Общий метод решения сюжетных задач состоит в моделировании их в виде уравнений или систем уравнений (а также неравенств и систем неравенств)
| Вид материала | Документы |
- Защита изображений на основе решения систем диофантовых уравнений и неравенств, 31.25kb.
- Методические рекомендации к проведению урока: «Методы решения уравнений и неравенств., 15.21kb.
- Задачи курса : расширить представления обучающихся о приемах и методах решения уравнений, 223.2kb.
- Практических: 0 Лабораторных:, 21.53kb.
- Элективный курс по математике, 37.2kb.
- Тема: «Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и системы», 199.57kb.
- Элективный курс «Решение уравнений и неравенств» Класс: 11 Профиль класса: общеобразовательный, 47.74kb.
- Доклад: «Численный метод решения уравнений, неравенств и их систем», 43.14kb.
- Методика классификации и решения задач с параметрами в курсе средней школы. Уравнения, 18.27kb.
- Лекция 1, 259.64kb.
Из истории борьбы за внедрение в курс математики
аналитических сюжетных задач
Еще на заре цивилизации, в школе Пифагора (571–479 до н.э.), возник дерзкий замысел сделать математические методы универсальным средством для решения всех естественно-научных задач. Но тогда этот замысел был обречен на провал в силу недостаточного уровня развития как естествознания, так и самих математических методов, так как алгебра и анализ находились лишь в зачаточном состоянии.
В Средние века этот замысел с новой силой был возрожден Р. Бэконом (1214–1294) «предвестником опытной науки новых времен». В центре опытной науки, по Бэкону, находятся физико-математические знания. Вообще, все науки основаны на математике и их истины имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены числом и мерой, т.е. в математической форме. Математика в философских воззрениях Бэкона является азбукой всей натуральной философии, т.е. всего естествознания» (50).
Взгляды Р. Бэкона оказали огромное влияние на мыслителей последующих столетий, формируясь как механико-математическая концепция в трудах Н.Кузанского (1401–1464), Леонардо да Винчи (1452–1519), Гоббса (1588–1679), Декарта (1596–1650), Спинозы (1633–1677), Локка (1632–1704), Ньютона (1648–1723), Лейбница (1646–1716), Эйлера (1707–1783), Канта (1724–1804).
Эту концепцию хорошо иллюстрируют слова Канта: «Я утверждаю, что в каждой отдельной естественной науке можно найти собственную науку лишь постольку, поскольку в ней можно найти математику».
Лишь Гегель (1770–1831) сумел преодолеть крайности этой концепции, подчеркивая ограниченность сферы применения современных ему математических методов. Но уже к тому времени сфера применения этих методов была довольно обширной и благодаря развитию алгебры и анализа дерзкий замысел древних был частично осуществлен, причем Декарт и Ньютон придали идеям древних более четкую форму.
Исходя из положения Р. Бэкона о том, что математика – азбука естествознания, и близкая мысль Галилея о том, что природа говорит математическим языком, в своих «Правилах для руководства ума» Декарт стремился дать универсальный метод решения задач. Он считал, что ко всем задачам может быть применена следующая схема:
Первое – задачи любого вида сводятся к математическим задачам.
Второе – математические задачи любого вида сводятся к алгебраическим.
Третье – любая алгебраическая задача сводится к решению одного-единственного уравнения.
«С течением времени сам Декарт должен был признать, что имеются случаи, когда его схема является непригодной. Но тем не менее в намерении, положенном в основу схемы Декарта, можно усмотреть нечто глубоко правильное. Однако претворить это намерение в жизнь оказалось очень трудно... Проект Декарта потерпел неудачу, однако это был великий проект и, даже оставаясь нереализованным, он оказал большее влияние на науку, чем тысячи мелких проектов, в том числе таких, которые удалось реализовать. Хотя схема Декарта и неприменима во всех без исключения случаях, она пригодна для огромного множества их, которое включает неисчерпаемое разнообразие случаев.
