Расшифровка : Математика
| Вид материала | Расшифровка |
- «Математика. Прикладная математика», 366.03kb.
- Программа подраздела «Философские проблемы математики», 94.9kb.
- Программа дисциплины "Математика и информатика" (раздел «Математика») (специальность:, 399.2kb.
- Пангеометризм и математическая мифология, 956.71kb.
- Вопросы к билетам по кандидатскому минимуму для аспирантов математиков по философским, 64.52kb.
- Расшифровка Тип, 91.87kb.
- Расшифровка подписи, 107.69kb.
- Расшифровка подписи, 20.28kb.
- Расшифровка подписи, 648.16kb.
- Аннатационная программа дисциплины теория вероятностей, случайные процессы направление, 46.02kb.
МИНЕСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОУВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»
Факультет информационных систем и технологий
Кафедра прикладной математики и вычислительной техники
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ
по дисциплине
ТЕХНОЛОГИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
на тему
«Разработка программы для решения краевых задач для систем линейных ОДУ»
3 СЕМЕСТР 2 КУРС
Научный руководитель И. С. Сапов
Преподаватель В. Б. Ларюхин
Методический руководитель С.А. Пиявский
| | Выполнил: О. А. Паросова студент ГИП-109 ______________ |
| | подпись дата |
| | |
| | |
Оценка преподавателя _______________
Оценка комиссии по результатам защиты_______________
2010 г.
УДК 519.622.2
Расшифровка:
Математика
Вычислительная математика, численный анализ и программирование (машинная математика)
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Ключевые слова
Дифференциальные уравнения, система, метод Эйлера, краевые задачи, градиентный метод, метод золотого сечения.
Реферат
В роботе представлено две программы, решающие краевые задачи для систем линейных ОДУ.
Первая программа решает систему из 2-х ОДУ методом золотого сечения. Она написана, как GUI приложение на С++. Пользователь сам задает значения необходимых для решения параметров. Однако поменять уравнения или коэффициенты можно только в коде.
Вторая решает систему из 3-х ОДУ градиентным методом. Она написана, как консольное приложение на С++. Данные можно менять только в коде программы.
Экран оценки творческого уровня работы
Развернутая оценка работы ее автором
Тема работы: Разработка программы для решения краевых задач для систем линейных ОДУ
| Разобрать решение дифференциальных уравнений методом Эйлера. Так же разобрать оптимизацию методом золотого сечения и градиентного спуска. Разработать программы решающие краевые задачи для систем линейных ОДУ изученными методами. |
Рейтинг КР студента Плановый 5 Зачетный ____________
| В каждой клетке оставить строку, отвечающую планируемой оценке | Конкретно объяснить, на чем будет основана планируемая оценка |
| 1 Тип работы 1 - носит исследовательский характер, т.е. в работе имеется результат, который был неочевиден до ее выполнения, | |
| 2 Работа является частью НИР руководителя, кафедры, лаборатории 1 - является частью указанных НИР, | Поиск решений |
| 3 Работа относится к новому перспективному направлению развития ИКТ 1 - защит кандидатских диссертаций по нему не проводится (например, простые вычислительные и информационные задачи, использование стандартных пакетов программ), | |
| 4 Направлена (подготовлена) публикация в печати 0 - нет, | |
| 5 Работа внедрена или подготовлена к внедрению в сторонних организациях 1 - работа может быть использована в учебных целях в своем учебном заведении, | С помощью программы можно решать системы ОДУ в любом учебном заведение. |
| 6 Имеется глубокий обзор проблематики по направлению науки и техники в сопоставлении с темой работы 1 – знает историю развития направления, его перспективы, ученых и названия их работ | |
| 7 Автором предложена собственная формализованная постановка проблемы 2-предложена постановка, использующая традиционный сравнительно несложный математический аппарат, выполнена, в основном, самостоятельно, | Решения краевых задач для систем оду методами золотого сечения и градиентного спуска |
| 8 Получены новые научные результаты 2 – получены совместно с научным руководителем, не очень значительны, | |
| 9 Имеются собственные оригинальные идеи автора 0 - оригинальные идеи отсутствуют, | |
| 10 Имеется анализ литературы (по авторам и времени) по теме работы 3 - анализ проведен самим учащимся по нескольким Интернет-источникам с перекрестным сопоставлением информации, | Википедия, методическое пособие по методам оптимизации и др |
| 11 Освоены новые информационно-коммуникационные технологии 3 - освоены средства программирования типа C++, C#, PHP, Java и т.п., | Написана программа на С++ |
| 12 Разработаны компьютерные программы, информационные системы и технологии (с учетом полноты и качества реализации понижаются на 1-2 ступени) 1 - простые вычислительные и информационные программы, использованы лишь стандартные пакеты и сервисы | |
| 13 Проводится многопараметрическое качественное исследование объекта (процесса) 1 – по небольшому числу параметров стандартными средствами (например, Excel), не дает существенных выводов, | |
