Лекция 1

Вид материала

Лекция

Содержание Электромагнитное взаимодействие У электронщиков всего 3 элемента и все они используются по назначению. 1 правило – алгебраическая сумма токов, втекающих в данный узел, равна 0. Василь Иваныч, а что такое квадратный трёхчлен?

Подобный материал:

• «Социальная стратификация и социальная мобильность», 46.19kb.
• Первая лекция. Введение 6 Вторая лекция, 30.95kb.
• Лекция Сионизм в оценке Торы Лекция Государство Израиль испытание на прочность, 2876.59kb.
• Текст лекций н. О. Воскресенская Оглавление Лекция 1: Введение в дисциплину. Предмет, 1185.25kb.
• Собрание 8-511 13. 20 Лекция 2ч режимы работы эл оборудования Пушков ап 8-511 (ррэо), 73.36kb.
• Концепция тренажера уровня установки. Требования к тренажеру (лекция 3, стр. 2-5), 34.9kb.
• Лекция по физической культуре (15. 02.; 22. 02; 01. 03), Лекция по современным технологиям, 31.38kb.
• Тема Лекция, 34.13kb.
• Лекция посвящена определению термина «транскриптом», 219.05kb.
• А. И. Мицкевич Догматика Оглавление Введение Лекция, 2083.65kb.

Лекция 1.

Содержание. Вспоминаем физику. Основные представления об электричестве. Ток и напряжение – параметры математических моделей электроприборов. Энергия и мощность – почувствуйте разницу между физиками и электротехниками. 3 великих элемента – резистор, индуктивность и конденсатор, их линейность и нелинейность. Закон Ома. Источники электрической энергии и их возможности. Идеальные модели источников. Составляем принципиальные схемы электроприборов и их математические модели. Законы или правила Кирхгофа. Делители напряжений и токов. Возможные методы упрощения систем уравнений (метод узловых потенциалов и эквивалентного источника). Машинный метод решения уравнений. Знакомство с программой Micro CAP.


Электромагнитное взаимодействие – одно из 4 фундаментальных взаимодействий.

Оно проявляется в виде неких электрических и магнитных (электромагнитных) сил, действующих на частицы, способные их почувствовать. Возможность совершения этими силами работы мы воспринимаем, как электромагнитную энергию. Пространство, в каждой точке которого заряженная частица может ощущать воздействие этих сил, будем называть электромагнитным полем.


И если физика занимается сущностью этой энергии, то электротехника, используя физические знания, занимается созданием устройств, способных решить задачи генерации электромагнитной энергии, её передачу с минимальными потерями и использования для достижения целей потребителя. За 200 лет своего развития электротехника полностью преобразила нашу цивилизацию. Мы уже не можем представить себе жизнь без развитой промышленности, информационных технологий, транспорта и многоэтажных городов, основой которых являются современные технологии и системы жизнеобеспечения, включающие перекачку огромных потоков жидкости, перемещение материалов и их обработку.

В то же время факт наличия или отсутствия электромагнитной энергии можно представить себе как бит информации. И это привело к созданию информационных систем и технологий, начиная от простейших устройств автоматизации до телевидения и интернета. Поэтому дальше мы будем рассматривать два направления электротехники – силовую электротехнику, где требуются значительное количество электромагнитной энергии, и электронику, где нужно обозначить лишь факт её присутствия.

В 2005 году на генерацию электромагнитной энергии в мире было истрачено около 10²⁰ Дж энергоресурсов (в пересчёте на каменный уголь 10¹⁰ т, несколько куб.км). Из них, к сожалению, около 70% это невозобновляемое органическое топливо, что ставит задачи как энергосбережения, так и развития альтернативных источников.

Источником электрических и магнитных сил является пространственные совокупности частиц с отрицательным или положительным электрическим зарядом. Зависимость силы взаимодействия между двумя разнополярными частицами с зарядами q1 и q2 от расстояния представляется законом Кулона. Полярность частиц (носителей заряда) определяет направление электрической силы. Однополярные заряды отталкиваются, разнополярные – притягиваются.

( Электрические явления вообще происходят так, как если бы существовали два особых вещества или флюида, действующих друг на друга по закону Кулона, т.е. с силой пропорциональной произведению взаимодействующих количеств и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. Эти флюиды для краткости называют положительным и отрицательным электричествами).

Если совокупность заряженных частиц (флюид), являющаяся источником данной силы, не изменяет своей конфигурации, то мы имеем дело с электростатическим полем, в котором действуют электрические силы, F_E (x,y,z,t).

Если конфигурация данной совокупности меняется, то в добавление к электрическим силам возникают магнитные силы, F_M (x,y,z,t).

И в этом проявляется дуальность электрических и магнитных полей – одно постоянно порождает другое. Поэтому и говорят об электромагнитном поле или взаимодействии..

