Математика: наука
| Вид материала | Документы |
- Колмогоров Андрей Николаевич, 563.58kb.
- Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б. П. Демидовича., 19.39kb.
- Византийская математика, 186.7kb.
- «Математика. Прикладная математика», 366.03kb.
- Программа подраздела «Философские проблемы математики», 94.9kb.
- Расшифровка : Математика, 146.94kb.
- Что такое прикладная математика?, 81.59kb.
- Программа дисциплины "Математика и информатика" (раздел «Математика») (специальность:, 399.2kb.
- Пангеометризм и математическая мифология, 956.71kb.
- Программа Фестиваля Мероприятия мгу им. М. В. Ломоносова, 971.43kb.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева
МАТЕМАТИКА: НАУКА
МАТЕРИАЛЫ
Института теоретической математики и научных вычислений
ЕНУ им. Л.Н.Гумилева
- Лаборатория теоретической математики
- Лаборатория научных вычислений
по
ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОГРАММЕ
развития образования Республики Казахстан
на 2011 – 2020 годы
Аннотированное оглавление
1240 страниц текста прямого применения
Астана 2011
Предисловие
Данный Сборник «Материалы - Наука» состоит из двух частей – Обзора - 2011 объема порядка четверти тысячи страниц (ранее были опубликованы Обзор 1997 года на 54 страницах, затем Обзор-2010 года на 194 страницах) и «Избранное: Математика. Наука» объема порядка трех четвертей тысячи страниц.
Основное назначение – привлечение студентов всех уровней – бакалавриата, магистратуры, Ph.D и молодых преподавателей РК к научной работе.
Техническое исполнение представляется таким: в любом вузе РК квалифицированный математик или специалист по информатике проводит подготовку на начальном этапе, затем сотрудничество продолжается в рамках Института теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н. Гумилева.
Вторым основным назначением является представление научного потенциала нашей научной школы для грантового финансирования, как составляющей базового финансирования исследовательского университета.
И, конечно, много других участков применений – составление программ специальных курсов, использование при подготовке научных статей и т.д. и т.п.
В-третьих, организация научной работы требует большой учебной и организационной работы на уровне государства.
Наши конкретные предложения по необходимому математическому образованию в самом коротком исполнении изложены во Введении к Обзору - 2011.
В организационной части, как нам представляется, здесь основной структурной единицей должны быть исследовательские институты со своей программой исследований, подтвержденных публикациями в международнозначимых журналах.
Данный Сборник «Материалы - Наука» можно рассматривать как конкретный образец исследовательской программы.
Н.Темиргалиев
29.V.2011
Л.Н. Гумилев атындагы Е¥У
математиктерінің ғылыми жетістіктеріне арналган
Арнайы шығарылым
Специальный выпуск
посвященный научным достижениям математиков
ЕНУ имени Л.Н. Гумилева
Н. ТЕМИРГАЛИЕВ
Компьютерный (вычислительный) поперечник. Алгебраическая теория
чисел и гармонический анализ в задачах восстановления (метод квази –
Монте Карло). Теория вложений и приближений. Ряды Фурье.
© Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетінің баспасы, 2011
Профессору Московского государственного университета
им. М.В.Ломоносова
С.В. Конягину
Глубокоуважаемый Сергей Владимирович!
Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева издает Обзор, посвященный научным результатам и перспективам их дальнейшего развития научной школы Н.Темиргалиева «Компьютерный (вычислительный) поперечник. Алгебраическая теория чисел и гармонический анализ в задачах восстановления (метод Квази-Монте Карло). Теория вложений и приближений. Ряды Фурье», в серии «Специальный выпуск, посвященный научным достижениям математиков ЕНУ им. Л.Н.Гумилева» журнала Вестник ЕНУ.
В Казахстане Вас знают как одного из крупных математиков современности.
Только один факт Вашей докторской диссертации из двух глав, в каждый из которых решены известные трудные проблемы – проблема Литтлвуда и проблема Лузина, относится к центральным в вопросах аттестации.
Широко известна Ваша исключительная принципиальность в экспертных делах в ВАКе России и в составе редколлегий международнозначимых математических журналов.
Ваши всегда неординарные научные статьи с новыми постановками задач и новыми методами изучаются и становятся темами исследований математиков многих стран, в том числе из Казахстана.
