Общий метод решения сюжетных задач состоит в моделировании их в виде уравнений или систем уравнений (а также неравенств и систем неравенств)
| Вид материала | Документы |
- Защита изображений на основе решения систем диофантовых уравнений и неравенств, 31.25kb.
- Методические рекомендации к проведению урока: «Методы решения уравнений и неравенств., 15.21kb.
- Задачи курса : расширить представления обучающихся о приемах и методах решения уравнений, 223.2kb.
- Практических: 0 Лабораторных:, 21.53kb.
- Элективный курс по математике, 37.2kb.
- Тема: «Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и системы», 199.57kb.
- Элективный курс «Решение уравнений и неравенств» Класс: 11 Профиль класса: общеобразовательный, 47.74kb.
- Доклад: «Численный метод решения уравнений, неравенств и их систем», 43.14kb.
- Методика классификации и решения задач с параметрами в курсе средней школы. Уравнения, 18.27kb.
- Лекция 1, 259.64kb.
Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей. – М.: Школьная Пресса, 2002. С. 20–51.
Сюжетные задачи в русских методических руководствах
Общий метод решения сюжетных задач состоит в моделировании их в виде уравнений или систем уравнений (а также неравенств и систем неравенств). Но этот общий метод начал внедряться в школьное обучение лишь в последние десятилетия. А до этого в обучении применялись разные, часто весьма изощренные методы решения задач, без использования буквенной символики, которые обычно называют «арифметическими методами».
Однако арифметические методы легко используются для задач, моделью которых являются уравнения или системы уравнений первой степени. Если же моделью сюжетной задачи является уравнение более высокой степени, то арифметическое ее решение весьма сложно. Это обстоятельство дало повод известному русскому методисту А.И. Гольденбергу (1837–1902) разбить все сюжетные задачи на «арифметические» и «алгебраические» (14). В этой классификации задач по виду уравнений, к которым они приводятся, видно влияние идей В.А. Евтушевского (1836–1888) и А. Глазырина (26).
Уточняя это разбиение, И.И. Александров (1856–1919) установил, что искусственными арифметическими приемами могут быть решены лишь те задачи «алгебраического типа», которые сводятся к уравнениям или системам первой степени. Но так как уравнения в курс арифметики, которая была предметом начальной школы, до последнего времени не входили, то задачи «алгебраического типа» решались искусственными приемами. Недаром в настоящее время курс математики, изучаемый в начальной школе, стали называть не арифметикой, как это было раньше, а математикой. Для того чтобы облегчить учащимся эту трудную работу, эти задачи распределялись в курсе арифметики по «типам», по способу их решения, поэтому, в отличие от обычных сюжетных задач, они назывались типовыми.
Но так как по тексту задачи трудно выяснить, каким способом или приемом можно воспользоваться при ее решении, т.е. к какому типу она относится, то школьникам приходилось заучивать для каждого типа правило решения соответствующих задач.
Этот вопрос был подробно рассмотрен в классической работе И.И. Александрова «Методы решения арифметических задач», изданной в 1886 г. Основные идеи книги таковы:
- «никоим образом не следует классифицировать задачи в зависимости от тех предметов и действий, о которых говорит задача»;
- «решение уравнений первой степени не представляет специфического метода алгебры и всегда может быть переведено в чисто арифметическое соображение и арифметический язык.
Вообще, обособление методов алгебры от методов геометрии и арифметики, а также нарочитое предпочтение одного метода другим является крупнейшей ошибкой. Все эти методы, как развивающиеся, несомненно, из одного источника, должны помогать развитию предмета, а не задерживать его» (1, с. 5);
- «при решении задач различными методами предпочтительнее выбирать тот, который распространяется на более широкий круг задач. С этой точки зрения для задач, приводящих к уравнениям первой степени, предпочтительнее арифметический метод их решения, ибо есть целый ряд задач, которые легче решаются арифметически, чем алгебраически, а есть такие, которые и вовсе недоступны алгебре, хотя не представляют трудности для арифметики. Кроме того, арифметические решения задач хороши тем, что они одинаково доступны всем – ребенку и юноше, малообразованному человеку и глубокому ученому» (там же; с. 6);
- «арифметические задачи ближе к геометрическим задачам на построение, чем к алгебре; те и другие следует классифицировать по методам их решения, а не по уравнениям, к которым они приводятся» (там же, с. 12).
