Лекція Методика навчання математики як наука І як навчальна дисципліна в педвузі

Вид материала

Лекція

Содержание Міжпредметні зв'язки. Реалізувати міжпредметні зв'язки Перший тип орієнтування Другий тип орієнтування Третій тип орієнтування Аналіз - міркування від того, що треба знайти або довести, до того, що дано або встановлено раніше.Син­тез

Подобный материал:

• Навчальна програма з дисципліни «комп’ютерні та інформаційні технології» для студентів, 131.31kb.
• Робоча навчальна програма дисципліни "Країнознавство" для бакалаврів денної форми навчання, 758.1kb.
• В. Д. Бабкін Політологія як наука І навчальна дисципліна, 7022.28kb.
• Рішенням Вченої Ради юридичного факультету від " " 2008 р вступ Навчальна дисципліна, 561.94kb.
• Робоча навчальна програма з дисципліни «комп’ютерні та інформаційні технології» для, 204.08kb.
• Навчальна дисципліна «Адміністративна відповідальність» для студентів іі-го курсу денної, 15.66kb.
• Методика проведення лекційних занять у вищих навчальних закладах в умовах гуманізації, 150.95kb.
• Методика навчання інформатики. Інформатика в школі як навчальний предмет, 638.5kb.
• Курс лекцій для студентів денної І заочної форми навчання спеціальності 050301 „Товарознавство, 1137.66kb.
• 1. Методика як теорія І практика навчання іноземних мов, 190.57kb.

Міжпредметні зв'язки. Зв'язки між елементами знань і умінь з різних навчальних предмета сприяють формуванню всебічно розвиненої творчоі особистості, яка озброєна системними знаннями, загальнонауковими вміннями та навичками і вміє здійснювати міжпредметне перенесення знань и умінь у разі роз­в'язування нових пізнавальних задач.


Міжпредметні зв'язки мають вирішальне значення під час розв'язування проблеми інтеграції і координації навчання.

Інтеграція - це процес і резуль­тат створення нерозривно пов'язаного, єдиного, суцільного. Нині ця проблема актуальна для школи у зв'язку зі створенням інтегрованих курсів (математика з інформатикою, природознавство, суспільствознавство). І в нашій країні, і в зарубіжних систе­мах освіти діївно ставилося завдання створення єдиного інтегрованого курсу математики, не розділенного на предмети - алгеб­ру, геометрію, алгебру і початки аналізу. У Німеччині такий курс існує традиційно. У Болгарії група вчених під керівництвом Б. Сендова вже створила підручники, які інтегрують математику.

Координація - це погодження навчальних програм зі споріднених предметів з погляду єдиного підходу до трактування по­нять, ідей, методів, процесів, явищ і в часі іх вивчення.


Міжпредметні зв'язки реалізуються на основі поєдіїання інтеграці'і і координації знань, які взаємно доповнюються і сприя­ють формуванню в учнів єдиної картини світу, наукового світогляду. Міжпредметні зв'язки спрямовані на озброєння учнів системою знань зі спрощенних предметів: матема­тика - фізика - хімія - біологія - фізична географія - креслення -трудове навчання.


Реалізація міжпредметних зв'язків має здійснюватись передусім шляхом використання математичних ідей і методів, математичного апарату в інших предметах, вивчення в курсі математики навчального матеріалу, який має важливе значення в спрощенних дисциплінах.

Важливо також приділяти достатню увагу тому, як математичні задачі виникають на грунті задач з інших предметів і як метод розв'язування цих математичних задач використовується у ході розв'язування нематематичних задач.

Реалізувати міжпредметні зв'язки під час вивчення математики означає насамперед створити запас математичних моделей, які описують явища і процеси, що вивчаються в різних предметах.

Такими мо­делями є основні поняття математики: величина, число, функція, фігура, рівняння, похідіїа, інтеграл, диференціальне рівняння, ймовірність тощо. Наприклад, похідіїа - це математична модель різних фізичних, хімічних, біологічних понять: швидкості прямолінійного нерівномірного руху, швидкості реакції в хімії, електрорушійної сили, індукції як швидкості зміни магнітного пото­ку, швидкості розмноження бактерій та ін.