И когда ученик средней школы собирается решать «словесную задачу» при помощи «системы уравнений», он следует схеме Декарта и готов к серьезному применению лежащей в ее основе универсальной идеи» (44, с. 45–46).
Будем сюжетные задачи, для которых метод Декарта оптимально эффективен, называть аналитическими.
Следует отметить, что идея решения задач с помощью уравнений связана не только с именем Декарта. По этому поводу уместно привести слова В.Ф. Кагана: «Вообще, всякая тенденция связать глубокую идею, широкий замысел с одним определенным лицом как с родоначальником этой идеи обычно по меньшей мере рискованна. Идеи широкого замысла не родятся из головы Юпитера – легендарного бога – или даже знаменитого философа.
Они всегда представляют собой результат эволюции, обыкновенно продолжительной, часто очень разветвленной. И вряд ли можно указать такой замысел, такую научную концепцию, связываемую с тем или иным ученым или философом в качестве ее родоначальника, следов, зачатков, начал которой нельзя было найти гораздо раньше, задолго до того, как она была отчетливо сформулирована, которому ее склонны приписывать».
Наметки идеи Декарта мы встречаем уже в египетских папирусах и вавилонских клинописных табличках; в китайских «Девяти книгах» и в книгах индийских математиков Брамагупты и Бхаскары, у греков – Архимеда и Диофанта, у арабов – аль-Хорезми и Омара Хайяма, в знаменитой «Книге об абаке» Леонарда Фибоначчи и в не менее знаменитом «Введении в аналитическое искусство» Ф. Виета.
Но все это не умаляет значения Декарта в развитии аналитического метода решения задач. Перескажем кратко суть этого метода.
1. Приступая к решению задачи, тщательно проанализируйте ее. Что требуется найти или доказать? Что дано? Какая зависимость между данным и искомым? Пусть перечень данных и зависимостей будет полным и детальным, пусть в нем ничего не будет упущено из виду. Принимай за истинно данное лишь интуитивно ясное и логически доказанное, если же условие довольно сложно, дели его на части до тех пор, пока оно не станет ясным для тебя. Чтобы затем воссоздать в своем представлении условие задачи в целом, соблюдай порядок в рассуждении, иди от простого к сложному, от легкого к трудному, от интуиции к логике. А если задача не поддается анализу, не приступай к ее решению, не действуй вслепую. Но мобилизуй все свои значения, весь свой опыт для проникновения в суть задачи, сосредоточь все свое внимание на фактах, о которых в ней говорится до тех пор, пока не достигнешь ясного их понимания и при этом исследуй все по порядку, не опуская «мелочей».
2. Когда предварительный анализ закончен, «когда мы хорошо понимаем вопрос, надо освободить его от всех излишних представлений, свести его к кратчайшим элементам», сведя сложную задачу к ряду простых. Для освобождения от излишних и создания нужных представлений хорошо служат буквенные символы и чертеж. Именно они позволяют создать модель задачи, в которой известные и неизвестные выступают как равноправные члены. Для создания таких моделей надо перевести зависимость между реальными величинами на язык четырех арифметических действий, для чего нужно хорошо знать их предметную основу – операции над отрезками. Проделывая всю эту работу, надо «испытывать правильность каждого шага, принимая лишь то, что усматривается с полной ясностью или выводится с полной достоверностью».
3. Символическая буквенная модель текстовой задачи, таким образом, будет сведена к системе уравнений, смысл каждого из которых сводится к выражению одного и того же значения некоторой величины двумя разными способами. Чтобы задача имела определенное решение, нужно иметь столько уравнений, сколько в задаче неизвестных.
4. Исследуй решение задачи, если хочешь извлечь из нее пользу. Пройдя путь, брось «взгляд назад», интуитивный и дедуктивный (19; 20).
Таким образом, мы видим, что уже в трудах Декарта имеется целая система методических указаний по решению текстовых аналитических задач. К сожалению, эти указания, за небольшим исключением, долгое время оставались неизвестными широкому кругу учителей, так как о них ничего не говорилось в методических руководствах. Только после выхода книг Д. Пойя эти указания в его пересказе стали известны учителям и методистам (43, 44).