Далее автор пишет: «Арифметической задачей называется вопрос, взятый из какой угодно области и разрешимый счетом или четырьмя арифметическими действиями... Все арифметические задачи можно разделить на три класса, из которых каждый делится на два вида» (там же, с. 14).
В задачах первого вида прямо указаны действия, приводящие к решению задачи, и порядок их выполнения; в задачах второго вида то и другое указано косвенно.
К первому классу автор относит арифметические задачи, решаемые одним из четырех приемов: 1 – приведением к единице; 2 – приведением к общей мере; 3 – обратного приведения к единице; 4 – приемом отношений.
Ко втором классу относятся задачи, решаемые методом обратности (т.е. задачи, «решаемые с конца»).
К третьему классу относятся задачи: а) решаемые одним из приемов исключения неизвестных; б) одним из методов пропорциональности; в) одним из методов ее преобразования.
Заметим, что таких методов очень много (И.И. Александров указал более 10), и правила решения всех этих типов задач бедным ученикам приходилось удерживать в своей памяти. Но автор успокаивает тем, что «не существует задач первой степени, взятых из какой угодно области, которые не решались разобранными здесь способами» (там же, с. 45).
Для изящества решения автор приводит еще такие приемы решения: метод среднего арифметического; метод приведения данных в порядок, яснее обнаруживающий неизвестное; метод остатков; метод метатезиса (перестановки неизвестного и известного) и метод фальшивых правил.
Анализируя классификацию задач И.И. Александрова, Г.Б. Поляк подчеркивает следующие ее недостатки: 1) нечеткое разграничение методов; 2) она не дает основания для расположения задач по степени возрастания трудности их решения – единственного оправдания классификации задач по методам их решения (46).
Присоединяясь к мнению Г.Б. Поляка, надо, по-моему, добавить еще следующее:
1. Принцип классификации задач по методам их решения является сугубо субъективным и не диктуется объективным содержанием самих задач.
2. Автор доказал, что все сюжетные задачи, модель которых после свертывания приводится к уравнению или системе уравнений первой степени, могут быть решены «арифметически», но отнюдь не доказал целесообразность и эффективность такого решения. Все задачи, которые, по мнению автора, «недоступны алгебре», естественно, решаются арифметически. Сложность «алгебраического» решения по сравнению с «арифметическим» в некоторых случаях – кажущаяся.
3. Тезис автора о наибольшей массовости и доступности «арифметического» метода решения задач противоречит современной практике массовости и доступности «алгебраического» метода.
4. Тезис о том, что арифметика ближе к конструктивной геометрии, чем к алгебре, по крайней мере спорен, так как ничем не обоснован.
Мы столь подробно останавливаемся на классификации И.И. Александрова, так как она на многие годы определила подход к сюжетным задачам. Спустя 65 лет после выхода его книги В.Г. Чичигин писал: «В настоящее время наибольшее распространение имеет классификация задач по способам решения их (56, с. 298). Ту же мысль высказывают С.А. Гастева и другие авторы.
Между тем разбиение сюжетных задач на типы издавна подвергалось критике со стороны ведущих методистов-математиков.
