И в авторской редакции. Удк 536. 7 +"7"+ (201) +53+57 +577. 4+211 Вейник А. И., «Термодинамика реальных процессов», Мн.: "Навука I тэхнiка", 1991. 576 с. Isbn 5-343-00837. Вмонографии приводятся ряд новых закон

Вид материала

Закон

Содержание 1. Состояние и перенос. 2. Вывод обобщенного дифференциального уравнения переноса. 3. Термодинамический поток и «сила». Термодинамический поток I . Получаем I = dE/dt Термодинамическая сила 4. Четыре частных уравнения переноса.

Подобный материал:

• Впервые в авторской редакции, 9591.86kb.
• Конспект лекций Кемерово 2004 удк: 637. 992, 2553.59kb.
• Хавронюк Микола Іванович удк 343 (4: 447) Кримінальне закон, 3077.54kb.
• М. М. Ничипорчук национальный исследовательский ядерный университет «мифи» моделирование, 9.59kb.
• Удк [544. 77: 577. 112. 824]: 535, 64.03kb.
• Хавронюк Микола Іванович удк 343 (4: 447) кримінальне закон, 684.97kb.
• Учебное пособие и Учебный словарь-минимум по религиоведению. М.: Гардарики, 2000. 536, 8576.03kb.
• Учебное пособие и Учебный словарь-минимум по религиоведению. М.: Гардарики, 2000. 536, 8588.39kb.
• И. А. Бунин принадлежал к тем реалистам рубежа веков, которым была дорога сущность, 164.9kb.
• Формирование гендерного подхода к обучению и воспитанию учащихся в школе 343, 102kb.

Глава ХI. Пятое начало ОТ.


1. Состояние и перенос.


Продолжим анализ интенсиала Р , входящего в основное уравнение (31) для ансамбля простых явлений и пред­ставляющего собой специфическую меру интенсивности силового взаимодействия вещества. Это позволит обна­ружить следующее - пятое - важнейшее свойство, одно­временно присущее также всем явлениям, находящимся на более высоких уровнях эволюционного развития.

Из закона состояния должно быть ясно, что в готовом ансамбле интенсиал характеризует интенсивность, напряжен­ность, активность поведения сопряженного с интенсиалом вещества. Эта активность сохраняется в течение всего времени существования системы в данном состоянии и реализуется в ходе изменения этого состояния.

Вместе с тем ранее было установлено, что при образова­нии и распаде ансамбля интенсиал определяет интенсивность процесса, является специфическим аналогом силы. Это прямо следует из сопоставления формул (28) и (42), то есть

Р_х = Р(dE/dx) ; Р = Р_х(dx/dE) (94)

Поэтому интенсиал оказывает соответствующее влияние и на интенсивность, скорость переноса вещества, причем специфика заключается в том, что с каждым данным веществом сопряжен свой особый интенсиал, ответственный за перемещение только этого вещества.

Таким образом, выясняется новая роль интенсиала - служить движущей причиной переноса, распространения веще­ства. Об интенсивности этого переноса можно было бы на­глядно судить, например, по величине универсальной силы Р_х , если бы ее удалось выразить через такие специфические меры, как интенсиал и экстенсор. Однако в этом вопросе имеются и определенные тонкости, ибо интенсивность поведения вещества в данном состоянии и интенсивность его перемещения в ходе изменения указанного состояния - это принципиально различные вещи. Поэтому в рассматриваемых условиях найти необходимую универсальную меру Р_х , например, по формуле (94) не представляется возможным. Требуется разобраться в этих тонкостях.

Каждое основное вещество излучает и окружено веществом взаимодействия. Это значит, что основное вещество взаимо­действует одновременно со всех сторон и приобретает способ­ность перемещаться только в том случае, если разнонаправ­ленные воздействия на него не уравновешивают друг друга. Иными словами, для переноса вещества существенна не абсолютная величина активности, а равнодействующая, или разность, этих величин. Именно эта разность участвует в процессе переноса данного вещества.

Обсуждаемая разность определяется в зависимости от характера распределения интенсиала. Например, если на инте­ресующем нас участке нет скачка интенсиала, тогда разность dP берется на расстоянии dx (похожие условия изображены на рис. 2, а), где

dР = Р_с - Р_си (95)

При наличии скачка в данном сечении разность составляет величину δΡ (такие условия для контрольной поверхности показаны на рис. 2, в и г). Имеем

Р = Р_с - Р_си (96)

где Р_с - значение интенсиала окружающей среды; Р_п - зна­чение интенсиала на поверхности системы. Величина dP именуется перепадом интенсиала на участке dx , а δΡ - напором интенсиала на поверхности.