Положение Декарта о том, что для уяснения данных и их зависимостей надо дробить задачу на более мелкие и простые части, Б. Паскаль (1623–1662) дополнил указанием: «Заменяй термины их определениями».
И. Ньютон в своей «Всеобщей Арифметике» посвящает методике решения аналитических задач две главы: «О проведении вопроса к уравнению» и «О приложении уравнений к геометрическим вопросам». В первой из них он выдвигает следующие методические идеи:
1. К решению задач на составление уравнений можно приступать, лишь имея солидный опыт по тождественным преобразованиям алгебраических выражений и решению уравнений.
2. Приступая к решению текстовой задачи, надо предварительно выяснить: аналитична ли она, т.е. возможно ли все данные и зависимости задачи перевести на алгебраический язык.
3. Текстовые задачи делятся на две большие группы: а) допускающие синхронный перевод с естественного языка на алгебраический (или параллельную запись частей текста и соответствующих им алгебраических выражений); б) не допускающих синхронного перевода. В последнем случае бывает необходимо перефразировать текст задачи, «придерживаясь больше смысла слов, чем их буквы. В языках различных народов имеются свои особые выражения, идиомы, и если они встречаются, то переводить их на другой язык нужно не буквально, а по смыслу».
Надо подчеркнуть, что синхронный перевод преобладает «при решении задач, относящихся лишь к числам или к отвлеченным отношениям величин».
4. Изучение задач – искусство; главный метод обучения здесь – показ; «искусство гораздо легче изучать при помощи примеров, чем при помощи предписаний» (41, с. 79–82).
И. Ньютон показывает, как решать задачи, почти на восьмидесяти примерах.
- Решение задач по большей части «тем быстрее и искуснее, чем меньше вы вводите неизвестных величин» (см.: там же, с. 80).
- Для решения задач «трудно дать общие предписания, и каждый должен ... следовать указаниям собственного разума, я пытаюсь все же указать путь начинающим. Это следовать Правилам Декарта» (см.: там же, с. 103–106).
Мы видим, что Ньютон дополняет методические указания Декарта пятью новыми положениями. К сожалению, широкому кругу учителей они до сих пор мало известны.
В течение двух столетий методика решения аналитических задач почти исчерпывалась указаниями, которые можно найти у Декарта и Ньютона, причем разные авторы ограничивались лишь отдельными указаниями великих мыслителей, игнорируя другие указания или выступая против них.
В общем, применяемая в школах методика решения аналитических задач была сведена к следующей схеме:
1. Обозначь искомое буквой.
2. Допустив, что эта буква – ответ на вопрос задачи, производи над ней и над данными те же действия, которые мы производили бы, проверяя уже решенную задачу.
Это первое общее правило – «Правило проверки Лакруа».
3. При этом мы должны всегда иметь в виду, что цель наших действий – выразить одно и то же значение некоторой величины двумя различными способами.
Это второе общее правило – «Правило уравнивания».
4. Наряду с этим нужно помнить, что научить решению задач можно путем показа многочисленных образцов неродственных задач – методы показа.
Нетрудно видеть, что первое общее правило – следствие правил Декарта. Второе общее правило – часть правила Декарта, а метод показа – это пятое положение Ньютона, даже взятые все вместе эти правила не исчерпывают Декарта и Ньютона. Но именно так поступали авторы большинства методических пособий.
Н.Е. Муравьев, автор первого руководства по алгебре на русском языке – «Начальные основания математики» (СПб., 1752), ограничился методом показа на 42-х примерах.
Безу в своем «Курсе математики» (переведенном на русский язык в 1801 г.) ограничился первым общим правилом.
Фуссе в своих «Начальных основаниях алгебры, извлеченных из алгебры Л. Эйлера» (СПб., 1798), ограничился вторым общим правилом.
Первое и второе правила и метод показа являются производными из метода Декарта – Ньютона.