Так, П.С. Гурьев (1807–1884) скептически относился к их познавательной ценности (18). В.А. Латышев (1850–1912) считал, что они сковывают активность и самостоятельность учащихся, по этому поводу он писал: «Кого всегда тащат на помочах, тот не сумеет ходить сам без поддержки». А.И. Гольденберг восставал против правил, коими «рутина освобождает учащихся от необходимости мыслить» (14). С.И. Шохор-Троцкий (1853–1923) возмущался хитросплетениями трудностей в типовых задачах, «не проникнутых единой руководящей идеей». Разбиение задач на типы по методам их решения он считал антипедагогичным (57). Особое значение он придавал простым арифметическим задачам, солидаризуясь с мнением Ф.В. Гуде: «Простые арифметические задачи составляют фундамент решения арифметических задач, точно так же, как таблицы сложения и умножения однозначных чисел составляют фундамент арифметических вычислений» (17, с. 117). С.И. Шохор-Троцкий требует сужения границ сюжетных задач в курсе арифметики до «чисто арифметических задач», которые он разбивает на простые (прямые и косвенные) и составные (приведенные и неприведенные), уточняя соответствующие понятия, введенные И.И. Александровым.
Под действием критики число типовых задач в стабильных учебниках постепенно уменьшалось, но они продолжали оставаться вплоть до последнего времени. При этом некоторые авторы предпочитали пресловутый «метод показа», оставляя ученика без нужных ориентиров и указаний один на один с типовой задачей. Рассмотрим, как решался вопрос о месте сюжетных задач в школьном курсе математики в методических пособиях.
Исторически выработался следующий порядок изучения нового материала по математике в начальных классах: 1) выработка новых знаний в ходе решения предметных задач; 2) их закрепление в ходе решения отвлеченных примеров; 3) их приложение к решению конкретных сюжетных задач. Этот подход соответствует психологии ребенка, который раньше спрашивает почему?, а потом уже зачем? Он соответствует педагогическим целям: сначала воспитать у ребенка стремление к познанию, любознательность, а затем уже – практицизм.
В примерах некоторые предлагали делать ставку на изучение чисел (А.Б. Грубе, В.А. Евтушевский), другие – на изучение действий (А. Дистерверг, П.С. Гурьев, А.И. Гольденберг), третьи требовали ориентировки на измерение величин (К.Д. Ушинский, Д.Д. Галанин, а в наше время – В.В. Давыдов).
С.И. Шохор-Троцкий противопоставлял свой метод «целесообразных задач» методу изучения чисел, считал, что изучение действий является не методом, а целью обучения. Сюжетные задачи служат не для приложения знаний, а для их выработки. Они пронизывают весь курс математики. Они должны быть подобраны и расположены сообразно с целями курса и не должны быть очень трудными и очень легкими. «Прежде чем учить детей производству арифметических действий, должно уяснить саму необходимость действий и их право на существование, их цель и внутренний смысл. А все это возможно сделать на базе практических текстовых (сюжетных) задач» (57, с. 41).
С.И. Шохор-Троцкий считает, что «склонность к отвлеченному мышлению – привилегия немногих». Он считал, что к логическому мышлению неспособны школьники моложе 14–15 лет, что сообразуется со взглядами Пиаже. Его душе мил «лабораторный метод» в духе Перри, распространенный в то время в Западной Европе и Америке (68).
«Метод целесообразных задач» С.И. Шохор-Троцкого – это реализация в арифметике и геометрии принципа активности Жакото (1770–1840) и принципа историзма и практицизма Ж. Массе (1819–1894). Приведем соответствующие формулировки этих выдающихся французских педагогов в переводе С.И. Шохор-Троцкого:
а) «Учить других чему-либо – значит показать ученикам своим, что они должны сделать для того, чтобы самим тому научиться, чему их хотят научить» (Жакото).
б) «...Весь долгий путь развития человечества каждый раз повторяется во всяком ребенке... Первый человек, которому пришлось сделать арифметическое вычисление, начал не с общих правил, изложенных в учебных книжках. Вполне очевидно, что прежде всего он встретился лицом к лицу с практической задачей, из трудности которой он мог выйти победителем, лишь пустив в ход все орудия своего ума, и, только пустив в ход все пружины своего ума, он мог добраться до правила. При этом он работал вовсе не ради самого процесса работы, не ради самого искусства.