В Казахстане также изучается Ваш опыт выступления и организации Олимпиад – школьных и вузовских.
Вы оказали бы большую поддержку нашему молодому университету, если взяли бы на себя труд рецензирования названного Издания, если это возможно, с представлением Предисловия.
Проректор по научно-исследовательской работе
и международному сотрудничеству Ж.З. Уразбаев
Исп. Е.Е.Нурмолдин
тел. +7-701-524-11-30
Введение
Данный Обзор-2011 года выполнен на основе Обзора–2010, в свою очередь созданного по материалам 613-страничного издания [1] и Международной конференции «Теория функций и вычислительные методы» 2007 года [2] (и еще четырех публикаций 2010 года). Эти два Обзора частично являются продолжением и развитием тем исследований, вошедших в Обзор [3] 1997 года и изложенных на страницах 5-261 издания [1].
Цели Обзора - 2011 года остались теми же самыми, что и первого Обзора [3] 1997 года и второго Обзора - 2010, т.е. следующими:
«Данная работа выполнена в соответствии с идеей опубликования в едином издании всех значимых достижений школ, групп, отдельных математиков Казахстана (каковых у каждого математика не так уж и много [4]:«Подавляющее большинство математиков годы и годы, а иногда и десятилетия тратят на развитие одного математического сюжета, создание некоей теории или решение какой-то отдельной задачи. Нередко на это уходит вся жизнь - большинство математиков “специализируются” лишь в одной какой-то области. Самые крупные меняют темы своих занятий два, три раза, величайшие, как Гильберт - чуть больше (у Гильберта было восемь “сюжетов”)»), начиная с 1935 года, когда в одном из ведущих математических журналов СССР - журнале “Математический сборник” была опубликована статья Ибатуллы Акбергенова [5] - первая полновесная научная математическая работа казахского математика.
Очевидно, обзор достижений должен быть и замкнутым в себе - с необходимыми определениями, постановками задач и комментариями к ним, и открытым в международную математику - с иллюстрацией важнейших достижений в данной тематике, там же, где это возможно, показом “родословной” отдельных задач и теорем, сопровождаемый историческим обзором (в связи с этим отметим, что в математике понятия устаревания постановки задачи, как и полученного результата, вообще говоря, нет - например, задача о квадратуре круга решалась более двух тысяч лет - от древних греков до 1882 года, когда Ф. Линдеман сделал последний шаг, доказав трансцендентность числа
, а проблема Ферма, известная как Последняя теорема Ферма, поставленная в 1630 году, решена Уайлсом в 1995 году, - и исследования могут продолжаться в любой момент времени до полного решения, причем в процессе поиска решения от нее могут отпочковаться самостоятельные, порой более важные, задачи) и на всем этом фоне, - значимые, по мере возможности ясные, узловые или носящие иллюстративный характер, собственные результаты. Вместе с тем, такой обзор, при всей его необходимости, не был бы полным, если бы он не был обращен на перспективу - с формулировкой задач и возможных подходов к ним.Таким образом, собранные в одном месте, такие обзоры имели бы несомненный исторический интерес, они также необходимы для настоящего и будущего - позволят оценивать современное состояние и перспективу математических исследований, выявить актуальные, в свете общих тенденций развития науки и компьтерных технологий, разделы математической науки, что, в свою очередь, будет способствовать организации качественного преподавания математики в высшей и средней школах.
Решающая роль в государственной организации развития науки отводится качественной экспертизе и аттестации: обзор значимых достижений в контексте международной науки должен быть, в идеале, единственной основой формирования разного рода Советов по защите диссертаций и Экспертных советов, назначения экспертов по разным научным делам (наше видение этих и других проблем развития математики в Казахстане изложено в [6]).
И, безусловно, первой статьей в будущем сборнике должна быть работа И. Акбергенова [5]».
Возвращаясь к теме экспертных заключений, отметим, что публикации в рейтинговых журналах – только первый этап экспертизы (и абсолютно необходимый!), цель которой – отсечь совсем непродуктивные работы и носителей степеней.
Авторитетное свидетельство тому [7,стр.155-161]:
Даже в те годы, когда количество научных журналов было во много раз меньше, Ландау утверждал, что 90 % работ, публикуемых в «Physical Review», самом известном физическом журнале в мире, относятся к разряду «тихой патологии» - тихо и ненужно ковыряется в своей области.