Исходными характеристиками этого метода являются:
1) перевод описания реального явления с естественного языка на аналитический, независимый от того, какие значения величин, описывающих это явление, известны, а какие – нет;
2) свертывание аналитической модели текстовой задачи к оптимальному виду – уравнению – и его решение; 3) обратный перевод ответа с аналитического языка на естественный.
Наряду с общими правилами, вытекающими из этих указаний Декарта и Ньютона, в их трудах имеются и явно ошибочные методические указания. Так, условие Декарта: чтобы задача имела определенное решение, надо иметь столько уравнений, сколько в задаче неизвестных, не является ни необходимым, ни достаточным, так как задача может иметь определенное решение даже тогда, когда число неизвестных больше числа уравнений. Несостоятельна также и рекомендация Ньютона вводить минимальное число неизвестных, особенно на первых порах формирования умения решать аналитические задачи.
Не будучи едиными в использовании производных характеристик метода Декарта – Ньютона, методисты алгебры были едиными в игнорировании его исходных положений и в признании правильными вышеупомянутых ошибочных указаний. Все это привело к тому, что составление уравнений по условию задач стало узким местом в методике обучения математике. Методисты стали искать выход из создавшегося тупика.
Оригинальная попытка в этом направлении была сделана В. Евтушевским и А. Глазыриным в их «Методике подготовительного курса алгебры». В дидактических целях они предлагали располагать текстовые задачи в порядке усложнения соответствующих уравнений (26). В советское время эта идея была возрождена Н. Островским (42) и развита А.Н. Барсуковым (4).
Однако реализация идей А.Н. Барсукова в стабильных учебниках 50–60-х гг. (5, 31) не привела и не могла привести к желанным результатам. Причинами тому были:
1. Надежды, возлагаемые на арифметическую пропедевтику и несовершенство алгебраической, оказались тщетными, несмотря на большую работу, проведенную в этом направлении и, несомненно, имеющую некоторое положительное значение.
2. Авторы отказались от основных положений метода Декарта – Ньютона и тем самым лишили учащихся всяких общих ориентиров по составлению уравнений, кроме метода показа, который, собственно говоря, и не является методом.
3. Авторы классифицировали текстовые задачи не по исходным признакам, что более естественно, а по окончательному виду уравнения, что, конечно, является искусственным признаком, так как окончательное уравнение может быть не адекватно условию задачи.
К.П. Сикорский по этому поводу сказал: «Классификация задач по виду уравнения – самая ненадежная и спорная классификация» (52, с. 42).
После 50-х гг. методисты начинают обращать большее внимание на исходные указания метода Декарта – Ньютона. «Трудностью для учащихся является процесс перевода условия на язык алгебры», – пишет М. Змиева (27, с. 62). На этом вопросе акцентируют свое внимание С.С. Бронштейн (11, с. 110, 117), Д. Майергойз (34, с. 43), И.К. Браун (10, с. 49–54) и др. Наиболее полно этот вопрос позднее был рассмотрен в работах Д. Пойя (43; 44).
В то время указанная трудность усугублялась тем, что «ученик, получив некоторые навыки в составлении формул реальных зависимостей в начале VI класса, на протяжении почти целого года не упражнялся в них и приходил к составлению уравнений в VII классе слабо подготовленным» (27, с. 62).
Для преодоления этой дополнительной трудности и ликвидации разрыва между разделами «Буквенные обозначения» и «Решение задач методом уравнений» А.Н. Барсуков и М.И. Змиева перебрасывают между ними мостик – «Систему подготовительных упражнений для каждого (промежуточного) раздела» по формированию навыков перевода описания реальных зависимостей с естественного языка на язык алгебры и наоборот. «Эти упражнения не были посторонним материалом в указанных разделах, а помогали учащимся видеть на практике применение тождественных преобразований» (27, с. 63).
В этом, несомненно, и заключалась ценность работ А.Н. Барсукова и др. А несовершенство алгебраической пропедевтики А.Н. Барсукова (4) состояло в том, что не уделялось должное внимание буквенным подстановкам и исключению параметров. Этот пробел был ликвидирован В.Л. Гончаровым (15).