До математичних мо­делей прикладіїих задач можна відіїести такі важливі математичні задачі: знайти розв'язок алгебраїчного рівняння, знайти найбільше і найменше значення функції, знайти розв'язок диференціального рівняння, що задовольняє деякій початковій умові, знайти закон розподілу деяких випадкових величин.


Можна виділити основні напрямки зв'язків математики з ф і з и к о ю: величини та їх вимірювання; обчислювальна культу­ра; функції і графіки, похідіїа, інтеграл, диференціальні рівняння; вектори.

Найсуттевіші зв'язки математики з х і м і є ю здійснюються під час розв'язування задач на пропорції, проценти, використання правил наближених обчислень. Аналіз навчально-методично'і лі-тератури і стану викладіїння хімії і фізики в школі і педіїгогічному вузі свідчить про те, що недоліки в обчислювальній культурі пов'язані з наближеними обчисленнями. Тому виникає потреба в тісних зв'язках у роботі вчителів математики, хімії і фізики і, зокрема, у проведенні методичних об'єдіїань із згадіїних питань, участі вчителів в обробці результатів вимірювань і обчислень під час проведення лабораторних робіт і уроків з розв'язування обчислювальних задач.

Слід мати також на увазі, що деякі математичні поняття вводяться на уроках фізики і хімії раніше, ніж на уроках математики. Тому, по-перше, треба забезпечити єдиний підхід до трактування таких понять і, по-друге, спиратися на уроках математики на вже відомі учням знания. Прикладом є поняття стандіїртного вигляду числа. При цьому на уроках фізики і хімії учнів підводять до по­няття стандіїртного вигляду числа по-різному. Зокрема, в § 7 під-ручника хімії йдеться про те, що маса малого легкого атом 27гідрогену становить 0,000000000000000000000000001663 кг, або і,66 •1 0~27 кг, або 1,66 • 10~29 г.


Маса атома оксигену стано­вить 2,66 • і0~26.кг, а маса атома карбону - 2,0 • 10~26 кг. У курсі фізики вже в 7 класі виникає потреба ввести стандіїртний вигляд числа. Проте автори підручника дещо обминають це пи­тания і подіїють його так: найменшу масу має молекула водіїю; її маса дорівнює 0,000 000 000 000 000 000 000 003 3 г,

Часто учні не знають, що обчислення з додіїтними і від'ємними числами виконуються і в ході розв'язування задач з хімії.


Зв'язки математики з кресленням і трудовим навчанням спрямовані на формування графічної грамотності учнів, що відбувається при вивченні циклу предметів - матема­тики, креслення, образотворчого мистецтва, географії, фізики, хімії, трудового навчання та ін. На цих уроках учні ознайомлюються з різними графічними зображеннями: рисунками, кресленнями, ескізами, географічними картами, схемами, графіками, діаграмами тощо. Проте креслення як предмет є базовим і провідіїим ланцюгом у системі графічної подготовки учнів 1-11 класів.

Розв'язуючи задачі на побудову на уроках математики в 5-7 класах, учні набувають перші теоретичні основи графічної гра­мотності. Проте практичні навички і вміння закладіїються і на уроках трудового навчання вже з 1 класу.

На уроках праці провідіїими програмовими знаниями і уміннями, якими учні оволодівають, виготовляючи різні вироби, є геометричні побудови на металі, деревині, тканині (розмітка). Що до вивчення систематичного курсу геометрії на уроках праці учні ділять коло на 6, 12 рівних частин, будують рівносторонні трикутники, для побудови і перевірки прямих кутів послуговуються слюсарним кутником, використовуючи діагоналі прямокутника, ознайомлюються з поняттям масштабу, дістають уявлення про циліндр, конус.

Починаючи з 5 класу, на уроках праці учні виконують і «читають» креслення, схеми, ескізи, технічні рисунки, вчаться про-ставляти розміри деталей.