| 14 Качество оформления работы 1 - работа (реферат, программный продукт, презентация, сайт) аккуратно оформлена, но с грамматическими ошибками, без ГОСТа 2 - работа (реферат с презентацией, программным продуктом и сайтом) оформлена с формальной точки зрения безупречно, 3 – кроме 2, программный продукт работает безупречно, | |
| 15 Качество доклада и ответов на вопросы 3 - докладывает самостоятельно, четко, громко, отвечает на все вопросы, | |
| Творческий рейтинг КР | |
УДК 519.622.2
Разработка программы для решения краевых задач для систем линейных ОДУ методом прогонки
О.А.Паросова
Сами системы ОДУ решаются методом Эйлера. Методы оптимизации используются, чтобы найти начальное значение некоторой переменной.
Метод золотого сечения, как видно из программы отлично подходит для решения ОДУ, причём решает достаточно быстро и с большой точностью. Однако он пригоден для решения систем только с одним краевым условием.
Программа написана на языке программирования С++.
Данная система:
Н
еобходимые для решения значения параметров пользователь вводит самостоятельно.В
ыводиться таблица, в которой выводится массив решений данных ОДУ методом Эйлера.Градиентным методом можно решить систему ОДУ с несколькими краевыми условиями. Величина погрешности во многом зависит от шага.
Данная система:
Программа так же написана на С++, только как консольное приложение и значения всех параметров прописаны в коде.
Дифференциальные исчисления
Дифференциальное исчисление, раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций.
Эпохой создания Д. и. как самостоятельного раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной скорости) решаются при помощи одного и того же математического аппарата — при помощи производных и дифференциалов. Это понимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейбницем[4].
Около 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий (см. Флюксий исчисление). Основные задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость — флюксией. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.
В середине 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал очень удобный алгоритм Д. и. Основными понятиями у Лейбница явились дифференциал как бесконечно малое приращение переменного и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения дифференциала dx и интеграла dydx, ряд правил дифференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин "дифференциальное исчисление". Дальнейшее развитие Д. и. шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.
Следующим этапом в развитии Д. и. были работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал излагать его как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь выдвинул к качестве основного понятия Д. и. производную. Лагранж пытался строить Д. и. алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в частности, принадлежит введение термина "производная" и обозначения у' или f' (x). В начале 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования Д. и. на основе теории пределов. Это было выполнено главным образом благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Более глубокий анализ исходных понятий Д. и. был связан с развитием теории множеств и теории функций действительного переменного в конце 19 — начале 20 вв[3].
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения являются одним из основных математических понятий, наиболее широко применяемых при решении практических задач. Причина этого состоит в том, что при исследовании физических процессов, решении различных прикладных задач, как правило, не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, характеризующие исследуемые явления. Обычно легче устанавливаются зависимости между теми же величинами и их производными или дифференциалами. Соотношения такого рода и называются дифференциальными уравнениями.
Для нахождения решения уравнений применяются аналитические и численные методы. Аналитические методы позволяют найти точное решение задачи, но лишь для ограниченного класса дифференциальных уравнений. С помощью численных методов получают приближенные решения, но для значительно более широкого круга проблем.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную неизвестную функцию x(t) этой независимой переменой и ее производные x'(t),x"(t),...,x(k)(t):
F(t,x'(t),x"(t),...,x(k)(t)
F - функция указанных аргументов, заданная в некоторой области их изменения.
Порядкам дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.
Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным)[2].
Решение систем дифференциальных уравнений
Системой дифференциальных уравнений называется система вида
или 
где x - независимый аргумент,
- зависимая функция, 
|x=x0 = 
- начальные условия.Функции
(x), при подстановке которой система уравнений обращается в тождество, называется решением системой дифференциальных уравнений[7].Метод Эйлера
j - номер шага.