И.К. Браун особо подчеркивает важность расположения текстовых задач по мере возрастания трудности перевода их условия на язык алгебры. Сложным задачам должны предшествовать «прозрачные», в которых «само условие уже подсказывает и составление уравнения: уравнение как бы пишется «под диктовку» (10, с. 58).
Сложные же задачи требуют либо знания зависимостей, не упомянутых в условии, либо расшифровки специальных терминов условия, либо перегруппировки частей условия. Нетрудно видеть, что Браун полностью следует третьему положению Ньютона. Аналогичную позицию занимает Д. Пойя, возрождая ньютоновский параллельный перевод с естественного языка на язык алгебры (43, с. 18), а также К.П. Сикорский (52, с. 41, 42).
В 1935 г. вышла в свет «Методика алгебры» С.С. Бронштейна, которая оказала большое влияние на дальнейшее развитие рассматриваемой проблемы. Автор считал, что составление уравнений по условию задачи так трудно для учащихся потому, что:
1) им трудно переключиться от арифметического к алгебраическому способу решения задач;
2) алгебраическая пропедевтика несовершенна, нет достаточного количества разнообразных упражнений на перевод реальных зависимостей с естественного языка на алгебраический. «А между тем перевод словесного текста на математический язык – одна из основных целей обучения математике в средней школе» (11, с. 110);
3) учащиеся зачастую лишены ориентировочной основы действий по составлению уравнений, ибо многие методисты отрицают общий принцип составления уравнений, ограничиваясь пресловутым «методом показа»;
4) ненужное усложнение мыслительной деятельности учащихся по составлению уравнений вносит соблюдение принципа минимальности числа уравнений и числа неизвестных (положение Ньютона).
С.С. Бронштейн пишет: «Главная трудность заключается в составлении уравнений, а не в решении их. Большинство задач на составление уравнений естественнее и проще приводятся к составлению системы; решение их составлением одного уравнения требует навыка и вызывается не необходимостью, а часто погоней за так называемым изящным решением» (см.: там же, с. 117).
Этот разрыв с ошибочной ньютоновской традицией должен был привести к переориентировке на исходные положения метода Декарта – Ньютона, к отказу от субъективизма в умственной деятельности по составлению аналитической модели задачи и к переходу к объективному отражению в модели содержания задачи.
Так на практике и поступает С.С. Бронштейн, давая образцы составления уравнений по условию задач и навлекая на себя нападки методистов за неизящество процесса составления уравнений (4, с. 189-193).
Конечно, его модели еще не совершенны, но они ценны своей полнотой и употреблением общепринятых в науке букв для обозначения величин. С.С. Бронштейн действует как эмпирик, и как эмпирик применяет его метод четверть века спустя В.П. Моденов, различающий в текстовой задаче основные и дополнительные условия (37, с. 46).
В то же время С.С. Бронштейн цепляется за традиционное второе общее правило в худшем его варианте: начинать решение не с выяснения и обозначения искомого, а с выяснения вопроса: «Какие две величины равны друг другу по условию задачи? Это центральный вопрос в задачах на составление уравнений» (11, с. 111). Автор повторяет здесь высказанную до него мысль Н. Островского: «Процесс получения уравнения для всякой задачи начинается с выяснения конечной цели – смыслового значения обеих частей уравнения» (42, с. 83). Именно этот принцип в методике Бронштейна – наиболее уязвимое место и именно он больше всего был подвергнут справедливой критике. Вместо того чтобы, используя объективный критерий – вопрос задачи и благодаря ему при составлении аналитической модели текста получить уравнения, не заботясь на первых порах о том, какой вид примет эта модель после ее сворачивания, этот принцип с порога требует ответа на вопрос: какой будет модель текста после ее сворачивания, какие величины будут уравнены? Решающему остается ориентироваться на свой субъективный опыт, на свою догадку.
Автор не допустил бы этой ошибки, если бы вместо указанного принципа снабдил бы образцы решения методическими указаниями в духе П. Сердобольской:
Приступая к решению аналитической задачи, надо:
1. «Четко указать величины, участвующие в задаче».
