным корнем: а)метод итераций расходится; б)метод итераций схо­дит­­ся, приближаясь к кор­ню с одной стороны; в)метод итераций схо­дит­ся, при­бли­жаясь к корню с двух сторон.

9.Можно ли искать методом итераций корень x=3 уравнения x=x³–x²–18?

10.Привести примеры систем из 4 линейных уравнений, которые: а)можно ре­шать ме­то­дом итераций; б)нельзя ре­шать методом итераций; а)можно ре­шать ме­тодом итераций то­ль­ко после перестановки уравнений.

11.Привести примеры системы из 3 линейных уравнений, при решении которых методом Га­усса на втором шаге выясняется, что: а)система не имеет решения; б)сис­тема имеет бес­ко­нечное множество решений.

12.Привести пример вычисления определителя третьего порядка методом Гаус­са.

13.Привести пример вычисления обратной матрицы размерности 3:3 методом Га­ус­­са.

14.Подобрать матрицу A (размерности2:2) и вектор X так, чтобы норма их про­из­­ведения бы­ла равна норме матрицы A.

15.Сколько собственных чисел и собственных векторов может быть у матрицы?

16.Какой вектор мы получим, увеличив все компоненты собственного вектора мат­рицы в 3,5 раза?

17.Что произойдет с собственными числами и собственными векторами мат­ри­цы, если все ее элементы уменьшить в 1,5 раза?

18.Вывести формулы метода Ньютона для решения системы четырех не­ли­ней­ных урав­не­ний.

19.Записать формулы метода Ньютона для решения системы нелинейных урав­не­ний с ис­поль­зованием определителей.

20.Сформулировать и обосновать критерии остановки для процесса решения сис­­темы не­ли­нейных уравнений методом итераций.

21.Проиллюстрировать графически случаи, когда вычисление определенного ин­теграла по фор­муле трапеций дает значение а)с избытком; б)с недостатком.

22.Для полиномов какой степени даст точный результа вычисление опре­де­лен­но­го ин­тег­ра­ла по формуле а)трапеций, б)прямоугольников с центральной точкой, в)парабол?

23.Как нужно изменить шаг, чтобы в 10 раз повысить точность вычисления оп­ре­­деленного ин­теграла по формуле трапеций?

24.Как нужно изменить шаг, чтобы в 10 раз повысить точность вычисления оп­ределенного ин­теграла по формуле Симпсона?

25.Какому методу эквивалентно вы­чис­ле­ние определенного интеграла, как сред­­­­него ариф­ме­тического первой и второй формул прямоуголь­ни­ков?

26.Какому методу эквивалентно вы­чис­ле­ние определенного интеграла, как сред­­­­­­него ме­то­дов прямогольников с центральной точкой (с весом 2) и трапеций

(с весом 1)?

27.В каком случае вычисление определенного интеграла методом Монте–Карло га­ран­ти­ро­ванно даст точный результат при 3–х испытаниях?

28.Проведено вычисление определенного интеграла на [3, 8] по 1–му ва­ри­ан­ту ме­тода Мон­те–Карло с учетом того, что подинтегральная функции положитель­­­на и ее значение не превышает 6. При этом в 400 из тысячи испытаний по­лу­­чено значение, не пре­вы­ша­ю­щее значение подинтегральной функции. Оце­нить зна­че­ние определенного интеграла.

29.Проведено вычисление определенного интеграла на [3, 8] по 2–му ва­ри­ан­ту ме­тода Мон­те–Карло. При этом из тысячи испытаний в 200 по­лу­чено значение 4, в 500 – 7, а в ос­таль­ных – 10. Оце­нить значение определенного интеграла.

30.Приведите пример исходных данных, аппроксимация которых полиномом пя­­­той сте­пе­ни даст тот же результат, что аппроксимация полиномом шестой сте­пени, но отличный от ап­проксимации полиномом четвертой степени?

31.Получите систему нормальных уравнений для аппроксимации функции од­ной пе­ре­мен­ной полиномом 3–го порядка по экспериментальным данным.

32.Получите систему нормальных уравнений для аппроксимации функции од­ной пе­ре­мен­ной полиномом 4–го порядка по экспериментальным данным, если из­вест­но, что график фун­к­ции проходит через начало координат.

33.Получите систему нормальных уравнений для аппроксимации функции двух пе­ре­мен­ных полиномом 2–го порядка относительно этих переменных по экс­пе­ри­ментальным дан­ным.

34.Покажите справедливость интерполяционной формулы Ньютона для равно­от­сто­ящих то­чек при интер­по­ляции по 4–м точкам.

35.Покажите справедливость интерполяционной формулы Ньютона для не­рав­но­­от­сто­я­щих точек при интер­по­ляции по 4–м точкам.

36.Запишите систему уравнений для определения коэффициентов кубических сплайнов при локальной интерполяции на отрезке, разбитом на 3 участка.

37.Алгоритм решения уравнения методом хорд.

38.Алгоритм решения уравнения методом касательных.

39.Алгоритм решения уравнения упрощенным методом касательных.

40.Алгоритм решения уравнения методом секущих.

41.Алгоритм решения уравнения комбинированным методом.

