Лекція Методика навчання математики як наука І як навчальна дисципліна в педвузі

Вид материала

Лекція

Содержание Неповна індукція Математична індукція Проблемний виклад Частково-пошуковий метод Дослідницький метод Метод доцільних задач Самостійна робота Програмоване навчання

Подобный материал:

• Навчальна програма з дисципліни «комп’ютерні та інформаційні технології» для студентів, 131.31kb.
• Робоча навчальна програма дисципліни "Країнознавство" для бакалаврів денної форми навчання, 758.1kb.
• В. Д. Бабкін Політологія як наука І навчальна дисципліна, 7022.28kb.
• Рішенням Вченої Ради юридичного факультету від " " 2008 р вступ Навчальна дисципліна, 561.94kb.
• Робоча навчальна програма з дисципліни «комп’ютерні та інформаційні технології» для, 204.08kb.
• Навчальна дисципліна «Адміністративна відповідальність» для студентів іі-го курсу денної, 15.66kb.
• Методика проведення лекційних занять у вищих навчальних закладах в умовах гуманізації, 150.95kb.
• Методика навчання інформатики. Інформатика в школі як навчальний предмет, 638.5kb.
• Курс лекцій для студентів денної І заочної форми навчання спеціальності 050301 „Товарознавство, 1137.66kb.
• 1. Методика як теорія І практика навчання іноземних мов, 190.57kb.

Аналогія (від грецьк. - відповідність, схожість) - прийом розумово'і діяльності, спрямований на одержання нових знань про властивості, ознаки, відношення предметів і явищ, що вивчаються, на піддставі знань про їхню часткову схожість.


Останнім часом філософи відносять аналогію не лише до категорії логіки, а и до категорії психології. Щодо думки, згідно з якою проблема аналогії належить більш до психології, ніж до логіки, А. І. Уйомов вважає, що аналогія є одним з різновидів асоціацій за схожістю, на основі якої одна думка спричиняє іншу. В одних випадках така асоціація допомагає досягненню істини, а в інших - заважає, проте яким буде результат заздалегідь сказати не можна. Аналогії дуже часто притаманна велика переконливість, оскільки асоціація, що спричинила ту чи шшу думку в одної людини, може привести до виникнення її і в інших. Одїнак цю переконливість не слід ототожнювати з обгрунтованістю. Такою є психологічна концепція аналогії.

Висновки за аналогією можуть виявитись або правильними, або хибними, тобто мають гіпотетичний характер. Вони потребують спеціального обгрунтування правильности чи хибності за допомогою дедуктивних міркувань (доведень).


Аналогія як логічний метод наукового пізнання широко використовується в математиці та інших науках. Не менш важлива роль аналогії у навчанні математики в школі під час формування понять, навчання доведенню тверджень і розв'язування різних задач.

Використання аналогії під час формування понять сприяе активізації розумовоі діяльності учнів, оскільки, встановивши,що нове поняття аналогічне відомому раніше, учень може припустити збіг властивостей цих понять. Порівняння аналогічних по­нять дає можливість встановити однакові властивості, а також виявити властивості, що не збігаються (наприклад, для понять «числова рівність» і «числова нерівність»). Це сприяє глибшому усвідомленню властивостей нових понять, міцному Їх запам'ятовуванню і запобіганню помилок.

Великі можливосиі використання аналогій під час формування основних понять курсу сте­реометрії. Якщо вчитель вдало спрямовує мислення учнів, то во­ни самостійно встановлюють пари аналогічних понять: коло і сфера, круг і куля, кут і двогранний кут, паралельні прямі і паралельні площини, трикутник і тетраедр, паралелограм і паралелепіпед тощо.