Еженедельный - по четвергам ровно с 11 часов - семинар Л. Ландау работал с середины 30-ых гг. в Харькове до трагического 7 января 1962 года в Москве.
Л.Ландау сам отбирал статьи и назначал докладчиков на семинаре, никто не мог сослаться на свою некомпетентность в каком-то вопросе для оправдания невозможности прореферировать ту и или иную статью, что обеспечивала универсальная подготовка, которую давал его (с Е.М. Лифшицем) знаменитый теоретический минимум,- состоящий из 10 книг «Курс теоретической физики».
Оценки результатов статьи:
- «Выдающаяся» - вносится в «Золотую книгу» семинара.
- «Интересные вопросы для дальнейшего исследования» - записывалась в «Тетрадь проблем».
- «Патология» - нарушены принципы научного анализа либо в постановке задачи, либо в ее решении.
- «Тихая патология» - тихо и ненужно ковыряется в своей области, но «чужих результатов не присваивает», «своих результатов не имеет», «лженаукой не занимается».
- «Бред», «бредятина».
- «Эксгибиционизм!» - «Самореклама»!: «Псевдонаучные труды», «Агрессивная претензия на научный результат».
- «Эксгибиционист»: не умеет рассказывать свои (и чужие) работы, но готовый делать доклады где угодно и невзирая ни на какие трудности.
О том же читаем у В.И.Арнольда [28, стр.137]:
4. Цитирования. Часто встречается странная форма ссылки: «Это открыл х (в статье [у]), см. также [г]». Для себя я перевожу эту зашифрованную фразу в её исходную форму, которую автор захотел почему-то скрыть: «Это открыл автор w статьи z, но я узнал его результат из статьи у моего друга х».
Такие дезориентирующие читателя ссылки, как «см. также» выше, совершенно аморальны.
Мои иностранные коллеги объяснили мне, что в наш век «все» ссылаются не на первооткрывателей (вроде Колумба), а на того, кто последним использовал нужный факт (как это было когда-то с Америго Веспуччи).
Этот обычай социально значим: он поощряет многочисленных эпигонов быстро публиковать свои маловажные работы (чего требуют и учёные советы, где защищаются диссертации). Именно из-за этого публикуется в сотни раз больше статей, чем надо.
Я не стану приводить (слишком многочисленные) примеры, так, как опасаюсь за свою жизнь. «Подкова Смейла» была опубликована Литтлвудом и Картрайт десятками лет раньше замечательной работы не процитировавшего их Смейла.
Настоящая работа состоит из Введения и одиннадцати параграфов, в которых представлены различные темы и направления, в разработке которых в той или иной мере принимали участие автор, его ученики и коллеги.
Автор от С.Б.Стечкина на его семинаре в Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР вынес положение «Надо решать задачи, а не доказывать теоремы, которое я могу доказать по десять в день» (которое потом было оформлено как завещание в форме «Теорема – ничто, задача - все» (см. [8, стр. 356])).
Чтобы быть объективным, что называется, «до конца», от С.Б.Стечкина автор также слышал « Слишком точно ставить задачу – ошибка молодости», что созвучно высказыванию А.Н.Колмогорова «В каждый данный момент существует лишь тонкий слой между тривиальным и недоступным. В этом слое и делаются математические открытия.
Заказная прикладная задача поэтому в большинстве случаев или решается тривиально, или вообще не решается… Другое дело, если приложения подбираются (или подгоняются!) под интересующий данного математика новый математический аппарат…» в его дневнике [9, стр.52], что автор для себя воспринял как математическое откровение: четко поставленные задачи не всегда поддаются решению в заявленной редакции.
Конечно, все сказанное нашло отражение в исполнении данного Обзора, - большое внимание уделяется обоснованию постановок задач, комментариям полученных результатов и их возможным продолжениям.
Как известно, Лев Ландау всегда стремился, по его же словам, «тривиализировать проблему».