Электрические и магнитные (электромагнитные) силы могут совершать работу, перемещая (изменяя вектор скорости) заряженные частицы. Эта работа может быть механической – совершённой против механических сил, удерживающих данные частицы, а также электромагнитной – совершённой по изменению конфигурации электромагнитного поля.

Возможность совершения этой работы электромагнитными силами будем называть энергией электромагнитного поля. Таким образом, электромагнитная энергия может превращаться в механическую энергию (движение, тепло, свет и т.п.) – активная энергия, а также оставаться в собственном виде, но с изменением конфигурации поля – реактивная энергия. Соответственно, полная мощность действия электромагнитного поля равна сумме активной мощности и реактивной мощности.

S= Р+ Q

Электрическое поле вызывает смещение заряженных частиц, т.е. электрическая энергия переходит в магнитную энергию. Но магнитная энергия вызывает новое распределение электрического поля, т.е. меняет его энергию. И магнитная энергия таким образом переходит в электрическую. И этот дуальный процесс бесконечен, пока существует реактивная энергия, которая является источником электромагнитных колебаний и, соответственно, электромагнитных волн. Поскольку электромагнитное взаимодействие является дальнодействующим (см. Закон Кулона), то мы можем ощущать эти электромагнитные колебания (волны) на сколь угодно большом удалении от нашего «волнующегося флюида».

Электромагнитные силы, как и все другие физические силы, имеют направление, т.е. их можно представить векторами (векторными функциями). В тоже время можно найти скалярную функцию  (x,y,z,t), производная которой по осям координат будет представлять проекцию вектора на эти оси. Значение этой функции в каждой точке пространства называют либо электрическим  либо магнитным А потенциалом(от лат. potentia - сила).

Математически F_E (x,y,z,t)= grad  = (/x + /y + /z),

F_M (x,y,z,t)= grad A

(Первым, указавшим на существование такой функции, а именно у сил тяготения, был Лаплас ("Меcanique Celeste"); а самый термин «Потенциальная функция» встречается в сочинении Грина: "An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism",1828 г.

Если мы имеем наэлектризованные тела, то потенциал U в любой точке М пространства равен работе, которую могут произвести электрические силы при переходе единичного заряда из М по произвольному пути в бесконечность.

Более практично применение разности потенциалов в двух точках пространства, занятого электромагнитным полем, или просто напряжения U= (₁₂). Единицей измерения напряжения и потенциалов в системе СИ установлен Вольт (В).

Если тепловая и электромагнитная энергия по сути аналогичны друг другу в тепловых и электрических процессах, то потенциал аналогичен температуре, также как аналогичны феноменологические термины теплоты и электричества. И как теплота переходит из области высоких температур в область низких температур, так и электричество переходит из области с высоким потенциалом в область с низким потенциалом. Так возникло понятие электрического тока I, как перетока определённого количества электричества Q=It от высокого потенциала к низкому. Единицей измерения электрического тока в системе СИ установлен Ампер (А).

В дальнейшем, когда появилось понятие зарядов q , как активных участников электромагнитного взаимодействия, то электрический ток стали представлять в виде направленного движения зарядов, которое приводит к изменению потенциальной картины электромагнитного поля. И было принято, что положительные заряды перетекают от высокого потенциала к низкому, а отрицательные в обратную сторону. Но это хорошо понятно в случае более или менее свободного перемещения частиц-носителей заряда, например в вакууме, ионизированных газах или жидкостях. В твёрдых телах, где атомы могут быть жёстко связаны другими типами взаимодействия, смещение зарядов скорее всего передаётся по цепочке. Это видно из аналогии с продольным механическим ударом по ряду плотно прижатых шариков, где передаётся возмущение, а шарики остаются на месте, кроме крайних.

Поэтому скорее всего электрический ток можно представить, как некую меру динамического изменения потенциальной картины электромагнитных сил при смещении (но не движении) частиц с электрическим зарядом.

Как видно, электрический ток – это некий параметр, такой же как скорость. И если скорость можно измерить путём измерения расстояния и времени, необходимого для преодоления этого расстояния, так и электрический ток можно измерить только по косвенным параметрам, например по величине возникающей магнитной силы или по количеству тепла, выделяющегося при механическом смещении заряженных частиц.

Почему эти 2 параметра – напряжение U и ток I, сохранились в практике с давних времён, несмотря на все успехи физиков, нашедших с тех пор электрон и создавших теорию поля?

Ответ простой:

произведение этих параметров определяет электрическую мощность S=UI,

а отношение – свойства материалов среды с электромагнитным полем.

Единицей измерения активной мощности Р в системе СИ установлен Ватт (Вт), который в точности соответствует единице измерения мощности в механических и тепловых системах - ватту (вт). Разница только в размере первой буквы обозначения.

Единицей измерения реактивной мощности Q в системе СИ установлен Вольт-Ампер- реактивный (ВАр).