Під час вивчення курсу геометрії потрібно спиратися на знан­ня и уміння, одержані на уроках праці.

Вже на перших уроках креслення у 8 класі увага учнів звертається на те, що наочні зображення, виконані від руки на око,без точного дотримання розмірів предмета, називаються технічним рисунком, що лінії, паралельні між собою на предметі в натурі, залишаються паралельними і на наочному зображенні. Ці зауваження стосуються також геометричного ри­сунка і подготовкою до вивчення властивостей паралельної проекції в курсі і0 класу та правил зображення просторових фігур на площині.


Важливим напрямком зв'язку геометрії і креслення є єдиний підхід до використання ліній і позначення букв, розмірів фігур відіповідіїо до чинних стандіїртів Єдиноі системи конструкторськоі документації .


Зв'язки математики з географією можуть здійснюватись у кількох напрямках. Предмет «географія» вивчається, починаючи з 6 класу, і в його змісті є кілька понять, які тісно пов'язані зі спорідненими поняттями курсу математики 5-6 класів і вивчаються раніше. Досить вдіїло вводиться означення масштабу в підручнику географії: масштабом називається дріб, у якого чисельник - одиниця, а знаменник - число, що вказує, у скільки разів відстань на плані менша, ніж на самій місцевості. Цей вид масштабу називають числовим .

Це означення можна використати і на уроках математики. У географії вводяться и поняття лінійного масштабу, іменованого масштабу, відіїосно'і и абсолютноії висоти. Останні два поняття доцільно використати, вводячи від'ємні числа.

Наприклад, відіїосний рівень (висота) води в Діїіпрі може виражатись як додіїтнім, так і від'ємним числом.

Вчитель математики може скористатися прикладом географічних координат, вводячи в 6 класі поняття про прямокутну систему координат, хоча в географи маємо не прямі, а кола, які в разі перетину визначають положення точки на сфері.


Лекція 5.


Діяльнісний підхід у навчанні математики.


План лекції.

1. Вихідні положення концепції навчальної діяльності.

2. Діяльнісний підхід до організації навчання математики.

3. Основні типи орієнтування в завданні.

4. Аналіз,синтез, порівняння, протиставлення, протиставлення, абстрагування,аналогія.

Основна теза діяльнісного підходу в розвитку особистості полягає в тому, що людина виявляє властивості і зв'язки елементів реального світу лише в процесі і на основі різних видів діяльності (предметної, розумової, індивідуальної, колективної та інш.)


У навчальній діяльності, як і в будь-якій іншій, виділяються три компоненти: і) мотиви і навчальні задачі; 2) навчальні діі; 3) дії кон­тролю и оцінювання знань школярів.


Навчальну діяльність не можна звести до жодного з цих ком­понентів. Повноцінна навчальна діяльність завжди є єдністю взаємопроникненням всіх цих трьох компонентів. В учнів треба виховувати певне ставлення до знань, навчальні мотиви. Завдяки цьому знання и уміння набудуть для них особливого смислу, стануть для них внутрішнімм надбанням.

Учень добре усвідомлює лише те, що виступає як прямий предмет і як мета його діяльності. Тому свідомість учніння передбачає, з одного боку, виконання школярами відповідних дій з навчальним матеріалом (а не просто його спостереження і прослуховування), а з іншого - перетворення матеріалу, що засвоюється, на пряму мету цих дій, тобто на розв'язування навчальних задач.

Знання і уміння, у тому числі з математики, свідомо засвоюються лише тоді, коли учень з діяльності, що виконується, і результатів добуває інформацію про істотні властивості ре­ального світу, зокрема про кількісні і просторові його форми.


Активно формування навчальноі діяльності веде до суттєвих змін в особистості учня, в його свідомості, інтелектуальному і моральному розвитку, тобто сприяє становленню учня як суб'єкта діяльності, як індивідуальності.