Заставлять поэтому ребенка начинать с общих правил, определений и отвлеченностей – это значит идти против естественного хода развития человеческого ума, который у ребенка находится на такой же ступени, на которой он находится в период детского возраста человеческого рода...
И главное: чего мы достигнем таким образом?
Мы достигнем того, что ум ребенка, оскорбленный столь жестоким с ним обращением, всеми своими силами сопротивляется преждевременным отвлеченностям и что только память его работает для начального нагружения себя массою слов и навыков, смысл которых от нее непременно ускользнул.
Истинный метод обучения арифметике состоит в том, чтобы поставить ум ребенка в условия, приличествующие начальному периоду развития его, и в том, чтобы ребенок присутствовал, так сказать, при самом изобретении арифметики» (Ж. Массе).
Мысли, аналогичные только что изложенным, задолго до Жакото и Массе были высказаны Клеро (1713–1765), а после них – Д. Дьюи (1859–1952) и А. Пуанкаре (1854–1912). Они явились основой прагматической педагогики. В них очень много истинного и разумного, они созвучны идеям проблемного обучения.
Однако подход С.И. Шохор-Троцкого вызывает и некоторые возражения.
1. Как отмечает один из почитателей С.И. Шохор-Троцкого – В.А. Латышев (1850–1912), термин «метод» также неудачен для обозначения его концепции, как и для обозначения концепций Грубе и Дистервега.
2. Возражая С.И. Шохор-Троцкому, А.И. Гольденберг в своих «Беседах по счислению» пишет: «Прежде чем решать задачу, надо знать и уметь производить действия над числами, а также помнить необходимые табличные результаты. Решение задач, как бы просты они ни были, потребует со стороны малышей некоторой умственной деятельности: им предстоит из предложенной задачи выделить ее арифметическое содержание, т.е. тот числовой вопрос, который облачен в форму весьма замысловатого рассказа. Подобная же умственная процедура является в данном случае нарушением педагогического принципа, высказанного еще Яном Амосом Коменским, чтобы за раз всегда преодолевалось только по одной трудности».
Отсюда видно, что А.И. Гольденберг считает необходимым знакомить детей с механизмом вычислений на примерах и только потом, когда они на примерах усвоят производство действий, переходить к задачам.
«Шохор-Троцкий и Егоров, придавая особое значение задачам, до известной степени затемнили значение самого метода изучения действий; задачи в их понимании являются как бы самоцелью» (14, с. 25).
Действительно, сюжетная задача – задача описательная и для своего решения она должна быть перемоделирована в арифметический пример, который ученики уже должны уметь решать. Как же тогда можно решать текстовые задачи до примеров? Разумеется, примерам должны предшествовать учебные предметные задачи, которые дети решают, манипулируя самыми заданными предметами.
Точки зрения А.И. Гольденберга придерживался также и Ф.А. Эрн, а в наше время – Н.А. Менчинская и М.И. Моро. Слабым местом этих авторов является недостаточное внимание, уделяемое ими предметным задачам. Этого недостатка чужда работа И.Н. Кавуна.
Ближе к С.И. Шохор-Троцкому стоит Н.Н. Никитин, предусматривающий такой порядок изучения задач и примеров: предметные и текстовые задачи, примеры. Мы столь подробно рассмотрели творчество С.И. Шохор-Троцкого ввиду его громадного влияния на последующие поколения методистов. Трудно переоценить значение его принципа обучения через задачи, классификации арифметических задач, указания по поводу наглядных пособий и особенно по поводу использования прямой; требования разбиения курса на методически резко обособленные ступени; требование в начале компактно изложить основные идеи арифметики и лишь затем детализировать и закруглять их; требование смежно располагать родственные разделы курса; принцип, согласно которому «задачи и примеры, прорабатываемые учащимися вместе с учителем и под его руководством, должны быть резко отделены от задач и примеров, прорабатываемых ими без помощи учителя, хотя бы даже в его присутствии: цель первых – учить, цель вторых – упражнять в усвоенном и подготавливать учащихся к предстоящим занятиям» (58, с. 16); требования тесной связи методики преподавания математики с педагогической психологией.