Единицей измерения полной мощности S в системе СИ установлен Вольт-Ампер (ВА).

Знание электрической мощности в каждой точке пространства, занятого электромагнитным полем, позволяет решить главную утилитарную задачу электротехники: создание необходимого распределения электромагнитной энергии в устройствах по её генерации, распределению и использованию.

Конечно, физиков, интересующихся материей, не устроили эти параметры. Они ввели понятия заряда Q и напряженности электрического поля Е (соответственно, напряженность магнитного поля Н), как отношение электрической (магнитной) силы, действующей на единичный заряд, к величине этого заряда E=F_E/q. Но произведение S=ЕхН есть плотность потока энергии. Соответственно, квадраты напряженности поля определяют его энергию.

На основе этих понятий была построена система уравнений классической электродинамики ( Максвелл, 1873 г.)

rot H = D/t + j

rot E = -B/t

div D = 

div B = 0


В нашу задачу не входит подробное изучение этих уравнений, поскольку большинство электротехнических задач не требуют такого мощного математического аппарата. Но следует отметить, что электротехникам с их электрической мощностью приходится постоянно интегрировать по времени, чтобы получить энергию. В то время как физикам, чтобы получить мощность, требуется дифференцировать по времени.

Таким образом, нам необходимы всего 2 параметра - напряжение U и ток I, чтобы представить всю картину мгновенного распределения электромагнитной энергии в каком-либо электрическом устройстве.

Напряжение U между двумя точками физической среды с разными потенциалами ₁ и ₂ определяет действие электромагнитных сил, которые в силу подвижности заряженных частиц среды приводят к изменению потенциальной картины, то есть к возникновению явлений, которые можно описать параметром электрического тока I. Или, просто говоря, к возникновению электрического тока I между этими двумя точками.

При этом электромагнитные силы совершают механическую работу, создают новую конфигурацию электрического поля и возникает поле магнитных сил (магнитное поле). Другими словами электромагнитная энергия переходит в механическую(тепловую), электрическую и магнитную энергии. И этот переход определяется параметрами физической среды, которые определяют подвижность и взаимодействие частиц, обладающих зарядом, а также распределение электрических и магнитных полей с учётом электрических зарядов и магнитных моментов материальных частиц, составляющих эту среду.

Вспомним закон Ома, который определяет переход электромагнитной энергии в механическую (тепловую) энергию

U=R I , где R= l/S – так называемое сопротивление, и определяемое характеристикой материала  (удельное сопротивление), а также геометрическими параметрами пространства l/S , занятого электромагнитным полем между точками 1 и 2 (расстояние между ними и поперечная площадь пространства, по которому проходит электрический ток в случае цилиндрической формы пространства, занятого электромагнитным полем).

Единицей измерения сопротивления R в системе СИ установлен Ом=В/А. Иногда для удобства используют обратную величину сопротивления, так называемую проводимость Y, которая измеряется в Сименсах (См).

Электрическое поле будет определяться тоже аналогичным известным соотношением

I=d(СU)/dt илиU= U₀ + Id t / С, где С- электрическая емкость, которая в случае двух бесконечных пластин представляется соотношением С=/S, то есть диэлектрической проницаемостью  , которая определяется свойствами материала, и геометрическими параметрами среды /S (расстояние между пластинами и их площадью).

Единицей измерения электрической ёмкости С в системе СИ установлена Фарада (Ф).

Магнитное поле будет определяться известным законом электромагнитной индукции (закон Фарадея, rot E = -B/t )

U = dФ/dt=d(LI)/dt, где L=N²S/l_m – индуктивность, определяемая магнитной проницаемостью  , которая зависит от свойств материала, и геометрическими параметрами N²S/l_m (сечением пространства, по которому проходит магнитный поток S, длиной магнитной силовой линии l_m и количеством витков N с током, создающим магнитный поток). К определению магнитного потока и индуктивности мы вернёмся позже при изучении свойств магнитного поля.

Единицей измерения индуктивности L в системе СИ установлен Генри(Гн).

Эти 3 формулы можно рассматривать в обобщенной форме, которая, в случае гармонической формы тока и напряжения и независимости от них значений элементов R, С, L, принимает вид обобщенного закона Ома U=ZI, где Z является импедансом участка пространства с электрическим током I.

Обобщенную проводимость обычно обозначают буквой Y=1/Z.

Соответственно, мощность выделяемая в нагрузке Z будет S=ZI²=YU².

Таким образом, если мы знаем механические и электромагнитные свойства используемого электромагнитным полем физического пространства, а также его геометрию, мы можем всегда рассчитать мощности, возникающие при протекании токов в этом пространстве.

Это даёт нам ещё на стадии проектирования мощный аппарат для моделирования электромагнитных процессов, протекающих в будущем электротехническом устройстве.