Порівнюючи аналогічні поняття, зручно висновки подати у вигляді таблиці. Наприклад, вивчаючи паралелепіпед, можна запропонувати учням таблицю порівняння його властивостей з властивостями прямокутника і паралелограма

Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює	Квадрат діагоналі прямокутного па-ралелепіпедії
Діагоналі прямокутника рівні	Діагоналі прямокутного паралелепіпедії рівні
Протилежні сторони паралелограма ріВНі ВіДРі3КИ	Протилежш грані паралелепіпедії паралелограми
Діагоналі паралелограма в точці пе­ретину діляться навпш	Діагоналі паралелепіпедії в точці перетину діляться навтл
Протилежні кути паралелограма	Протилежні двогранні кути паралелепіпеда Протилежні тригранні кути паралелепіпедії не рівш

При вивченні лінійних рівнянь і нерівностей з одним невідомим таблиця порівняння відповідного навчального материалу дає можливість краще усвідомити і запам'ятати спільне і відмінне в означеннях, способи розв'язування і множині розв'язків.


Індукція (від лат. - наведения) – форма мислення, за допомогою якої думка на­водиться на яке-небудь загальне твердження, що стосується одиничних предметів певної множини.

Дедукщя (від лат. виведення) - форма мислення, за допомогою якоі від відомого загального твердження переходять до менш загальних або одиничних.

У шкільному курсі математики розрізняють три види індукції (індуктивних умовиводів).


Неповна індукція- міркування від окремого до загаль­ного, тобто умовивід, який грунтується на вивченні властивостей окремих об’ктів певної сукупності і поширюється на всі и об'екти. Наприклад, побудувавши за точками графіки кількох лінійх функцій, учні переконуються, що графіком є пряма лінія. Після цього за індукцією робиться висновок, що графіом будь-якої лінійної функції є пряма лінія. Цей умовивід правильний, хоч і маєхарактер гіпотези, доки в аналітичнній геометрії не буде доведений.

Отже, умовиводи методом неповної індукції лише правдоподібні, тому потребують доведення.


Повна і н д у к ці я - умовивід, у правильності якого переконуються, розглядаючи всі окремі випадки (об'єкти, фігури, числа), що утворюють скінченну множину. Наприклад, доводячи теорему про вимірювання вписаного в коло куга, розглядають всі три окремі випадки (центр кола належить одній із сторон кута, лежить між сторонами, міститься поза кутом). Доведення властивостей показниковоі функції передбачає розгляд всіх можливих випадків належності показника до різних множин чисел (натуральний показник, цілий, дробовий та ірраціональний).

Твердження, що грунтуються на застосуванні повної індукції, завжди правильне, тобто повна індукція є методом доведення.


Математична індукція. Один з найважливших ме­тодов доведення математичних тверджень, який охоплюює нескінчену кількість випадків (залежать від натурального n), грунтується на принципі математичної індукції.


Лекція 6.


Принципи і методи навчання математики.


План лекції.

1. Принципи навчання математики.

2. Методи навчання математики.

3. Самостійна робота учнів.

4. Програмоване навчання.


Важливе завдання. процесу навчання математики в школі домогтися глибокого і міцного засвоєння учнями теоретичних знань: математичних понять, тверджень про їхні властивості (аксіоми, теореми), правил, законів; сформувати навички и уміння застосування теоретичних знань на практиці і оволодіння спо­собами творчої діяльності, досягти глибокого усвідомлення уч­нями світоглядних і морально-етичних цілей. Слід розрізняти поняття «процес навчання» і «процес одержання освіти». Навчання, у тому числі и математики, забезпечує освіту лише за умови його формувального впливу на особистість. М. Г. Чернишевський вважав, що для того щоб людина була освіченою у повному розумінні слова, потрібні три властивості: широкі знання, звичка мислити і шляхетність почуттів.