Важность всех этих идей несомненна.
Выдающимся событием в эволюции рассматриваемого вопроса было появление в 1946 г. статьи И.В. Арнольда (1906–1988) «Принципы отбора и составления арифметических задач».
1. Автор порывает с концепцией С.И. Шохор-Троцкого и формулирует три цели изучения арифметических задач: а) приложение к практике приобретенных математических знаний; б) ознакомление с зависимостями между величинами; в) ориентировка в математической ситуации (3, с. 7).
2. Так как миллионам учащихся придется иметь дело с каждой задачей, то следует предъявлять авторам сборников упражнений жесткие требования по отбору и составлению текстовых задач.
«Авторы задач, в идеале, должны были бы ответить на вопросы такого типа, как:
– Какую цель преследует данная задача? Какие именно моменты «математического» обучения, воспитания и тренировки мысли имеются в виду? Необходимо ли именно эту задачу поместить в сборнике для этих целей? Почему именно такие, а не другие конкретные величины, именно такая, а не иная фабула задачи выбраны? Почему такие, а не другие числовые данные выбраны? Отвечают ли они реальной обстановке, в которой могло бы понадобиться решать такую задачу? Интересна ли фабула задачи для учащихся, увлекательна ли, естественна ли постановка вопроса, вызывает ли она у учащихся интерес к ответу или способу решения: чем именно? Нельзя ли повысить этот интерес? Когда именно ученик сможет самостоятельно решить данную задачу? Что для этого должен он помнить, знать, уметь, представлять себе?
А если он не сможет этого сделать, то о чем это свидетельствует? Чем и в какой степени должен помочь учитель ему и что он должен добиться от учащегося?
Как эта задача связана с предшествующей и последующей работой ученика, почему она помещена в этом месте сборника, а не в другом? и т.п.» (3, с. 9).
Прошло полвека после того, как были сказаны эти замечательные слова, но приходится констатировать, что мы очень мало продвинулись к идеалу И.В. Арнольда.
3. Далее автор пишет, что фабула текстовых задач и выбор числовых данных должны быть естественными, жизненными, интересными. Перед тем как составлять сборник задач, нужно составить специальный справочник научно-технического материала, имеющего общеобразовательный характер и доступного для детей, своего рода «мир в числах» (различные числовые характеристики: скорость, грузоподъемность, размеры, потребление горючего, урожайность, различные числовые характеристики из физики, химии, географии и т.д.).
4. Автор настаивает на том, чтобы понятие «величины» стало руководящим принципом анализа и классификации арифметических задач. Ни в коем случае нельзя классифицировать задачи по их алгебраической структуре (или числу действий). Например, в одно действие 3–1=2 решается 30 задач разной степени сложности, связанных с различными конкретными ситуациями.
Классифицировать задачи надо по соотношениям значений одной или нескольких величин, характеризующих явление, описываемое в данной задаче. Заметим, что до И.В. Арнольда Д.Н. Воронов положил понятие «соотношение» («отношение») в основу классификации простых задач. Но вместо соотношения между значениями величин, он положил в основу отношения между числами, которых он насчитывает три: 1) разностные (10 видов); 2) кратные (11 видов); 3) целого и частей (13).
Исходя из этой точки зрения, И.В. Арнольд разбивает все текстовые задачи на две категории:
А. Задачи, описывающие явления, характеризуемые одной величиной.
Б. Задачи, описывающие явления, характеризуемые несколькими величинами.
Задачи первой категории автор разбивает на группы по следующим соотношениям значений величины: 1) равенства и неравенства; 2) разностного сравнения; 3) простого изменения; 4) кратного изменения; 5) деления на равные части; 6) целого и частей целого; 7) кратного сравнения (деления по содержанию); 8) перехода от одной единицы измерения к другой и т.д. Всего автор перечисляет 12 групп (3, с. 24–25).