Любой электрический прибор можно представить как пространство, в котором будет происходить задаваемое разработчиком изменение электромагнитного поля.

Для моделирования такого устройства достаточно представить это пространство в виде множества точек, которые называются узлами, и приписать им соответствующий узловой потенциал. Между узлами с разным потенциалом существует напряжение U , которое приводит к возникновению тока I между этими узлами. Путь для тока I между узлами называют ветвью. На этом пути электромагнитная энергия превращается в механическую (тепловую), электрическую и магнитную энергии в соответствии с коэффициентами R, С, L. Можно представить их в виде отдельных элементов, которые будут замещать нам в модельном представлении реальные процессы преобразования энергии. Поэтому модель электротехнического устройства будет выглядеть в виде структурной схемы замещения, состоящей из узлов, соединённых ветвями с соответствующими условно-графическими обозначениями (УГО) элементов R, С, L. Степень приближения модели к реальности определяется количеством узлов и ветвей в схеме, а также учётом всех превращений энергии этими элементами. Необходимо постоянно помнить, что два узла всегда соединяются всеми 3 элементами. Для упрощения моделей очень часто между узлами оставляют по одному элементу, который больше других участвует в местном превращении электромагнитной энергии. Но это может привести к серьёзным ошибкам, так как при разных условиях роль этих элементов может существенно поменяться.

Если напряжение U и ток I являются переменными величинами, то величины элементов R, С, L определяются устройством электроприбора - какие материалы используются и как конструктивно они расположены, т.е. они подвластны разработчику. Подбор этих элементов позволяет создать необходимое по задаваемым условиям потенциальное и динамическое распределение электромагнитного поля.

У электронщиков всего 3 элемента и все они используются по назначению.

За что им дают патенты? (И.И.Петров, выпускник МИФИ).

Условно-графические обозначения элементов в общем виде:



Если значения элементов R, С, L , то есть электромагнитные свойства и геометрические параметры пространства между точками 1 и 2, не меняются в зависимости от напряжения и тока, то такие элементы называются линейными , и их можно вынести за дифференциал или интеграл. В другом случае эти элементы будут нелинейными.

Своё название они получили из-за вида вольтамперной характеристики линейного и нелинейного сопротивлений. Это видно из сравнения вольтамперных характеристик линейного сопротивления 10 Ом и искрового промежутка, в котором развивается дуговой разряд.





Природа подарила нам два типа материалов с существенно отличными значениями удельного сопротивления – электрики и диэлектрики (по образному определению

М. Фарадея). В настоящее время электрики чаще всего называют проводниками, по их функции пропускать электрический ток практически без потерь. У них очень малое значение  , которое для меди составляет всего 0,0172 Ом.м.

Диэлектрики оставили своё название у материаловедов, а в электротехнике их больше знают как изоляторы, по выполняемой ими функции практически не пропускать электрический ток ввиду очень большого значения , которое для воздуха 10¹⁴ Ом.м.

Третий материал – полупроводник с изменяемой величиной , получил широкое распространение в качестве материала для производства нелинейных сопротивлений.

Можно также выделить материалы с разной диэлектрической проницаемостью:

неполярные (  2 – 3), полярные (  10 -100) и ферроэлектрики (  1000).

Среди магнитных материалов известны:

диамагнетики (  -1), парамагнетики ( 1) и ферромагнетики ( 100).

Из этих материалов можно изготавливать фабричным способом различные компоненты с номинальными характеристиками соответствующих элементов. Данные устройства получили название резисторов, конденсаторов, индукторов (катушек индуктивности), полупроводниковых приборов и т.п..

Используя различные элементы, в том числе проводники и изоляторы, можно создать электрическую схему преобразования электрического сигнала - либо из элементов на бумаге, с последующим математическим расчётом по приведённым выше соотношениям между током и напряжением (см. закон Ома) , либо из компонентов на лабораторном стенде с последующим измерением напряжений и токов измерительными приборами. В первом случае мы имеем так называемое математическое моделирование, а во втором случае – аналоговое моделирование.


В чём разница между радиолюбителем и профессионалом? – Радиолюбитель получает зарплату, идёт на рынок и покупает компоненты, которые портит при аналоговом моделировании. В результате ни денег, ни схемы, ни устройства. Профессионал проводит математическое моделирование, покупает в кредит компоненты, собирает из них устройство и продаёт его. На оставшиеся после выплаты кредита деньги едет отдыхать на Канары.

Для того, чтобы узнать, как распределяется и изменяется электромагнитная энергия в нашей электрической модели, нужно подать в модель эту энергию. Или, другими словами, подключить к схеме источник электропитания.