42.Алгоритм решения уравнения методом простых итераций.

43.Алгоритм поиска точки равновесия спроса и предложения методом итера­ций.

44.Алгоритм расчета коэффициентов интерполяционного полинома путем ре­ше­ния сис­те­мы линейных уравнений методом Гаусса (по схеме с един­ственным де­лением).

45.Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса (по схеме с единст­вен­ным делением) с учетом осо­­бых случаев.

46.Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса с выбором ве­­дущего эле­мента.

47.Алгоритм вычисления определителя методом Гаусса (по схеме с един­ст­вен­ным де­ле­ни­ем).

48.Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса (по схеме с един­ст­вен­ным де­лением).

49.Алгоритм простых ите­ра­ций для решения системы линейных уравнений.

50.Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Зейделя.

51.Алгоритм вычисления собственного вектора матрицы методом обратных итераций.

52.Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона.

53.Алгоритм решения системы нелинейных уравнений упрощенным методом Ньютона.

54.Алгоритм простых ите­ра­ций для решения системы нелинейных уравнений.

55.Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Зейделя.

56.Алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле пря­мо­у­голь­ни­ков с цент­раль­ной точкой.

57.Алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле трапеций.

58.Алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона.

59.Алгоритм вычисления определенного интеграла по 1–му варианту метода Монте–Кар­ло.

60.Алгоритм вычисления определенного интеграла по 2–му варианту метода Монте–Кар­ло.

61.Алгоритм уточнения определенного интеграла методом двойного пересчета.

62.Алгоритм формирования системы нормальных уравнений для аппроксима­ции данных по­линомом (функция одной переменной).

63.Алгоритм линейной аппроксимации функции одной переменной.

64.Алгоритм аппроксимации данных степенной функцией.

65.Алгоритм аппроксимации данных показательной функцией.

66.Алгоритм аппроксимации данных о спросе функцией Торнквиста I–го рода.

67.Алгоритм формирования системы нормальных уравнений для аппроксима­ции данных ли­нейной функцией двух переменных.

68.Алгоритм интерполяции по формуле Лагранжа.

69.Алгоритм интерполяции по формуле Ньютона при постоянном шаге зна­че­ний ар­гу­мен­та.

70.Алгоритм интерполяции по формуле Ньютона для неравноотстоящих зна­че­ний ар­гу­мен­та.

71.Используя все имеющиеся данные, проинтерполировать значение y в точке x=1 по фор­му­­ле Лагранжа.

x	-2	0	2	4
y	-5	1	15	85

72.Используя все имеющиеся данные, проинтерполировать значение y в точке x=1 по фор­му­ле Ньютона.

x	-2	0	2	4
y	-5	1	15	85

73.Используя все имеющиеся данные, экстраполировать значение y в точке x=2 по фор­му­ле Лагранжа.

x	-2	-1	0	1
y	-4	1	2	5

74.Используя все имеющиеся данные, экстраполировать значение y в точке x=2 по фор­му­ле Ньютона.

x	-2	-1	0	1
y	-4	1	2	5

75.Рассчитать по имеющимся данным коэффициенты интерполяционного поли­но­ма, ре­шая систему уравнений.

x	-2	0	2	4
y	-2,5	0,5	7,5	42,5

76.Рассчитать по имеющимся данным коэффициенты интерполяционного поли­но­ма, ис­поль­зуя формулу Лагранжа.

x	-2	0	2	4
y	-2,5	0,5	7,5	42,5

77.Рассчитать по имеющимся данным коэффициенты интерполяционного поли­но­ма, используя формулу Ньютона.

x	-2	0	2	4
y	-2,5	0,5	7,5	42,5

78.Рассчитать по имеющимся данным коэффициенты интерполяционного поли­но­ма, решая систему уравнений.

x	-2	-1	0	1
y	-10	0	2	8

79.Рассчитать по имеющимся данным коэффициенты интерполяционного поли­но­ма, используя формулу Лагранжа.

x	-2	-1	0	1
y	-10	0	2	8

80.Рассчитать по имеющимся данным коэффициенты интерполяционного поли­но­ма, ис­поль­зуя формулу Ньютона.

x	-2	-1	0	1
y	-10	0	2	8

81.Рассчитать коэффициенты полинома второго порядка, аппроксимирующего следующие эк­спериментальные данные.

x	0	1	2	3	4	5
y	3	5	9	15	23	33

82.Рассчитать коэффициенты полинома второго порядка, аппроксимирующего следующие эк­спериментальные данные.

x	-2	-1	0	1	2	3
y	5	3	3	5	9	15

83.Рассчитать коэффициенты полинома второго порядка, аппроксимирующего следующие экспериментальные данные.

x	-3	-2	-1	0	1	2
y	9	5	3	3	5	9

84.Рассчитать коэффициенты полинома второго порядка, аппроксимирующего следующие эк­спериментальные данные.

x	-2	0	2	4	6	8
y	5	3	9	23	45	75

85.Рассчитать коэффициенты полинома второго порядка, аппроксимирующего следующие экспериментальные данные.

x	1	2	3	4	5	6
y	5	9	15	23	33	45