Краевые задачи
Краевая задача — дифференциальное уравнение (система дифференциальных уравнений) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования.
Решение краевой задачи ищется в виде суммы линейной комбинации решений однородных задач Коши, соответствующих заданному уравнению при линейно независимых векторах начальных условий, и решения неоднородной задачи Коши с произвольными начальными условиями.
Метод золотого сечения
Метод золотого сечения — метод поиска значений действительно - значной функции на заданном отрезке. В основе метода лежит принцип деления в пропорциях золотого сечения. Наиболее широко известен как метод поиска экстремума в решении задач оптимизации.
Описание метода
Пусть задана функция
Тогда для того, чтобы найти определённое значение этой функции на заданном отрезке, отвечающее критерию поиска (пусть это будет минимум), рассматриваемый отрезок делится в пропорции золотого сечения в обоих направлениях, то есть выбираются две точки
и 
такие, что:
Таким образом:
, 
То есть точка
делит отрезок 
в отношении золотого сечения. Аналогично делит отрезок 
в той же пропорции. Это свойство и используется для построения итеративного процесса[5].Алгоритм
На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра точками и рассчитываются значения в этих точках. После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поиска минимума), отбрасывают. На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.
Формализация
Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка
и точность ε, рассчитывают начальные точки деления:
аг 2.Если
то
Иначе
Шаг 3.
Если
, то 
и останов.Иначе возврат к шагу 2[1].
Программа
Программа написана на языке программирования С++. Она решает систему из двух ОДУ методом золотого сечения.
Данная система:
Пользователем вводятся следующие параметры:
Начальное и конечное значение переменной t
Начальное и конечное значение интервала на котором ищется начальное значение Y2
Начальное значение Y1
Конечное значение Y2
Количество итераций
В
ыводится:
Таблица, в которой выводится массив решений данных ОДУ методом Эйлера.
Метод золотого сечения, как видно из программы отлично подходит для решения Д. у., причём решает достаточно быстро и с большой точностью. Однако он пригоден для решения систем только с одним краевым условием.
Градиентный метод
Градиентный спуск — метод нахождения локального минимума (максимума) функции с помощью движения вдоль градиента. Для минимизации функции в направлении градиента используются методы одномерной оптимизации, например, метод золотого сечения. Также можно искать не наилучшую точку в направлении градиента, а какую-либо лучше текущей[6].
Описание метода
Пусть целевая функция имеет вид:
И задача оптимизации задана следующим образом:
Основная идея метода заключается в том, чтобы идти в направлении наискорейшего спуска, а это направление задаётся антиградиентом
:
где 
выбирается1.постоянной, в этом случае метод может расходиться;
2.дробным шагом, т.е. длина шага в процессе спуска делится на некое число;
3.наискорейшим спуском:
Алгоритм
1.Задают начальное приближение и точность расчёта
2.Рассчитывают
, где
3.Проверяют условие остановки:
Если
, то 
и переход к шагу 2.Иначе
и останов.Программа
Данная система:
Входные данные, зашитые в программу:
Выходные данные:
Градиентным методом можно решить систему ОДУ с несколькими краевыми условиями. Величина погрешности во многом зависит от шага.
Список источников
- C. А. Пиявский. Методы оптимизации и оптимального управления: Учебное пособие; Самарск. гос. арх.-строит. ун-т. Самара, 2005. 184 с.
- Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах: Учебное пособие.- М: Изд-во МАИ, 2000.- 380с.
- Петровский И. Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений / Под ред. А. Д. Мышкина, О. А Олейник.- М.: Изд-во МГУ, 1984-296с.
- Генрих Вилейтнер. (Heinrich Wieleitner). История математики от Декарта до середины XIX столетия. Перевод с немецкого под редакцией А.П.Юшкевича. М., ГИФМЛ, 1960 — 468 с
- Википедия- свободная энциклопедия, Метод золотого сечения ссылка скрыта
- Википедия- свободная энциклопедия, Градиентные методы ссылка скрыта
- Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию... Лекция 13. Численное решение дифференциальных уравнений ссылка скрыта
- Образовательный математический сайт exponenta.ru .Занятие 6. ссылка скрыта
- Высшая математика. Помощь студентам. Дифференциальные уравнения. ссылка скрыта