Источник электропитания представляет собой устройство, в котором за счёт сторонних сил происходит разделение в пространстве разнополярных частиц. В результате на выходных клеммах создаётся напряжение, которое называют электродвижущей силой (э.д.с). Соответственно во внешней цепи (по нагрузке) проходит электрический ток, который в силу закона сохранения энергии стремится снизить выходное напряжение. Источники электропитания отличаются по уровню выходной мощности, действующим в нём сторонним силам, и, что для нас важно, по выходной вольтамперной (внешней) характеристике, т.е. зависимости напряжения на выходе от протекающего выходного тока.

Это могут быть природные источники - тепломассоперенос в атмосфере или трение одного диэлектрика о другой, которые трудно использовать в деле.

В настоящее время создано огромное количество практичных источников электроэнергии, таких как:

• электрохимические – батареи, аккумуляторы, топливные элементы;
  
• индукционные – электромеханические генераторы постоянного и переменного тока;
  
• прямого преобразования – термо- и фотопреобразователи, магнитогидродинамические генераторы.
  

Выходные характеристики всех этих источников электропитания весьма различны и, как правило, нелинейные. Виной этому являются внутренние процессы, совершаемые сторонними силами против электрических сил и, одновременно, электрическими силами против сторонних сил, т.е. мы имеем дело с преобразованием сторонней энергии в электрическую.

Поэтому в электрических схемах любой источник можно представить в виде комбинации идеального источника (в котором действуют только сторонние силы) и внутреннего импеданса (учёт работы против сторонних сил) Z реального источника.

Используются 2 вида идеальных источников

• источник э.д.с – у которого выходное напряжение не зависит от выходного тока;
  
• источник тока – у которого выходной ток не зависит от выходного напряжения.
  

Можно сказать, что у идеального источника э.д.с нулевое внутреннее сопротивление, а у источника тока – нулевая внутренняя проводимость. Соответственно, реальные внутренние сопротивления будут подключаться к идеальным источникам - последовательно к источнику э.д.с и параллельно к источнику тока.


УГО идеальных источников вместе с подключёнными внутренними сопротивлениями выглядят следующим образом:



Идеальные источники э.д.с и тока неэквивалентны друг другу.

Но в моделях их вполне можно заменять с учётом Z_внутр. Если мы имеем источник тока I, то на разомкнутом выходе АВ он должен создавать напряжение U=Z_вн I. Но тоже самое сделает источник э.д.с с выходным напряжением V= Z_вн I, но с таким же внутренним сопротивлением Z_внутр . Поэтому их замена вместе с Z_внутр относительно выходов АВ осуществима. Можно сделать и обратную замену – источник тока на источник э.д.с (I=V/Z).

Необходимо также учитывать то, что идеальные источники тока всегда подключаются параллельно, а идеальные источники э.д.с – последовательно. Учёт и внутреннего сопротивления позволяет снять эти ограничения.

Обратите внимание, что последовательное подключение любого сопротивления последовательно с идеальным источником тока, также как и параллельное подключение любого сопротивления к идеальному источнику э.д.с. не меняют их выходного сопротивления.

Попробуем решить простую задачу.

По техническим условиям требуется произвести электротехнический расчёт термонагревателя мощностью 100 Вт для автомобиля.

Источником питания в автомобиле служит свинцово-кислотная аккумуляторная батарея с подзарядом от индукционного генератора постоянного тока, подключенного к двигателю автомобиля. Напряжение на клеммах U = 121 В. Среднее значение внутреннего сопротивления многих автомобильных аккумуляторов составляет около 25мОм.

Так как мы имеем источник постоянного тока, то элементы L и С и реактивную мощность мы не учитываем. Принципиальная схема будет выглядеть следующим образом




Сопротивление термонагревателя R= U²/100= 1,21 - 1,69 Ом.

Отбираемый ток от аккумулятора без учёта внутренних потерь I=Р/U= 9,1 – 7,7А A.

В аккумуляторе будет теряться примерно 2 Вт . Падение напряжения на внутреннем сопротивлении составит около 0,2 В (зависит от конкретного типа аккумулятора). Поэтому э.д.с аккумулятора должна быть не менее 12,21 В.

В данном случае мы имеем простую схему с одним замкнутым контуром, в котором течёт один ток, а сумма потенциалов по обходу этого контура будет равна 0. Источник поднимает потенциал, а нагрузки его снижают. Это следствие великого закона сохранения энергии (работа по замкнутому контуру равна 0). Другой великий закон – сохранения импульса (заряда), гласит, что какой ток втекает в узел А, то такой же ток должен вытекать из этого узла (ведь ток – это такой же параметр, как скорость).

Поэтому мы можем сформулировать для отдельных участков цепи два очень полезных правила, которые получили известное название законов Кирхгофа, а именно

1 правило – алгебраическая сумма токов, втекающих в данный узел, равна 0.

2 правило – сумма напряжений и э.д.с по обходу контура равна 0.

Эти правила вместе с законом Ома позволяют записать в математической форме уравнения энергетического и зарядового баланса замкнутой электрической системы.