В той же книге [7, стр. 161-167] по теме «Преподавание математики по Ландау» с эпиграфом «Меня интересует, - говорил Ландау своим ученикам, - сумеет ли человек проинтегрировать уравнение. Математическая же лирика интереса не представляет (см. [10, стр. 34])» читаем «Л.Д. Ландау отличался необыкновенной способностью, как он сам говорил, «тривиализовать проблему». Тривиализовать означает здесь найти наиболее простой способ объяснения, не отступая от истины. Он был врагом всякой туманности, многозначности, часто скрывающей некомпетентность, умение или нежелание поискать более простых объяснений. Иллюстрацией может послужить удивительный ответ, который Ландау однажды дал на вопрос студента о том, является ли электрон корпускулой или волной: «Электрон – не корпускула и не волна. С моей точки зрения, он – уравнение, в том смысле, что лучше всего его свойства описываются уравнением квантовой механики, и прибегать к другим моделям – корпускулярной или волновой – нет никакой необходимости».
По – видимому, определение « Электрон – это уравнение», как это правильно описывается там же «сбалансированное физическое соотношение фундаментальных характеристик электрона в данных условиях: его энергии, импульса, заряда, спина, которое проверяется на опыте», правда с иными выводами, все-же больше говорит об отношении Ландау к математике, нежели как это можно понять из приведенного эпиграфа.
Ответ (или ответы) на поставленную задачу в математике оформляется в виде теорем, которые бывают различного качества.
Приведем рассуждения Г. Харди по этому вопросу [11, стр. 80-81]:
«Под серьезной» принято понимать теорему, содержащую «значительные» идеи.
Два качества играют существенную роль: общность и глубина идеи, но ни одно из них не поддается определению легко и просто.
Значительная математическая идея, серьезная математическая теорема должна обладать «общностью» в каком-то следующем смысле. Идея должна быть составляющей частью многих математических конструкций, используемых в доказательствах многих теорем различного рода. Теорема должна быть такой, что даже если первоначально она сформулирована в весьма частном виде (как теорема Пифагора), она должна допускать существенное обобщение и быть типичной для целого класса теорем аналогичного рода. Отношения, выявляемые в ходе ее доказательства, должны связывать многие различные математические идеи. Все это очень смутно и требует многочисленных уточнений. Но, как нетрудно видеть, теорема вряд ли может претендовать на роль серьезной теоремы, если в ней явно недостаточно этих свойств».
В данном Обзоре также хотели показать примеры «тривиализации проблемы», «серьезности теорем» и «значительности идеи», разумеется, «… на почтительном расстоянии», когда доказательства изначальных идей исследований, как скромных, так и очень скромных, могут занимать соответственно 20, 16 и 7 строк (не страниц!).
Так, в статье [12] новый логарифмический эффект в пространствах Лоренца в "близком" случае, который мой Учитель П.Л. Ульянов оценил как основной и достаточный, но с близлежащими дополнениями для «массы», результат докторской диссертации, и из-за того, что оставил эту тему, с небольшим перерывом после защиты по другой теме, журил меня всю жизнь, и который с тех пор в различных вариациях составляет тему исследований ряда авторов, занимает 20 строк (см. здесь п.3 §10).
Идея применения теории дивизоров в вопросах квадратур 1988 года в статье
[13] занимает 16 строк доказательного текста (см. здесь п.1 §3).
Доказательство общего равенства 2002 года, составляющего основу "метода Смоляка", в статье [14] занимает 7 строк (см. здесь п.2 §3).
Разумеется, автор при написании данного обзора старался, по мере возможности, придерживаться сформулированных выше общих принципов. Однако, с большим сожалением недостаточно полно или же вовсе не упомянуты многие исследования по каждой из тематик, поскольку это уже жанр тематической обзорной статьи, каковой данная (по замыслу) не является.
Представленные здесь исследования вместе с сформулированными задачами могут служить темами курсовых и дипломных работ, магистерских и Ph.D. диссертаций по математике и информатике.
Здесь хотелось бы обратить внимание на следующее.
В математических исследованиях, разумеется, основная роль принадлежит обоснованию постановки задачи, но, одновременно, как это показано (во всяком случае, такая цель всегда не упускалась из виду) в наших Обзорах, не меньшее значение имеет и содержательность (если угодно, и красота) ответа – формулировки соответствующих теорем как иллюстративных результатов.