Также разбиение задач первой категории на группы нельзя признать удачным: методически необоснованно ни число групп, ни их порядок, не отражены случаи объединения двух множеств в одно и изъятие части множества. Еще хуже обстоит дело с классификацией задач второй категории (3, с. 25–27). Таким образом, реализация сформулированного им же принципа И.В. Арнольду не удалась.
5. Отвергая концепцию С.И. Шохор-Троцкого о месте текстовых задач в обучении и принцип классификации И.И. Александрова, И.В. Арнольд солидарен с ними в арифметическом подходе к решению текстовых задач. Он пишет: «Самый метод «арифметического решения задач» отличается от алгебраических приемов, в первую очередь, тем, что на всех стадиях рассуждения все противопоставления и производимые действия допускают совершенно наглядное и конкретное осмысливание в области тех величин, о которых идет речь» (3, с. 16).
Например, задачи, решаемые арифметическим способом предположения, раскрывают психологическую предпосылку решения задач способом составления уравнений – бэконовскую индукцию причинной обусловленности. Этот ценный момент будет утерян, если сразу перейти к алгебраическому решению задач (3, с. 18).
6. Автора не удовлетворяют алгебраические критерии разбиения текстовых задач на арифметические и алгебраические. Он пытается сформулировать неалгебраический критерий такого разбиения: «Арифметическим способом, – говорит он, – лучше решать задачи: а) у которых переход от известного к неизвестному проще, чем переход от неизвестного к известному; б) которые допускают свернутое решение» (3, с 17).
Но возникают следующие вопросы: а) как объективно оценить простоту перехода; б) является ли педагогически целесообразным свернутое решение задач до их развернутого решения? Своего рода дополнением к положениям И.В. Арнольда можно считать сформулированные В.М. Брадисом семь критериев полноценности решения задачи: 1) безошибочность; 2) обоснованность; 3) исчерпывающий характер; 4) простота; 5) ясность пути, приведшего к решению задачи; 6) рациональность записи; 7) завершающее обобщение решения.
Первые три требования к решению задач являются обязательными, последние четыре – весьма желательными (8, с. 68–69).
В работе И.В. Арнольда в неявном виде идет речь о синтетическом и аналитическом приемах составления плана решения сюжетных задач. Первый прием состоит в том, что условия сложной сюжетной задачи разбиваются на простые, идя от условий задачи, т.е. от того, что нам известно, а второй прием разбиения задачи на простые производится, идя от вопроса задачи.
В первом случае мы вычленяем из задачи два данных и устанавливаем, что можно узнать по ним. Тем самым задача упрощается, так как эти два данных мы заменяем одним результатом решения первой простой задачи. Этот прием применяем последовательно до тех пор, пока не получим такую простую задачу, решением которой является ответ на вопрос задачи.
При аналитическом пути решения мы задаемся таким вопросом: какие два данных нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи? Потом мы задаемся вопросом: какие два данных надо знать, чтобы найти первое из данных, указанных в первом вопросе? Затем, какие два данных требуется знать, чтобы найти второе из данных, указанных в первом вопросе? И такое рассуждение продолжаем до тех пор, пока не придем к тем данным, которые заданы в самой задаче.
С.Е. Ляпин указывает, «что в любом случае наши рассуждения при решении задач являются сложными и самый процесс мышления протекает как аналитико-синтетический. Действительно, когда мы при анализе идем от вопроса задачи и подбираем к нему данные, то эти данные намечаем не абстрактно, а исходя из условия, из представления о задаче в целом, т.е. пользуемся синтезом, наоборот, начав рассуждения с синтеза, т.е. остановившись на некоторой паре данных и подобрав к ней вопрос, мы затем проверяем, ведет ли намеченная комбинация к решению основного вопроса задачи» (33, с. 206).
В практике обучения используются оба эти пути решения составных сюжетных задач, но обычно предпочтение отдается синтетическому приему, так как аналитический прием в чистом виде, как правило, более труден для учащихся.
Покажем на примере применения синтетического и аналитического приемов решения составных сюжетных задач.