А дальше просто нужно разрешить эти уравнения относительно токов в ветвях и узловых потенциалов (напряжений между узлами) , которые будут в этих уравнениях неизвестными.

Для полного описания системы нам необходимо составить (n-1) уравнение по 1 правилу Кирхгофа для (n-1) узла, а также m уравнений по 2 правилу Кирхгофа для m независимых контуров.

Одно уравнение по 1 правилу пропадает, так как потенциал одного узла мы принимаем равным 0 (заземляем), чтобы относительно него отсчитывать другие потенциалы.

Независимым контуром называется контур, в котором хотя бы одна ветвь не принадлежит другим контурам. Уравнения для зависимых контуров просто переопределят систему.

Таким образом, мы получаем систему интегральных уравнений с нелинейными коэффициентами (m + n1) порядка, где m и n стремятся к .

Василь Иваныч, а что такое квадратный трёхчлен?

Не знаю, Петька, но даже подумать страшно.

Трудность такого моделирования побудила физиков с их сложными пространственными задачами перейти к полевым понятиям и уравнениям Максвелла. Таким образом они избавились от узлов и ветвей и понизили порядок системы до 4 (пространственные координаты x,y,z и время t).

Электротехники, пользуясь тем, что в большинстве случаев применяются линейные элементы, а также то, что применяемые источники выдают либо постоянный, либо гармонический сигнал, пошли путём упрощения модели и разработки простых методов расчёта системы уравнений. Понижение порядка системы уравнений за счёт огрубления модельного представления (снижение количества ветвей и узлов) также вполне допустимо, так как все электротехнические устройства выполняются с определёнными допусками.

И только сейчас, когда разработчики электронных приборов освоили сигналы с длиной волны сравнимой (а то и меньше) с размерами самих приборов, наблюдается переход в расчётах к уравнениям Максвелла.

Во многих случаях при решении простых задач с линейными элементами можно и не составлять систему уравнений. Для этого просто используют результаты решения базовых случаев.

Прежде всего можно выделить 2 базовых конфигурации.

• Последовательное подключение к источнику двух и более нагрузок (приёмников) - правило делителя напряжения;
  
• Параллельное подключение к источнику двух и более нагрузок (приёмников) – правило делителя токов.
  

На приведённом рисунке сопротивление Z1 установлено последовательно с сопротивлением Z2.



В этом случае Е = U(Z1) + U(Z2)=I(Z1 +Z2 ) - 2 правило Кирхгофа.

Ток в контуре I = U(Z1)/Z1 = U(Z2)/Z2, то есть напряжение делится пропорционально величине сопротивлений включённых в ветвь. При этом, если нас не интересует потенциал узла 2, то оба сопротивления в одной ветви можно объединить.

Сопротивление ветви с последовательно соединёнными сопротивлениями равно сумме этих сопротивлений.

На этом рисунке сопротивление Z2 установлено параллельно сопротивлению Z3.



Этом случае J= I(Z2) + I(Z3)=U(Z2+Z3/Z2Z3)

Потенциал узла1 составляет U=I(Z2)/Y2=I(Z3)/Y3, то есть токи в параллельных ветвях делятся пропорционально проводимостям этих ветвей. При этом, если нас не интересуют токи в отдельных ветвях, проводимости этих ветвей можно объединить. Проводимость нескольких параллельных ветвей равна сумме проводимостей этих ветвей.

В соответствии с принципом компенсации можно также осуществить простую замену любого участка цепи с известным падением напряжения на идеальный источник э.д.с, у которого E равно и противоположно направлено падению напряжения U на этом участке.

Таким же образом, если известен ток в ветви, то можно заменить её идеальным источником тока.

Этот приём вызывает интерес при моделировании нелинейных элементов, которые к тому же зависят от внешних параметров. Так появились зависимые источники.

При анализе модели электрического устройства в большинстве случаев необязательно знать все токи и узловые потенциалы. Поэтому можно существенно понизить порядок системы путём эквивалентного преобразования схемы замещения, объединяя линейные элементы по правилам делителей тока и напряжения, заменяя падения напряжения на участках цепи и токи в ветвях на соответствующие идеальные источники, а также заменяя источники одного типа на источники другого типа с последующим их объединением или разделением.

Одним из интересных методов, позволяющим серьёзно снизить порядок системы уравнений, является применение принципа суперпозиции, который основан на независимом действии различных источников, включённых в схему замещения.

При этом расчёт проводят для каждого источника в отдельности, замещая другие источники их сопротивлениями – равным нулю для источника э.д.с. и бесконечно большим для источника тока. Полученные результаты складывают.

Очень существенно понижает порядок системы, вплоть до одного контура, метод эквивалентного генератора.

Это очень практичный метод, который не требует знания устройства всей электрической системы. Достаточно знать только напряжение и ток на клеммах, к которым подключается интересующее нас сопротивление.