Следовательно, чтобы определить искомую силу Р_х , надо пользоваться не формулой (94), а приравнять работы типа (28) и (91). Например, с учетом разности (95) находим

Р_хdх = - dРdЕ ,

откуда

Р_х = - (dР/dх)dЕ . (97)

Универсальная сила Р_х , участвующая в процессе переноса, пропорциональна градиенту интенсиала dP/dx и количеству переносимого вещества dE . Знак минус говорит о том, что сила направлена в сторону уменьшения интенсиала, то есть градиент и сила смотрят в противоположные стороны.

Из сказанного должно быть ясно, что равнодействующая, суммарная сила, определяемая формулой (97) и ответственная за перенос вещества, не равна силе (94). Благодаря этой раз­нице большая активность поведения не обязательно сочета­ется с высокой интенсивностью распространения вещества, а малая активность - с низкой. Для переноса важен не уро­вень активности Р , а разность уровней dP (см. формулу (97)). Например, при высокой активности разность интенсиалов может быть небольшой, тогда интенсивность процесса переноса будет незначительной. Наоборот, вблизи нуля интенсиала, когда активность поведения невелика, разность интенсиалов может быть сравнительно высокой и процесс распространения веще­ства окажется более интенсивным, чем в первом случае.

Установленная разница между активностью поведения и интенсивностью распространения вещества имеет важное принципиальное значение для всего последующего. Она за­ставляет рассматривать отдельно эти две категории отноше­ний, а также позволяет по-новому взглянуть на полученные ранее результаты, в частности на третье начало ОТ.

Становится ясно, что интенсиал, входящий во все преды­дущие уравнения, фактически является характеристикой активности, напряженности, интенсивности поведения (состоя­ния) системы. Что касается интенсивности переноса, то этот вопрос упомянутыми уравнениями непосредственно не решает­ся. Сказанное относится и к третьему началу ОТ, которое опре­деляет только активность состояния системы.

Таким образом, мы пришли к интереснейшему выводу о не­обходимости различать состояние и перенос, который является причиной изменения состояния. Более того, анализ показывает, что в природе существуют только эти две основные категории отношений - состояние и изменение состояния. Поэтому теория приобретет необходимую законченность только в том единствен­ном случае, если она сможет с исчерпывающей полнотой описать одновременно обе указанные категории.

Детально оценивать состояние системы с помощью интен­сиала и выведенных ранее уравнений мы уже умеем. Теперь предстоит научиться то же самое проделывать с изменением состояния. Для этого надо вывести соответствующие урав­нения переноса, которые бы связали с интенсиалом количество перенесенного вещества. Очевидно, что без интенсиала и здесь обойтись невозможно, ибо именно через него определяется суммарная сила, ответственная за перенос вещества (см. фор­мулу (97)) [ТРП, стр.136-138].


2. Вывод обобщенного дифференциального уравнения переноса.


Из равенства (97) и комментариев к нему видно, что интенсив­ность процесса переноса, а значит, и количество перенесенного вещества dE должны зависеть от разности интенсиалов dΡ . Следовательно, в уравнении переноса в отличие от уравнения состояния экстенсор dE должен быть выражен через разность интенсиалов dP . Чтобы найти соответствующую функциональ­ную зависимость, необходимо обратиться к третьему началу ОТ.

Согласно третьему началу, имеет место однозначная связь между интенсиалами и экстенсорами (см. уравнение (52)). Отсюда прямо следует, что экстенсоры можно выразить через интенсиалы, для этого из каждой строчки уравнения (52) находится соответствующий экстенсор и подставляется в остальные строчки. В результате выполнения указанной процедуры получается совокупность следующих так называе­мых обращенных зависимостей:

E_k = f_k(Р₁ ; Р₂ ; ... ; Р_n) (98)

где k = 1, 2, ... , n ; f_k - некие новые неизвестные функции.

В обращенном уравнении (98) роль аргументов играют интенсиалы, а роль функций - экстенсоры. Однако отсюда вовсе не должно вытекать, что интенсиалы, подобно экстенсорам, являются первичными величинами и их можно именовать параметрами состояния. В действительности, как мы видели, первичность и вторичность тех или иных характеристик опреде­ляются из других соображений.