Задача. Торговка купила 3 корзины ягод по 10 фунтов в каждой. Фунт ягод она покупала по 3 коп., переложивши все ягоды в меньшие корзины по 5 фунтов в каждую, она продала каждую корзину по 24 коп. Сколько прибыли получила торговка от продажи всех ягод?
Решение.
1. Синтетический прием
| Если мы знаем | То можем узнать | Решение |
| 1. Что куплено 3 корзины ягод и что в каждой корзине было по 10 ф. | Сколько фунтов ягод было в трех корзинах? | 10 х 3 = 30ф. |
| 2. Что куплено 30 ф. ягод и что каждый фунт был куплен по 3 коп. | Сколько торговка заплатила за все ягоды? | 3 x 30 = 90 коп. |
| 3. Что все 30 ф. ягод торговка переложила в корзины по 5 ф. в каждую. | Сколько у нее получилось корзин? | 30 : 5 = 6 корзин |
| 4. Что было 6 корзин и что каждая продавалась по 24 коп. | Сколько денег получила торговка за все ягоды? | 24 x 6 = 144 коп. |
| 5. Что купила торговка ягоды за 90 коп., а продала за 144 коп. | Сколько она получила прибыли? | 144 – 90 = 54 коп. |
2. Аналитический прием
| Чтобы узнать | Надо определить | Решение |
| 1. Сколько прибыли получила торговка? | 1) За сколько коп. она купила все ягоды? 2) За сколько она их продала? | 144 – 90 = 54 коп. |
| 2. За сколько торговка купила все ягоды? | 1) Сколько фунтов ягод она купила? 2) Почем она покупала один фунт ягод? (3 коп.) | 3 х 30 = 90 коп. |
| 3. Сколько фунтов ягод купила торговка? | 1) Сколько куплено ею корзин? (3 шт.) 2) Сколько было фунтов ягод в каждой корзине? | 10 х 3 = 30 фунтов |
| 4. За сколько торговка продала все ягоды? | 1) Сколько было продано корзин? 2) Почем продавалась каждая корзина? (24коп.) | 24 х 6 = 144 коп. |
| 5. Сколько было продано корзин? | 1) Сколько фунтов ягод было положено в каждую корзину7 (5 ф.) 2) Сколько было фунтов ягод? (30 ф.) | 30 : 5 = 6 корзин |
Примечание. Третий столбик (решение) заполняется, идя снизу вверх.
В заключение рассмотрим, как в методических руководствах решался вопрос о классификации простых задач. Этому вопросу всегда уделялось большое внимание. Но почти все методисты – И.Н. Кавун, Н.М. Попова, Г.Б. Поляк, А.М. Пчелко, Е.С. Березанская и др. шли в фарватере идеи И.И. Александрова о классификации задач по методам их решения, по «тем приемам рассуждений, которые приводят к выбору действий» (41, с. 24), оставляя в стороне анализ содержания самих задач. В отличие от них, И.В. Арнольд исходил именно из анализа содержания задачи, к сожалению, впадая в другую крайность. Если И.И. Александрова интересует лишь субъективный аспект вопроса, то И.В. Арнольд беспокоится только об объективном аспекте. Оба впадают в крайность, так как задача есть категория объективно-субъективная. Важны и анализ содержания, и приемы рассуждения, обусловливающие метод решения.
Ранее уже было сказано о неоптимальном изложении И.В. Арнольдом своей классификации задач. Этого недостатка лишена классификация простых задач, предложенная Л.Н. Скаткиным в 1949 г. Она состоит из двух таблиц – для операций первой ступени (12 видов) и операций второй ступени (12 видов). В каждой таблице имеются четыре основные задачи, каждой из которых соответствуют две обратные, образованные из основной путем обмена искомого с каждым из двух данных.
Основные задачи первой ступени базируются на следующих соотношениях: 1) объединение двух совокупностей в одну; 2) изъятие из совокупности ее части; 3) сопоставление двух совокупностей.
