Geum.ru

Календарный план учебных занятий по обязательной дисциплине «Алгебра и геометрия», привязанной к семестрам. Лектор доцент, к ф. м н. Попов А. М. 1-й семестр

Вид материалаРешение

Содержание


Контрольная работа № 1
Кривые 2-го порядка.
Поверхности 2-го порядка
Контрольная работа № 4
Итоговый контроль знаний – экзамен
Виды и содержание учебных занятий
Понятие о нормальной форме Жордана матрицы линейного оператора.
Подобный материал:
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН

учебных занятий по обязательной дисциплине «Алгебра и геометрия», привязанной к семестрам. Лектор – доцент, к.ф.м.н. Попов А.М.

1-й семестр

Виды и содержание учебных занятий

Неделя
Лекции
Число

часов
Практические занятия
Число

часов

1
Комбинаторика. Размещения, перестановки, сочетания. Бином Ньютона. Поле комплексных чисел. Поле.
4
Комбинаторика. Комплексные числа
4

2
Отношения. Функция. Отображения. Образ и прообраз подмножества. Обратное отображение.

Инъекции, сюръекции, биекции, их свойства. Подстановки, транспозиции, операции над подстановками, их свойства. Циклы. Четность. Отношение эквивалентности.

4
Подстановки, транспозиции, операции над подстановками, их свойства. Циклы. Четность.
4

3
Системы линейных уравнений (СЛУ). Эквивалентные системы. Элементарные преобразования СЛУ, их свойства. Приведение СЛУ к ступенчатому виду методом Гаусса. Исследование и решение СЛУ ступенчатого вида. Метод Жордана.

4
Решение СЛУ методом Гаусса и Жордана

4

4
Определители. Полилинейность и кососимметричность определителя по строкам. Обратная теорема. Разложение определителя по столбцам. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
4
Вычисление определителей. Определитель Ван-дер-Монда
4

5
Определитель транспонированной матрицы и матрицы с углом нулей. Разложение определителя по строкам. Теорема о полном разложении определителя. Правило Крамера для решения СЛУ. Теорема Лапласа.
4
Вычисление опре­делителей. Задачи на теорему Лапласа. Правило Крамера.
2

Контрольная работа № 1
2

6
Алгебраические операции, универсальные алгебры. Полугруппы, моноиды, группы, кольца, поля. Примеры, свойства. Кольцо вычетов по модулю m.

Поля. Поле вычетов по простому модулю. Простые поля. Характеристика поля. Теорема о простом подполе.
4
Кольцо и поле вы­четов.

Задачи №№ 1709-1719,1726, 1727, 1732-1735 (Номера по «Сборнику задач по линейной алгебре» И.В.Проскурякова)
4

7
Линейное пространство, определение, основные свойства, примеры. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность линейного пространства. Система образующих. Базис линейного пространства. Теоремы о базисах. Теорема о дополнении линейно независимой системы до базиса линейного пространства. Координаты вектора. Операции над векторами в координатной форме. Пространство строк длины n. Изоморфизм линейных пространств. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.
4
Задачи №№ 1285-1293, 1297-1304, 1308, 1309
4

8
Ранг системы векторов. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение однородной СЛУ. ФСР. Определение ранга матрицы через миноры. Свойства ранга. Теорема о ранге матрицы (эквивалентное определение). Уравнение - следствие системы. Применение понятия ранга к решению СЛУ.
4
Задачи №№ 1310, 1312, 1314-1325, 1328, 1329, 643*,646-650, 652-655, 661, 663, 665
4

9
Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Общее решение неоднородной СЛУ.
2
Решение ОСЛУ методом ФСР. Решение НСЛУ.
4

Коллоквиум № 1
2

10
Определение и свойства умножения прямоугольных матриц. Умножение квадратных матриц.

|AB| = |A||B|. Обратная матрица (левая и правая). Матричный вид СЛУ.
4
Задачи №№ 798, 802*, 803*, 804*, 805, 806, 811-817
4

11
Решение матричных уравнений. Ранг произведения матриц. (АВ)Т.
4
Задачи №№ 818- 822, 827, 829, 836, 839, 846, 864, 865, 872, 873
4

12
Линейные операции над векторами в трехмерном пространстве. Репер. Скалярное, векторное и смешанное произведение.

Уравнения прямой на плоскости и в пространстве, параметрические уравнения в векторной и в координатной форме, канонические уравнения.
4
Контрольная работа № 2
2

Векторная алгебра, прямая на плоскости и в пространстве
2

13
Уравнения плоскости, параметрические уравнения в векторной и в координатной форме, общее уравнение.