2. «Четко указать функциональную зависимость между ними».
Уметь записывать эту зависимость в виде уравнений и неравенств, используя для обозначения величин общепринятые в науке буквы. Это дает возможность составить аналитическую модель, адекватную условию задачи.
3. «Уметь наиболее рациональным путем использовать формулу функциональной зависимости для определения любой величины, входящей в формулу, какая требуется»для сворачивания модели к оптимальному виду (51, с. 29).Аналогичные рекомендации мы позднее встречаем у И.И. Дырченко (25, с. 47).
С.С. Бронштейн дает такой стратегический план решения задач: «1) уяснение условия задачи; 2) составление плана, т.е. изыскание пути от искомого к данным (анализ); 3) выполнение плана, т.е. путь от данного к искомому (синтез); 4) проверка» (11, с. 115, 116), причем проверка понимается широко, как всестороннее исследование задачи после ее решения.
Спустя много лет этот стратегический план был детализирован и конкретизирован в знаменитой работе Д. Пойя «Как решать задачу».
Пойя использовал указания, содержащиеся в трудах Декарта, Паскаля, Ньютона, Паппа и даже народные пословицы (45, с. 99–102).
Методические указания по решению задач Д. Пойя относятся к решению задач любым способом, а не только аналитическим, поэтому мы их рассмотрим в другом месте.
Значительным событием в истории вопроса об аналитическом решении текстовых задач был выход в свет сборника статей «Решение задач в средней школе» под общей редакцией Н.Н. Никитина в 1952 г. Из этого сборника наибольший интерес для нас представляют статьи И.Г. Польского (45) и Н.Ф. Добрыниной (24), посвященные решению аналитических текстовых задач.
Методические рекомендации И.Г. Польского заключаются в следующем:
1. Аналитические задачи должно быть разбиты на группы по содержанию и на подгруппы по степени трудности.
2. Решению задач каждой группы должно предшествовать изучение функциональной зависимости величин, описывающих соответствующее явление. «Эта функциональная зависимость фиксируется в виде равенства (т.е. формулы. – Л.Ф.), причем величины лучше всего обозначить общепринятыми в науке буквами».
3. Решению задач каждой группы должна предшествовать тренировка в тождественных преобразованиях алгебраических выражений, характерных для уравнений, к которым приводят задачи данной группы.
4. Составление плана задачи заключается в ее расчленении на элементарные зависимости между величинами и в записи этих зависимостей в виде равенств.
5. Осуществление плана решения состоит из трех шагов:
Первый шаг – выбор основной неизвестной величины (обычно одного из искомых) и выбор единиц измерения для всех величин, участвующих в задаче.
Второй шаг – заполнение таблицы: а) записываем выражение для неизвестной величины; б) затем числовые значения известных величин; в) и, наконец, составляем выражения для оставшихся величин, зависящих от известных и неизвестных – назовем их «третьими величинами».
Третий шаг – составление уравнения осуществляется почти механически, так как «сама запись нужного нам уравнения является актом, логически вытекающим из проделанного разбора и сделанных записей. А именно: после упомянутых выше записей обычно остается одна неиспользованная числовая данная, однородная с величинами, называемыми «третьими». Вот эту оставшуюся числовую данную мы помещаем в правой части уравнения; в левой же части пишем выражение, составленное из «третьих» величин и равное правой части».
Свою методику И.Г. Польский иллюстрирует на примере:
Поезд идет от А к В со скоростью 30 км/ч и обратно со скоростью 28 км/ч, затрачивая на путь туда и обратно 14,5 ч. Каково расстояние от А до В?
1. План – речь идет о двух прямолинейных равномерных движениях, которым соответствует зависимость S = vt.
2. Выбор основного неизвестного – S – расстояние от А до В.
3. Составление таблицы:
| Этап составления | Величина | Единица измерения | Путь от А до В | Путь от В до А |
| а) запись неизвестных | путь | км | S | S |
| б) запись известных | скорость | км/ч | 30 | 28 |
| в) запись «третьих величин» | время | ч | S/30 | S/28 |