На сучасному етапі розвитку школи в дидактик навчання трактується як цілеспрямований педагогічний процес організації і стимулювання активної навчально-пізнавальної діяльності учнів для оволодіння науковими знаннями, навичками - уміннями, роз­витку творчих здібностей, світогляду, морально-етичних поглядів і переконань. Процес навчання - двосторонній процес взаємодії між тим, хто вчить, і тим, хто навчається. Нагадаймо, що з курсу педагогіки закономірності процесу навчання, що об'єктивно існують, виступають як основні вимоги до практичної організації навчального процесу. Вони дістали назву дидактичних принципів. У посібнику виділяється вісім дидактичних принців:

1)науковості и ідейно-політехнічної спрямованості;

2) проблемності;

3) наочності;

4) активності и свідомості;

5) доступності;

6) систематичності и послідовності;

7) міцності;

8) єдності освіти, розвитку і виховання.


Зміст цих принципів розкрито в курсі педагогіки. Як самостійну роботу пропонуємо інтерпретувати цей зміст на прикладах навчання математики. Враховуючи, що основна мета загальноосвітньої школи - всебічний розвиток особистості, у процесі нав­чання математики треба спиратися і на дидактичні, і на психологічні принципи розвивального навчання.

Дидактичні принципи розвивального навчання висунув у 60-70-х рр. Л. В. Занков. Він вважав, що не будь-яке навчання створює максимально сприятливі умови для розвитку учнів. Потрібний ретельний добір змісту, методів, організаційних форм і засобів навчання, щоб забезпечити ці умови. При цьому треба враховувати такі важливі дидактичні принципи розвивального на­вчання.


Провідна роль теоретичних знань у процесі навчання мате­матики це означає, що не можна починати формувати уміння, навички застосування математичних знань доти, поки учні не засвоїли основні поняття, твердження, правила, закони, методи.


Навчання швидкими темпами. У досвіді вчителів-новаторів (В. Ф. Шаталов, Р. Г. Хазанкін та ш.) реалізація цього принципу зводиться до вивчення основного теоретичного матеріалу швид­кими темпами на початку ознайомлення з темою, здійснення дійового контролю його засвоєння і звільнення цим самим часу для розв'язування задач. У процесі розв'язування задач теоретичний матеріал повторюється, поглиблюється, закріплюється.

Навчання на високому, але доступному рівні складності. Так само, як спортсмени розвивають свої фізичні можливості на вправах високої складності, учні повинні розвивати мислення, інтелект на навчальних задачах високого рівня складності. Цього принципу стосуються введені ще в 30-х рр. XX ст. психологом Л. С, Виготським поняття зони актуального і зони найближчого розвитку учнів. Учень працює в навчального матеріалу. Проте, як зазначав Л. С. Виготський, треба працювати на завтрашній день учня, тобто працювати в зоні його найближчого розвитку. Це означає, що учень має працювати над навчальними зонами актуального розвитку тоді, коли розв'язує навчальні задачі в межах засвоєного ним задачами, якщо він ще не спроможний розв'язати самостійно, але за незначної допомоги вчителя або своїх товаришів він таким задачам дає раду.

Разом з тим об'єктивним фактом є те, що різні учні мають різні зони актуального найближчого розвитку. Саме тому в умовах класно-урочної системи треба здійснювати рівневу диференціацію, використовувати групові и індивідуальні форми роботи, виділяючи групи учнів, які мають приблизно однаковий рівень загального розвитку, навченості, темпу просування у навчанні, цікавості до математики.

Усвідомлення всіма учнями процесу навчання. Забезпечення цього принципу вимагає від учителя роботи з тими, хто не встигає, з'ясування причин цього та організації своєчасної педагогічної підтримки таких учнів.

Систематична робота вчителя над загальним розвитком усіх учнів, у тому числі и найслабших. У процесі навчання матема­тики передусім передбачається розвиток мислення, оволодіння учнями загальними розумовими діями і прийомами розумової діяльності. Практика дослідження психологів свідчить про те, що основною причиною того, що учні не встигають з математи­ки, є насамперед несформованність дій аналізу, синтезу, порівняння, абстрагування, узагальнення.

Психологічні принципи розвивального навчання:

1. Систематичний розвиток трьох основних видів мис­лення: наочно-дійове (або практичне), наочно-образне і абстрактно-теоретичне.