Расстояние от точки до прямой и до плоскости, расстояние между прямыми, углы между прямыми и плоскостями, взаимное расположение прямых и плоскостей, пересечения прямых и плоскостей.
4
Плоскость, взаимное расположение прямых и плоскостей
4

14
Кривые 2-го порядка. Приведение общего уравнения к каноническому виду. Свойства эллипса, гиперболы, параболы. Необходимость и достаточность. Фокусы, эксцентриситет, директрисы, центр, асимптоты.
4

Кривые 2-го порядка.
4

15
Поверхности 2-го порядка. Свойства эллипсоидов, гиперболоидов, параболоидов, конусов, цилиндров.

Алгебра многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
4

Поверхности 2-го порядка
2

Контрольная работа № З
2

16
НОД и НОК многочленов и натуральных чисел, свойства. Алгоритм Евклида. Однозначность разложения на простые множители в k[x] и в N. Производная, кратные корни.
4
1726, 1727, 1759, 1763-1770.
4

17
Основная теорема алгебры (без доказательства). Алгебраически замкнутые поля, формулы Виета. Разложение многочлена на неприводимые над полями действительных и комплексных чисел.
4
Производная, кратные корни.
2

Контрольная работа № 4
2

18
Поле частных. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
4
Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
4

19,20
Итоговый контроль знаний – экзамен

2-й семестр


Виды и содержание учебных занятий

Неделя
Лекции
Число

часов
Практические занятия
Число

часов

1
Линейный оператор и его матрица. Изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры матриц. Матрица перехода к новому базису.
2
Линейные отображения (л.о.), их матрицы

Задачи №№ 1441-44, 40,47,45,46,49 (Номера по «Сборнику задач по линейной алгебре» И.В.Проскурякова)
2

2
Изменение координат вектора и матрицы линейного отображения при изменении базисов. Эквивалентные матрицы. Операции с подпространствами. Прямая сумма подпространств. dim(L+L)+dim(L∩L)
2
f  f(c) –л.о.

Подпространства. Задачи №№ 1316 15,17,18,19**
2

3
Теоремы о прямых суммах. (Задание подпространства однородной СЛУ). dimIm+dimKer, следствия, rg и def.

2
Задачи №№ 1450,51,52,59,60, 1325,27,28,29
2

4
Невырожденные л.о. – 10 эквивалентных условий. |  |. Инвариантные подпространства. Собств. векторы и значения, характеристический многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
2
Задачи №№ 1465, 66, 67,63,55, 56,75,76,77,87,89,90 91,93,95-99,1500-02
2

5.
Диагонализируемые операторы. Существование инвариантного подпространства размерности ≤1 для поля С и размерности ≤2 для поля R.
2
Прямая сумма операторов, дуальное пространство, комплексификация и овеществление.
2

6
Евклидовы и унитарные векторные пространства. Общие свойства. Матрица Грама.
2
Задачи №№ 1366-70, 65
2

7
Ортонормированный базис. Изометрии. Ортогональные преобразования и их свойства.
2
Задачи №№ 1357,59, 61,62
2

8
Линейные функционалы на евклидовых и унитарных пространствах. Сопряженные линейные операторы.
2
Ортогональные матрицы.

Задачи №№ 1371,72
2

8
Коллоквиум № 2
2
Контрольная работа № 5
2

9
Структура ортогонального и самосопряженного оператора.
2
Сопряженные операторы, изоморфизм Е и Е*. Задача № 1540
2

10
Структура унитарного и эрмитова оператора. Нормальные операторы.
2
Задачи №№ 1541,42,54, 1563,91
2

11

Понятие о нормальной форме Жордана матрицы линейного оператора.
2
Задачи №№ 1180,82,75,78
2

12
Билинейная и квадратичная формы. Матрица формы в новом базисе. Эквивалентные формы. Ортогонализация базиса.

2
Задачи №№ 1190,91,93,1248
2

13
Нормальный и канонический вид квадратичных и билинейных форм.
2
Задачи №№ 1212,13, 08,1210а, 1204,05,

2

14
Закон инерции. Классификация форм по знаку.

2
Задачи №№ 1206,03,07,09
2

15
Критерий Сильвестра.
2
Задачи №№ 1224,26,3436,37
2

16
Билинейные формы в евклидовом пространстве.
2
Контрольная работа № 6
2

17
Приведение пары форм.
2
Консультации по подготовке к итоговому контролю знаний
2

18
Обзорная лекция
2
Консультации по подготовке к итоговому контролю знаний
2

19,20
Итоговый контроль знаний – экзамен
Зав. кафедрой дифф. уравнений и матем. физики, проф. А.Л. Скубачевский