Інтелектуальний розвиток відбувається у процесі засвоєння учнями знань і способів діяльності, орієнтирів діяльності.


Відіповідно до теорії поетапного формування розумових дій виділяють три основні типи орієнтування в завданні.

Перший тип орієнтування: учням дається зразок дії і називається ії результат, але без вказівок, як виконувати цю дію. Вчи­тель, який працює за цим типом орієнтовної| основи дії, сам, по суті, програмує багато помилок учнів у діях, що виконуються. Тому йому доводиться більше займатися переучуванням, доучуванням, ніж правильним навчанням.

Другий тип орієнтування: учню даються всі вказівки, як пра­вильно виконувати дії або завдання, тобто дається готовий алго­ритм дій. За дотримування вказівок алгоритму навчання відбу-

вається без великоі кількості помилок і швидше, ніж у разі першого типу орієнтування.


Третій тип орієнтування передбачає навчання не стільки спосо­бу дій у конкретній ситуації, скільки аналізу ситуації. Вчитель спеціально організовує з учнями поглиблений аналіз розв'язання задачі: вони самостійно складають узагальнену схему або алгоритм розв'язання. Учитель обирає типову опорну задачу або дві задачі з того чи шшого класу задач, розв'язувати які треба навчити учнів, і залучає їх до розв'язування конкретної задачі.


Після цього аналізується процес розв'язування, розділяються істотнє і неістотнє в розв'язанні, в умові задачі, складіїється алгоритм або правило-орієнтир. Це діїе змогу учням усвідомити особливості класу задач і принцип варіації неістотного. Останнє діїе можливють перенести спосіб розв'язування в нові умови.


Наведемо приклад.

В 7 класі можна ознайомити учнів з мето­дом від супротивного під час доведення теорем і розв'язування задач на доведення на прикладі розв'язування однієї-двох задач (або задачі і теореми). Під керівництвом учипісля учні колективно виділяють суттєві спільні етапи доведення. Формулюється правило-орієнтир методу: щоб довести твердження методом від су­противного, слід:

1) припустити супротивне тому, що треба дове­сти;


2) скориставшись припущенням, відомими аксіомами і доведеними раніше твердженнями, міркуваннями дійти висновку, який суперечить або умові твердження, що доводиться, або відомим аксіомам, або доведеному раніше твердженню, або припущенню;


3) зробити висновок, що припущення - неправильне, а пра­вильно те, що треба довести.


Відтак дається орієнтир можливого використання методу: неможливість чого-небудь, единість чого-небудь в математиці зав­жди доводиться методом від супротивного. Цим методом інколи доводять обернені твердження.

Відповідно до діяльнісного підходу етапи засвоєння знань розглядаються разом з етапами засвоєння діяльності. Знання із самого початку включаються в структуру дій. Якість знань у цьому разі визначається їхньою адекватністю діяльності, що ви­користовується для їх засвоєння. На думку Н. Ф. Тализіноі, знан­ня ніколи не можна дати в готовому вигляді, вони завжди засвоюються через включення їх в ту чи іншу діяльність.


Розумові дії класифікуються за різними основами.


Якщо розглядати дії за ступенем використання їх в різних галузях людськоі діяльності, то можна виділити загальні дії, що використовуються в усіх галузях знань (наприклад, аналіз, синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), і специфічні дії, які характерні для тієі чи іншої галузі знань. Наприклад, дія підведення підпоняття и обернена дія - виведення наслідків (із факту належності, наприклад, трикутника до поняття «рівнобедрений трикутник», випливають його властивості).

Одним з реальних шляхів підвищення ефективності навчання і розвитку учнів є ретельний аналіз різних видів навчальноі діяльності з метою виділення розумових і практичних дій, які входять до їхнього складу, та попереднє навчання учнів кожній з цих дій. Практика навчання свідчить, що особливістю пізнавальноі діяльності учнів, які слабко встигають з математики, є несформованість загальних і специфічних розумових дій та прийомів розумової діяльності. Саме вони становлять механізм мислення і цим механізмом учні повинні оволодівати у процесі навчальної

діяльності.