2. Проблемність навчання. Учень лише тоді включається в пізнавальний процес, виявляє розумову активність, коли стикається з проблемами (питаннями \ задачами), які йому треба розв'язати.


3.Індивідуалізація і диференціація навчально-виховного про­цесу.


4. Цілеспрямоване формування алгоритмічних і евристичних прийомів розумової діяльності.


5. Систематичний розвиток мнемічної діяльності (тобто роз­виток пам'яті) для забезпечення фонду дійових знань.

На думку педіїгога і психолога П. П. Блонського, порожня голова не міркує. Психологи зазначають, що добре розвинена пам'ять - умова розвиненого інтелекту. У процесі навчання математики слід домагатися запам'ятовування учнями основних означень, тверджень, алгоритмів розв'язання ключових задач, озброювати учнів спеціальними мнемічними прийомами, які полегшують запам'ято­вування навчального матеріалу.

Важливою є також спеціальна настанова вчителя на те, що тре­ба вивчити, перевести в довгострокову пам'ять, який материал вивчається для ознайомлення і не потребуе заучування.


Відсутність такого орієнтування призводить або до непотрібного перевантаження пам.'яті учнів за сумлінного ставлення їх до навчання, або до ігнорування того, що треба вивчити, запам'ятати.

Слово «метод» грецького походження і в перекладі означає шлях дослідження, спосіб пізнання.

Під методом навчання в дидактиці розуміють способи навчальної роботи вчителя і організації навчально-пізнавальної діяльності учнів з розв'язування різних дидактичних задач, спрямованих на оволодіння матеріалом, що вивчається.

Крім терміна «метод навчання» в дидактиці є термин «прийом навчання», під яким найчастіше розуміють складову частину або окремий бік методу.


У педагогіці існує різна класифікація методів навчання залежно від вибору основи класифікаціі, а саме: 1).за джерелом здобування знань (словесні, наочні, практичні),

2) за способами організації навчальної діяльності учнів (методи здобування нових знань, ме­тоди формування умінь та навичок і застосування знань на практиці, методи перевірки и оцінювання знань, умінь та навичок),

3)за характером навчально-пізнавальної діяльності учнів:

а) пояснювально-ілюстративний (розповідь,лекщя, пояснения, робота з підручником, демонстрації та інш.);

б) репродуктивний (відтворення знань і способів дій, діяльність за алгоритмом, програмою);

в) проблемний виклад;

г) частково-пошуковий або евристична бесіда;

д) дослідницький метод.

Останні три методи використовують під час проблемного навчання як дидактичноі' системи.

Проілюструємо застосування методів навчання математики за характером навчально-пізнавальної діяльності учнів.


Пояснювально-ілюстративний Цим методом послуговуються, вводячи математичні поняття, вивчаючи аксіоми, теореми способи розв'язування різних класів задач.Наприклад, під час вивчення поняття функції в курсі алгебри 8 класу вчитель наводить приклади залежності між зміними величинами і об'єктами іншої природи, що задані за допомогою формули, графіка, таблиці, і формулює означення функції як за­лежності між змінними, за якої кожному значенню незалежної
зміної відіповідає єдине значения залежної змінної. Вводяться поняття аргумент, область визначення, область значень функци; розв'язуються вправи на відшукання значень функції за даним значенням аргументу. Вводячи поняття функци, вчитель може дати учням історичну довідку про те, що вперше термін«функція» ввів Г. Лейбніц (1646-1716) у XVІІ ст. Перше означення функції сформулював учень і співробітник Лейбнща И. Бернуллі (1667-1748) у 1718р. Більш загальне фактично сучасне означення функції сформулював у 1834 р. М. І. Лобачевський, а трьома роками пізніше - математик і філософ Б. Больцано (1781-1848).
Використовується для закріплення на уроці.