Этим соотношениям соответствуют действия: 1) нахождение суммы двух чисел; 2) нахождение остатка; 3) нахождение разности, т.е. определение того: а) на сколько одно число больше другого; б) на сколько одно число меньше другого. Вторая таблица составляется по аналогии с первой, но здесь не приведены соотношения, являющиеся базой соответствующих действий. Это обстоятельство дало повод многим критикам упрекать Л.Н. Скаткина в формализме.
В заключение Л.Н. Скаткин пишет: «Значение этой классификации заключается в том, что она дает возможность обеспечить подбор задач разнообразных видов для решения их учащимися. Пользуясь этой классификацией, можно установить, каких видов задач недостает в сборниках арифметических задач, применяемых в школах с тем, чтобы восполнить обнаруженные пробелы... Классификация указывает связь между задачами разных видов, что дает возможность наметить методически правильный путь обучения детей решению более трудных из простых задач» (53, с. 21).
Сравнивая классификацию Л.Н. Скаткина с классификацией И.В. Арнольда, обнаруживаем:
1) у И.В. Арнольда отсутствуют соотношения соединения и изъятия совокупностей, которые имеются у Л.Н. Скаткина; 2) у Л.Н. Скаткина отсутствуют соотношения изменения (разностного и кратного), кратного сопоставления, целого и части, перехода от одной единицы измерения к другой, которые имеются у И.В. Арнольда; 3) Л.Н. Скаткина интересует не только объективный, но и субъективный аспекты вопроса, зато И.В. Арнольд последователен в своем объективном анализе содержания задач не только первой, но и второй ступеней; 4) очень важна постановка вопроса о связи между видами задач, однако нельзя здесь ограничиваться лишь связями между прямыми и обратными задачами, как это имеет место у Л.Н. Скаткина; 5) очень существенна постановка вопроса о полноте классификации простых задач (в первую очередь, для составителей учебных пособий для начальной школы), но, к сожалению, рассмотренные классификации являются неполными.
Идеи Л.Н. Скаткина о важности аналогии и противопоставления в системе задач были подхвачены П.М. Эрдниевым и всесторонне им раскрыты к различным областям школьного курса математики (59).
Таким образом, главный упрек, который можно поставить Л.Н. Скаткину, – это неполнота классификации и непоследовательное проведение идеи И.В. Арнольда о величине как руководящем принципе анализа и классификации задач.
Хотя автор данного пособия полностью солидарен с исходными положениями Н.А. Принцева: 1) от предметных задач через примеры к сюжетным задачам; 2) классификация простых задач должна быть простой, она должна исходить из анализа содержания и учитывать приемы решения (48), но нельзя согласиться с его мнением, что классификация Н.Н. Никитина удовлетворяет этим требованиям лучше, чем классификация Л.Н. Скаткина. По первому пункту Н.Н. Никитин занимает диаметрально противоположную позицию, придерживаясь концепции С.И. Шохор-Троцкого; по второму пункту оба автора учитывают как объективный, так и субъективный аспекты вопроса, но Л.Н. Скаткин идет от объективного анализа задач к субъективному методу их решения, в то время как Н.Н. Никитин занимает противоположную позицию. Классификация обоих авторов неполна; у обоих – неполное раскрытие связей между отдельными видами задачи (у каждого в своем роде).
Как видим, многие вопросы методики сюжетных задач до сих пор не получили должного внимания. По нашему наблюдению, все это объясняется тем, что авторы методических пособий при решения тех или иных вопросов не опирались на достаточно разработанную теорию задач, а исходили из своей практики и практики других учителей, что, конечно, недостаточно для решения сложных вопросов, связанных с использованием сюжетных задач в школьном курсе математики. В следующей части этой книги он попытался изложить разработанную им теорию сюжетных задач, на основе которой можно будет более обоснованно решать все затронутые здесь вопросы. А пока рассмотрим очень важный и болезненный вопрос об использовании уравнений и систем уравнений для решения сюжетных задач.