Для этого всю неинтересующую нас часть электрического устройства мы помещаем в «чёрный ящик» с двумя выходными клеммами и объявляем его источником электропитания - эквивалентным генератором. Модель любого источника – это идеальный источник тока или напряжения с внутренним сопротивлением. Для того, чтобы узнать выходные характеристики такого генератора достаточно провести 2 широко известных опыта: холостого хода и короткого замыкания. Это можно сделать практически измерив напряжение холостого хода U_хх=Е_{экв.ген} и ток короткого замыкания I_кз= U_хх /R_{внутр .}

Если мы работаем с мощной сетью электропитания, например с общегражданской сетью Единой энергосистемы, то опыт короткого замыкания проводить не обязательно, так как R_внутр =E²/ S_сети . При S_сети 10⁹ ВА и напряжении в розетке 220 В_эфф получаем, что

R_внутр  310^-7 Ом. Этим можно пренебречь практически для всех номиналов используемых нагрузок и нет необходимости устраивать короткое замыкание со всеми вытекающими последствиями прихода в Вашу розетку всей электрической мощности страны. А вот, чтобы узнать работоспособность батарейки или аккумулятора, как раз следует измерить ток короткого замыкания. Потому что из-за нелинейности их внешних характеристик, напряжение холостого хода будет соответствовать паспортному номиналу даже в случае практического отсутствия накопленного заряда.

Внешние характеристики эквивалентного генератора можно рассчитать также математическим путём, если мы знаем устройство «чёрного ящика». При этом порядок системы понижается по крайней мере на 1 контурное уравнение, либо появляется больше возможностей для упрощения модели.

В результате вся наша сложнейшая система преобразуется к задаче с одним контуром.



Протекающий по нагрузке Z ток будет равен I = U_хх / (Z+ U_хх/I_кз)

Напряжение на нагрузке U = U_хх Z / (Z+ U_хх/I_кз)

Выделяемая мощность S= U_хх² Z / (Z+ U_хх/I_кз)²

На практике наши «электрики-сан» пользуются этим методом, даже порой не подозревая о его существовании.

Как мы поступили с источником, также можно поступить и с нагрузкой. В этом случае мы имеем дело с двумя «чёрными ящиками», оборудованных выходными клеммами. Их

называют двухполюсниками. Если какой-либо двухполюсник содержит источник, то его называют активным, если не содержит, то пассивным. В приведённой выше схеме сопротивление Z может рассматриваться как пассивный двухполюсник.

И здесь возникает вопрос о передаче мощности от активного двухполюсника в пассивный.

Действительно, если Z равно 0 или , то получаемая мощность S=ZI²=YU²=0. То есть функция S(Z) имеет максимум.

Действительно dS/dZ = d(ZE²_ген /(Z+R_вн)²)/dZ =E²_ген[(Z+R_вн)²  2 Z(Z+R_вн)] / (Z+R_вн)⁴=0

Решение при Z=R_вн. При этом в нагрузке (пассивном двухполюснике) выделяется половина мощности, другая половина выделяется во внутреннем сопротивлении активного двухполюсника. Это так называемое согласование по мощности, которое очень важно при передаче информационного сигнала в маломощных цепях автоматики и связи. В силовых цепях такие потери в проводах, которые составляют основную часть внутреннего сопротивления, недопустимы. Поэтому там применяют согласование по напряжению, при котором Z»R_вн.


При анализе систем, предназначенных для передачи электромагнитного сигнала через среду, пользуются понятием 4-полюсника, который представляет собой «чёрный ящик», но с парой входных и парой выходных клемм. Тогда всё многообразие превращения энергии входного сигнала внутри этого 4-полюсника можно охарактеризовать передаточной характеристикой, как отношением входного сигнала к выходному.

Так например, если внутри 4-полюсника установлен делитель напряжения из двух одинаковых резисторов, то его передаточная характеристика по напряжению равна ½.



Разделяя схему замещения на 4-полюсники с известными передаточными характеристиками можно достаточно просто проанализировать прохождение сигнала.

Одними из самых мощных методов понижения порядка системы уравнений являются метод контурных токов и метод узловых потенциалов. Рассмотрим метод узловых потенциалов, поскольку дальше он нам ещё встретиться.

В этом методе неизвестными будут являться узловые потенциалы  _i . Поэтому нам необходимо будет только записать систему из (n-1) уравнений по первому правилу Кирхгофа и решить её относительно (n-1) неизвестного  _i. Зная разность узловых потенциалов, мы в дальнейшем по закону Ома (простая операция!) можем найти токи в ветвях.

Особенно привлекателен этот метод в случае применения линейных аналоговых элементов, так как математики дали нам несколько мощных методов разрешения системы линейных алгебраических уравнений.

Один из них – матричный – заключается в составлении матрицы коэффициентов при неизвестных и матрицы известных величин. При этом неизвестное будет равно отношению соответствующего алгебраического дополнения к детерминанту матрицы коэффициентов.