В связи с проблемой выбора темы исследования приведем отрывок из Предисловия В.И.Арнольда к книге [15]:
«Москва давно славится своими математическими семинарами. Обычно в начале семестра я формулирую десяток-другой задач. Анализ последующего показывает, что среднее время полураспада задачи (после которого она обычно более или менее решена) — порядка семи лет.
И. Г. Петровский, один из моих учителей в математике, учил меня, самое главное, что ученик должен узнать от учителя — это что некоторый вопрос еще не решен. Дальнейший выбор вопроса из нерешенных — дело самого ученика. Выбирать за него задачу — всё равно, что выбирать сыну невесту» с эпиграфом: «Мир держится на детях, которые учатся. Роже Пейрефит».
Наверное, нелишне также иметь ввиду, что, по мнению Г. Харди [11, стр. 64]:
«Если интеллектуальное любопытство, профессиональная гордость и амбиция – доминирующие побудительные мотивы исследования, то, несомненно, ни у кого нет лучших шансов удовлетворить им, чем у математика. Предмет его исследований – прелюбопытнейший; нет ни одного другого предмета, в которых истина откалывала бы самые причудливые штуки. Математика обладает разработанным до тончайших деталей увлекательнейшим аппаратом исследований и оставляет беспрецедентный простор для проявления высокого профессионального мастерства. Наконец, как неоднократно доказывает история, математическое достижение, какова бы ни была его внутренняя ценность, обладает наибольшей «долговечностью» по сравнению с достижениями всех других наук. Мы можем убедиться в этом даже на примере пполуисторических цивилизаций. Вавилонская и ассирийская цивилизации пали; Хаммурапи, Саргон и Навуходоносор -ныне пустые имена, тем не менее вавилонская математика и поныне представляет интерес, а вавилонская шестидесятеричная система счисления все еще применяется в астрономии. Но самым убедительным примером служит, конечно, Древняя Греция.
Древние греки были первыми математиками, чьи результаты актуальны для нас и поныне…. Древние греки впервые_заговорили на языке. который понятен современному математику…. Поэтому древнегреческая математика сохранила «непреходящее» значение — более непреходящее, чем даже древнегреческая литература. Архимеда будут помнить, даже когда забудут Эсхила потому, что языки умирают, тогда как математические идеи бессмертны. Возможно, «бессмертны» — глупое слово, но, вероятно, математик имеет лучший шанс, на бессмертие, что бы оно ни означало.
Математику нет необходимости всерьез опасаться, что будущее будет несправедливо по отношению к нему…. Даже в математике_история иногда выкидывает странные трюки: Ролль фигурирует во всех учебниках математического анализа, как если бы он был математиком того же ранга, как и Ньютон».
Завершим наши обширные цитирования следующими советами И. М. Виноградова: «Надо пытаться решать важные задачи, не считаясь с их трудностью. Их решения навсегда войдут в историю науки и принесут людям большую пользу. Так поступали наши великие предшественники. Не следует увлекаться решением легких и малонужных задач только потому, что они не требуют больших усилий. Учёные, которые это делают, могут увлечь на тот же неправильный путь и своих учеников. Выбрав достойную тему, следует наметить план работы и не оставлять его, пока теплится хоть малейшая надежда на успех
Важно знать работы классиков - содержащиеся в них идеи могут оказать решающее действие на успех собственный».
Предварительные знания и необходимую, что называется, «математическую зрелость», требующиеся для понимания и продолжения представленных здесь задач и исследований, можно, в частности, получить изучив [16-25].
В заключение сообщим, что у истоков всех выполненных здесь исследований (за качество которых, разумеется, ответственность несем мы сами) находятся Учителя автора- выдающиеся советские русские математики академик РАН П. Л. Ульянов (1928-2006) и д.ф.-м.н. С. М. Воронин (1946-1997), память которых с благодарностью еще раз почтим.
Список литературы к Введению
- Темиргалиев Н. Математика: Избранное. Наука // под ред. Б. С. Кашина. Астана:
Изд-во ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2009. 1-613 с.
- Теория функций и вычислительные методы // Материалы Международной
конференции, посвященной 60-летию со дня рождения проф. Н.Темиргалиева. Изд-
во ЕНУ. Астана-Боровое, 5-9 июня 2007. 1-233 с.
- Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к
задачам Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье // Вестн. Евразийского ун-та. 1997. № 3. С. 90-144.
- Тихомиров В. М. Андрей Николаевич Колмогоров // Квант.1993. № 3-4. С. 3-10.
- Акбергенов И.А. О приближeнном решении интегрального уравнения Фредгольма
и об определении его собственных значений // Матем. сб.1935. Т. 42. С. 679-697.
- Темиргалиев Н. Математика: Избранное. Публицистика. 2010 (подготовлено к
изданию).
- Горобовец Б.Г., Круг Ландау: Физика войны и мира. М.: ЛИБРОКОМ, 2009:
- Стечкин С.Б. Избранные труды: Математика. М.: Наука, Физматлит.1998.
- Колмогоров А.Н. Книга третья. Из дневников. М: Физматлит. 2003
- Бессараб М.Я. Страницы жизни Ландау.М.: Московский рабочий, 1971.
- Харди Г.Г. Апология математика. Пер. с англ. – М: Книжный дом ЛИБРОКОМ.2009.
- Темиргалиев Н. О вложении классов
в пространства Лоренца // Сиб. матем.
журнал, 1983. Т. XXIV. № 2. С. 160-172.
- Темиргалиев Н., C.С.Кудайбергенов, А.А.Шоманова. Применение тензорных
произведений функционалов в задачах численного интегрирования // Изв. РАН, сер.
матем., 2009. Т. 73. № 2. С. 183-224.
- Темиргалиев Н.Тензорные произведения функционалов и их применения //
Докл.РАН, 2010. Т. 430. № 4. С. 460-465.
- Задачи Арнольда. Москва ФАЗИС 2000.
- Темірғалиев Н. Әубакір Б., Баилов Е., Потапов М. К., Шерниязов К. Алгебра және
анализ бастамалары, X-XI кластар. Алматы: Жазушы. 2002. 382 б .
- Темиргалиев Н., Аубакир Б., Баилов Е., Потапов М. К., Шерниязов К. Алгебра и
начала анализа, для X-XI классов. Алматы: Жазушы. 2002. 423 с.
- Темірғалиев Н. Математикалық анализ. Т. I. Алматы: Мектеп, 1987. 288 б.
- Темірғалиев Н. Математикалық анализ. Т. II. Алматы: Ана тiлi, 1991. 400 б.
- Темірғалиев Н. Математикалық анализ. Т. III Алматы: Бiлiм, 1997.Б. 432 б.
- Темиргалиев Н. Действительный анализ: мера и интеграл (готовится к изданию).
- Темиргалиев Н. Теория вероятностей (готовится к изданию).
- Темиргалиев Н. Математика: Избранное. Методология и методика. Казахстанская модель
образования и науки. (готовится к изданию).
- Темірғалиев Н. Қазіргі математиканы және информатиканы оқу мен оның кейбір
бөлімдерін зерттеуге шақыру (жоғары кластар оқушылары мен бакалавриаттың
төменгі курс студенттері назарына) // Ғылым көкжиегінде: ғылыми-көпшілік жинақ.
– Алматы: Қазақ университеті, 2006. Б. 32-58 .
- Темиргалиев Н. Приглашение к обучению и исследованиям в некоторых разделах
современной математики и информатики (вниманию школьников старших классов и
студентов младших курсов бакалавриата) // Наука: день сегодняшний, завтрашний
(научно-популярный сборник). Алматы: Қазақ университеті, 2005. С. 6-37.
- Математика: Наука. Материалы Института теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н.Гумилева I Лаборатория теоретической математики II Лаборатория научных вычислений по Государственной программе развития образования Республики Казахстан на 2011 – 2020 годы. Астана 2011.
- Математика: МЕТОДОЛОГИЯ и МЕТОДИКА Казахстанская модель образования и науки. Материалы Института теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н.Гумилева III. Лаборатория математического образования в бакалавриате, магистратуре и Ph.D докторантуре, IV. Лаборатория по школьной математике, V. Лаборатория общих проблем образования и науки в РК по Государственной программе развития образования Республики Казахстан на 2011 – 2020 годы. Астана 2011.
- В.И. Арнольд «Истории давние и недавние (Издание второе, дополненное)» Москва 2005, 192 стр.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………...……………………………………………………...7