Репродуктивний

Використовують при поясненні нового матеріалу, перевірки домашнього завдання (учні відтворюють розв'язання задач, формулювання і доведення теорем, означення математичних по­нять, правила тощо). На уроках, де формуються уміння і навички розв'язування прикладів, задач, застосування репродуктивного методу виявляється в діяльності учнів під час розв'язування вправ і задач за зразком, який дано вчителем або наведено в підручнику, в діяльності за певним алгоритмом. При цьому діяльність за зразком має проводитись не за вказівкою «роби те, що роблю я», а за порадою «роби так, як роблю я».


Недоліком двох названих методів є те, що вони мало сприяють розвитку продуктивного мислення, пізнавальної активності и самостійності учнів.


Разом з тим недооцінка репродуктивної діяльності учнів призводить до того, що в учнів не забезпечується фонд діцових знань, який є необхідною умовою для можливостей організаціі самостійноі пізнавальної діяльності, розвитку творчого мислення і продуктивноі діяльності.

Наступні три методи проблемного навчання спрямовані на усунення зазначених вище недоліків.

Проблемний виклад як метод навчання математики - полягає в тому, що, пояснюючи на-
вчальний матеріал, учитель сам висуває проблеми і, звичайно, як правило, сам їх розв'язує. Однак постановка проблем посилює увагу учнів, активізує процес сприймання і усвідомлення того, що пояснює вчитель.

Частково-пошуковий метод (його інколи називають евристичною бесідою) полягае в то-
що вчитель заздалегідь готує систему питань, відіповідаючи на які учні самостійноформулюють означення поняття, «відкривають» доведення тео­реми, знаходять спосіб розв'язування задачі.


Дослідницький метод передбачає самостійний пошук розв'язання пізнавальноі задачі. Причому може виявитись потреба, щоб проб­лему сформулював сам учень або и формулює вчитель, але розв'язують учні самостійно.


Метод доцільних задач запропонував наприкінці XІX ст. Шохор-Троцькии. Належить він фактично до методів проблемного навчання. Навчання математики згідно з цим методом здійснюється за допомогою задач. Із задач починається вивчення будь-якої теми, що, природ-

но, забезпечує мотивацію вивчення теоретичного матеріалу. Вивчаючи теоретичний матеріал теми, учні переважно розв'язують задачі. Теореми в геометріі доводять лише ті, які для учнів не є

очевидними, але і не потребують надто тонких міркувань.


Практика засвідчила, що значения методу доцільних задач не можна перебільшувати і додержуватися його формально. По-перше, вивчення не кожної теми доцільно починати з розв'язування задач, по-друге, не можна недооцінювати роль теоретичних знань.


Суть абстрактно-дедуктивного методу навчання полягає в то­му, що під час вивчення нового матеріалу вчитель відразу сам повідомляє означення понять, що вводиться, а потім наводить конкретні приклади об’єктів, що належать до понять. Формулюється и доводиться теорема, і лише після цього розглядаються конкретні приклади застосування нового теоретичного матеріалу.


Конкретно-індуктивний метод навчання протилежний абстракт­но-дедуктивному методу. Під час навчання цим методом пояс­нения нового матеріалу починається з розгляду прикладів. Вико-ристовуючи приклади, учні мають можливість виділити суттеві ознаки поняття, що вводиться. Це допомагає самостійно чи з допомогою вчителя сформулювати означення поняття. Рисунок до теореми діїсть змогу учням виявити властивості зображеноі фігури і самостійно чи з допомогою вчителя сформулювати тео­рему.


Поряд з усним викладом теоретичних знань, пояснениям учи­телем способів розв'язування різних типів задач та колективним їх розв'язуванням значне місце в процесі навчання математики посідає самостійна робота учнів.


До самостійної' роботи можна віднести самостійне вивчення учнями навчального матеріалу на уроці або під час виконання домашнього завдання за підручниками, навчальними посібниками та науково-популярною літературою, самостійне доведення теорем та розв'язування задач, робо­ту в зошитах з друкованою основою, програмоване навчання за допомогою програмованих посібників та персональних комп'ютерів.