Рассмотрим пример




Здесь Z_k=1/g_k , где g_k – проводимость ветви

Закон Ома I_kn = U_kn/Z_kn = (_k  _n)g_kn


.

По первому правилу Кирхгофа

1 узел - (1-0)g1 + (1-2)g5 + (1-4)g6 = J1

2 узел - (2-0)g2 + (2-1)g5 + (2-4)g7 + (2-3)g4 = 0

3 узел - (3-2)g4 + (3-4)g3 = J2

4 узел - (4-1)g6 + (4-2)g7 +(4-3)g3 = 0

Раскроем скобки и сразу запишем в матричной форме

1(g1+g5+g6) 2g5 30 4g6 = J1

1Y5 +2(g2+g4+g5+Y7) 3g4 4g7 = 0

10 2g4 +3(g4+ g3) 4g3 = J2

1g6 2g7 3Y3 +4(g3+g6+Y7) = 0


Отсюда матрица проводимостей (коэффициентов)


(g1+g5+g6) g5 0 g6

g5 (g2+g4+g5+g7) g4 g7

0 g4 (g4+g3) g3

g6 g7 g3 (g3+g6+g7)


Посмотрите внимательно на матрицу. Она симметрична!

А коэффициенты по диагонали это не что иное, как сумма проводимостей ветвей, входящих в данный узел. Остальные коэффициенты это проводимости ветвей, соединяющие соответствующие узлы, но взятые со знаком минус.

Таким образом, чтобы составить эту матрицу даже не надо писать уравнения!!!


Матрица источников (известных величин) - это сумма токов идеальных источников тока, подключённых к соответствующему узлу (либо приведённых к ним источников э.д.с).

J1

0

J2

0


А дальше, как учили математики, _i=_i/.

Если удалось привести схему к виду с двумя узлами, то можно обойтись только первым членом в матрице проводимостей и действовать по правилу двух узлов

(₁-0) = U = I_k/g_k

В случае нелинейных аналоговых элементов так просто не отделаешься. В отличие от линейных уравнений их приходится решать численными способами. И здесь на помощь приходит вычислительная техника. Программируемые калькуляторы позволили считать матрицы высоких порядков. Эта линия продолжается, только с использованием программы MatLab. Появление больших вычислительных машин дало возможность считать нелинейные системы уравнений. Так в университете Беркли в начале 60-х годов прошлого века появилась программа SPICE, которая после появления персональных компьютеров преобразовалась в РSPICE и вошла блоком в комплексы по проектированию электронных устройств на печатных платах ORCAD и PCAD.

При разработке этой программы были созданы математические модели основных нелинейных элементов, используемых в электронике, так называемые SPICE-модели, которые используются и в других аналогичных программах. В настоящее время производители полупроводниковых элементов (вендоры) считают своим долгом выставлять в Интернете SPICE-модели выпускаемых ими приборов.

В начале для расчётов использовался обычный метод конечных разностей, но вносимая пошаговая ошибка вынуждает разработчиков совместно с математиками постоянно совершенствовать методики расчёта системы нелинейных интегральных уравнений,

(см., например, итерационный метод Ньютона-Рафсона).

Развитие графических интерфейсов компьютеров привели к созданию программ MicroCAP и ICAP, которые позволили пользователю вводить в машину непосредственно аналоговую схему, а впоследствии и цифровую, и получать данные расчёта в виде красивых графиков. Специально для «продвинутых» пользователей была выпущена программа Workbench, где для составления схем используют образы аналоговых элементов, а для вывода расчётных данных – образы измерительных приборов. У пользователя создаётся иллюзия лабораторного моделирования, столь любимого радиолюбителями.

Можно назвать ещё целый ряд программ по расчётам электротехнических устройств, но они носят более специализированный характер и известны, в основном, специалистам.

Далее мы будем использовать программу MicroCAP 9.0.5.0 Evaluation version только по соображениям её простоты и доступности. Нас вполне устроит данная версия этой программы, которая находится в свободном доступе на сайте производителя rum-soft.com/

Там же можно найти большой блок HELP и файл “Demo Read.doc”. Все версии этой программы последовательно обеспечивались русской учебной литературой. Предпоследняя версия 8 подробно рассмотрена в книге:

Амелина М. А., Амелин С. А.

Программа схемотехнического моделирования Micro-Cap 8.

М.: Горячая линия-Телеком, 2007. -464 с. ил.

ISBN 978-5-93517-339-5.

Несмотря на небольшие размеры данной программы она представляет собой очень мощный инструмент, с которым нужно обращаться довольно осторожно. Неопытному пользователю она может не только выдать абракадабру, но и откажется выполнять расчёты с указаниями на допущенные ошибки. Поэтому начнём со знакомства с этой программой.