Діяльнісний підхід до організації навчання математики вимагає також, щоб учень під час вивчення навчального матеріалу здійснив повний цикл пізнавальних дій, а саме: сприйняв навчальний матеріал, усвідомив його, запам'ятав, потренувався в застосуванні знань на практиці, а відтак здійснив наступну діяльність - повторення, поглиблення і міцніше засвоєння цього матеріалу. Тому, розробляючи методику вивчення кожної теми програми, слід передбачити максимально сприятливі умови для організації пізнавальних дій, які всі загалом і забезпечують оволодіння учнями програмовим матеріалом.


Аналіз (від грецьк. - розкладння, аналіз і синтез розчленування, розбір) і синтез (від грецьк.

- з'єднання, складння, об'єднання) - взаємообернені дії, складові процесу мислення. Цими термінами називають також і реальне розчленування або з'єднання матеріальних об’ктів, подій, явищ, сполучення речовин з метою детального їх дослідження.

У методиці навчання математики аналіз використовується під час розв'язування задач і доведення теорем, коли у формулюванні задачі або теореми розчленовуються умови і вимоги, виділяються величини або фігури, про які йдеться в задачі або теоремі, елементи фігури або інші фігури, що входять до складу даної, виділяються етапи розв'язування задачі тощо. Вживаються також терміни: «аналіз уроку», коли виділяються його складові частини для з'ясування, чи досягнуто на уроці поставлених цілей; «аналіз контрольноі робота», коли ставиться завданння виділити типові помилки, яких припустилися учні, і здійснити корекцію знань і умінь.


У реальній розумовій діяльності аналіз і синтез нерозривно пов'язані. Особливо яскраво це спостерігається під час розв'язування задач і доведення теорем. Виділяють у зв'язку з цим важливу форму анализу - аналіз, який здійснюється через синтез, і називають його «основним нервом будь-якої розумовоі діяльності». Суть його полягає в тому, що об'єкт у процесі мислення включається в дедалі нові зв'язки і в силу цього виступає щоразу за нові якості, які фіксуються в нових поняттях; з об'екта, таким чином, ніби видобувається дедалі новий зміст, він ніби повертається кожного разу іншим боком, у ньому виявляються щоразу нові властивості.


Аналіз через синтез як прийом розумової діяльності інколи називають «прийомом переосмислення елементів задачі». Цьому прийому корисно цілеспрямовано навчати учнів.

У методиці навчання математики аналізом і синтезом традиційно називають також дві протилежні щодо розвитку думки міркування, якими послуговуються під час розв'язування задач і доведення теорем.

Аналіз - міркування від того, що треба знайти або довести, до того, що дано або встановлено раніше.


Син­тез - міркування, що проводиться у зворотному напрямку.


Порівняння - це розумова дія, спрямована на порівняння виділення спільного і відмінного в предметах і явищах. Порівняння починається з співвідношення предметів або явищ, тобто із синтезу, а далі відбувається аналіз об’ктів, що порівнюються, виділення в них спільного (однакового і відмінного). Виділене завдяки аналізу суттеве спільне об'еднує, тобто синтезуе об'екти. Цим самим здійснюється узагальнення. Порівняння - обов'язкова умова абстрагування і узагальнення. Тому ще К. Д. Ушинський вва-жав, що порівняння – основа будь-якого розуміння мислення, основна умова продуктивності мислення, а отже, и будь-якоі аналітико-синтетичної діяльності.

Видійяються дві форми порівняння - зіставлення і протиставлення.


3іставлення - це розумова дія, спрямована на виділення суттєвих ознак, спільних для деяких об’ктів.


Протиставлення спрямоване на виділення відміного, несуттєвого, від чого можна відволікатися.

Порівняння виконується лише в сукупності однорідних об’ктів, які утворюють певний клас.