Самостійна робота учнів за підручником, навчальними посібниками, науково-популярною літературою - важливий для самоосвіти прийом навчальної роботи, якому необхідно спеціально \ цілеспрямовано навчати учнів як в основній, так і в старшій школі.

Нові знання з математики сприймаються і засвоюються учня­ми з певними труднощами. Тому потрібні поради вчителя щодо роботи над математичним текстом. Вони можуть мати вигляд такого правила-орієнтира.

1. Прочитай уважно текст один чи два рази, виділи головне в ньому (нові поняття, твердження, правила тощо).

2. Склади план прочитаного.

3. Видщи поняття, про які йдеться в тексті. Пригадіїй означен-ня відомих понять і видійи означення нових.

4. Виділи твердження, які доводяться в тексті. З'ясуй, що в них дано, що треба довести. З'ясуй, з яких тверджень складається доведення, за допомогою яких відомих тверджень вони обгрунтовується.

5. Спробуй відіповісти на контрольні запитання. Сформулюй означення нових понять і твердження, які доводились в тексті.

6. Не вдаючись до тексту, виконай потрібні рисунки і відтвори прочитане за планом.


У 5-6 класах треба на прикладі конкретного тексту показати, як виділити головне в тексті і скласти план. Лише після цього можна пропонувати учням виконати таку роботу самостійно.


Програмоване навчання виникло з потреб вдосконалення традиційного навчання і створення кращих умов для реалізації дидактичних принципів навчання.

Термін «програмоване навчання» походить від термінів програмування для ЕОМ і здійснюється за навчальними програмами. У них матеріал, що вивчається, подається послідовними порціями, після засвоєння кожної з яких учням пропонується контрольне запитання або завдання. Перехід до наступної порції допускється лише після ознайомлення з правильною відіповіддю і характером помилки, якої учень припустився.


Існує дві системи програмування навчального матеріалу - лінійні та розгалужені програми.

За лінійною програмою навчальний материал подається невеликими порціями, які включають питания, що стосуються контролю вивченого в цій порції матеріалу. Після відіповіді на запитання учень звіряє її з правильною відіповіддю і переходить до вивчення наступної порції.

У розгалуженій програмі порції навчального матеріалу більші за обсягом. У кінці кожної порції учень відіповідає на запитання, вибираючи правильну відіповідь серед кількох запропонованих. Пропоновані відіповіді складаються з урахуванням можливих помилок, що їх припускаються учні. Якщо учень вибрав правильну відповідь, то його відсилають до сторінки, де викладено нову порцію навчального матеріалу. У разі вибору неправильноі відіповіді учневі пропонують вдатися до сторінки, де пояснюється характер по­милки, ще раз опрацювати попередню порцію і вибрати правильну відіповідь.


В 50-60-х рр. програмоване навчання набуло великої популярності, оскільки давало можливість кожному учневі працювати в міру своїх можливостей і в своєму темпі, тобто створювало сприятливі умови для індивідуалізації навчання. Проте воно зіткнулося з іншою низкою труднощів, пов'язаних передусім з потре­бою створення програмованих посібників, які за обсягом значно перевищували традиційні підручники і фактично приводили до потреби створювати посібники з окремих тем. Поряд з перевага­ми програмоване навчання мало недоліки, пов'язані насамперед з тим, що учні, працюючи індивідуально, ввесь час змушені мовчати, що не сприяєрозвитку їхньої математичної мови. Крім того, учень позбавлений можливості постійно спілкуватися з учителем і товаришами, показувати свої способи міркувань, які не передбачені навчальною програмою.


Саме з цих причин інтерес до програмованого навчання поступово зменшився.

На сучасному етапі розвитку шкільної математичної освіти цікавість до програмованого навчання знову зростає у зв'язку з можливістю використання персональних комп'ютерів, які дають змогу в навчальних програмах враховувати індивідуальні особливості учнів здійснювати навчання в режимі діалогу, ширше використовувати під час пояснения наочність у динаміці.