Наприклад, вводячи поняття «паралельні прямі», у планіметрії розглядають можливі поло­ження двох прямих на площині. Порівнюючи різні пари прямих, учні з'ясовують, що пари мають суттеве спільне -вони перетинаються. Для інших пар суттевим спільним є те, що вони не перетинаються, а несуттєвим - відстань між прямими,( положення на площині :горизонтальні, розташовані вертикально, під певним кутом).


Абстрагування - розумова дія, спрямована на виділення в предметах і явищах суттєвого і відокремлення несуттєвого в них. Ре­зультатом абстрагування, як правило, є абстракції - образи, створені людським розумом.


Термін «абстракція» вживається також для позначення методу наукового дослідження під час вивчення певних об’ктів, явищ, процесів, коли не враховуються їхні неістотні сторони ознаки. Це дає змогу спростити картину явища, що розглядається, і вивчати його ніби в «чистому вигляді». Наприклад, такі геометричні фігури, як точка, пряма, площина, виявились продуктом абстра­гування від властивостей реально існуючих об'єктів, від яких вони походять: товщина (прямої, площини), розміри (точки). Ра­зом з тим властивості прямих, точок (математичних абстракцій) використовують для розв'язування реальних практичних задач з реальними об'єктами.


Під узагальненням часто розуміють знаходження спільного в заданих предметах і явищах.

На думку С. Л. Рубшштейна, узагаль­нення - практично значиме і науково виправдане — це не ви­ділення взагалі яких-небудь спільних властивостей, у котрих предмета або явища схожі між собою, незалежно від того, що це за властивості; наукове узагальнення включає не взагалі власти­вості, спільні або схожі для певних явищ, а властивості, істотні для них.

Під істотними розуміють такі спільні власти­вості, які не можна відокремити від певного класу предмета. Во­ни однозначно відрізняють будь-який предмет даного класу від предмета цих класів. У логіці під істотними розуміють такі незалежні ознаки об'екта, кожна з яких ї необхідною, а всі разом — достатніми для того, щоб він належав до даного поняття. Напри­клад, сприймаючи поняття «зовнішній кут трикутника», учні повинні виділити в запропонованому наочному матеріалі (рисунках) ознаку, спільну для всіх зовнішніх кутів трикутників - бу­ти суміжним внутрішньому куту, і неістотніми, якими відрізняються зовншні кути трикутника (величина кута, розташування трикут­ника).


Узагальненнями послуговуються в різних видах навчально-пізнавальноі діяльності під час вивчення математики: формуючи поняття, доводячи теореми, розв'язуючи задачі. Тому навчити прийомів правильного узагальнення - одне з найважливших завдань. Необхідною умовою формування правильних узагальнень є варіювання неістотних ознак понять, властивостей, фактів за ста-

лості істотніх понять.

У практиці навчання математики використовуються в основ­ному два прийоми узагальнення залежно від напряму ходу думки.

Перший прийом - учні зіставляють задані об'єкти (наприклад, фігури в геометрії, вирази, формули, рівняння в алгебрі), виділяють і формулюють їхні суттеві спільні ознаки, залишаючи осторонь несуттеві (абстрагуючись від них), і об'єднують об'єкти за цими ознаками (узагальнюють). При цьому учням невідомі загальні істотні ознаки, вони виявляють їх самостійно.


Другий прийом - учні знають, які суттеві сшльні ознаки треба виявити, тому із даних об’ктів вони виділяють ті, які відіповідають змісту поняття, що формується, зіставляючи, виділяючи в кожному об'єкті ці ознаки, і об'єднують об'єкти за суттевими спільними ознаками.


Узагальнення під час доведення теорем полягає в тому, що доведена теорема, наприклад про властивість даного рівнобедреного трикутника, поширюється на всі равнобедрені трикутники. Якщо учень не може довести теорему, коли трикутник розміщено на площині інакше і змінено букви для позначення, то це означае, що узагальнення не відбулося, і доведення сприйняте формально.

Узагальнення теорем відбувається і за змістом. Наприклад, теорема косинусів є узагальненням теореми Піфагора. Можливе узагальнення і задач.