По-прежнему для простоты ограничимся системой с двумя степенями свободы. В этом случае уравнение (98) приобретает вид (n = 2)

E₁ = f₁(Р₁ ; Р₂ ) (99)

E₂ = f₂(Р₁ ; Р₂ )

Путем дифференцирования находим

dE₁ = K_P11dР₁ + K_P12dР₂ (100)

dE₂ = K_P21dР₁ + K_P22dР₂

где

K_P11 = (Е₁/Р₁)_Р2 ; K_P22 = (Е₂/Р₂)_Р1 ; (101)

K_P12 = (Е₁/Р₂)_Р1 ; K_P21 = (Е₂/Р₁)_Р2 . (102)

Индекс, стоящий внизу скобки, указывает на интенсиал, ко­торый при дифференцировании сохраняется постоянным. В наиболее простом частном случае, когда n = 1, получаем

Е = f(Р) (103)

dЕ = КdР (104)

где

К = 1/А = dЕ/dР (105)

Выражения (100)-(102) несколько напоминают уравнения состояния (54)-(56). Вместе с тем между ними имеется и существенная разница.

Прежде всего необходимо отметить, что в новое уравнение (100) входят емкости К_р , найденные при постоянных значениях интенсиалов; это обстоятельство подчеркивается индексом Р . В уравнениях состояния, где емкости К и структуры А опреде­ляются при постоянных экстенсорах, соответствующий индекс Ε при них опущен.

Как и прежде, емкости К_р обратны характеристикам А_р , которые тоже берутся при постоянных Р, то есть

А_р = 1/К_р (106)

Характеристики К_р и А_р в принципе отличны от характеристик К и А . Неучет этого обстоятельства может привести к серьезным ошибкам, особенно если система находится вблизи нуля интен­сиалов. Разницы между указанными характеристиками нет только в том гипотетическом частном случае, когда система располагает всего одной степенью свободы (см. формулы (60) и (105)).

Экстенсоры dE в уравнениях (54) и (100) имеют один и тот же смысл - они характеризуют количества переданных веществ. Что касается разностей dP , то в первом случае они определяют изменение состояния системы, а во втором - те перепады или напоры, которые служат причиной переноса веществ. Естественно поэтому, что разности dP в уравнениях (54) и (100) не равны между собой.

Дифференциальное уравнение (100) связывает количества перенесенных веществ с имеющимися разностями интенсиалов, следовательно, его допустимо трактовать как некое обобщен­ное дифференциальное уравнение переноса. Согласно этому уравнению, количества перенесенных веществ dE пропорцио­нальны разностям интенсиалов dP , причем коэффициентами пропорциональности служат емкости К_р , найденные при постоянных значениях интенсиалов. Эти емкости именуются обобщенными проводимостями [17, с.37; 18, с.142; 21, с.64]. Из выражений (100), (101) и (102) видно, что существуют два типа обобщенных проводимостей: основные, индексы которых составлены из одинаковых цифр, и перекрестные, их индексы содержат разные цифры. В частном случае из равенств (100) и (104) могут быть получены все известные уравнения переноса [ТРП, стр.139-141].


3. Термодинамический поток и «сила».


Обобщенное дифференциальное уравнение переноса (100) весь­ма примечательно, ибо оно в самом общем виде описывает процесс распространения любого вещества, в том числе метри­ческого и хронального, которые имеют отношение к простран­ству и времени. Но вопрос о пространстве и времени требует особого, более глубокого рассмотрения. Поэтому в настоящей главе мы ограничимся лишь приведением уравнения (100) к общепринятому виду, в котором пространство и время играют роль неких вспомогательных, опорных, эталонных характери­стик.

Чтобы иметь возможность перейти к традиционной записи уравнения (100), необходимо вначале ввести понятия термо­динамических потока и «силы», как это делается в термоди­намике необратимых процессов. Для практических целей в работе [17, с.37-53] рекомендуются восемь различных основных вариантов выбора потоков и сил. Из них здесь рас­сматриваются четыре наиболее употребительных. В случае распространения метрического и хронального веществ при­ходится принимать во внимание также некоторую их специ­фику (см. параграфы 1 и 2 гл. XV).

Термодинамический поток, или просто поток, пропорциона­лен количеству перенесенного вещества, характеризуемого экстенсором dE . Наибольший практический интерес представ­ляют два весьма характерных выражения для потока. В первом случае количество вещества dE относится к единице площади поверхности dF и единице времени dt . Такой удельный поток обычно обозначается буквой J . Имеем

J = dE/(dFdt) (107)

Во втором случае количество вещества относится только к единице времени и обозначается буквой I . Получаем

I = dE/dt (108)

Потоки J и I , характеризующие конкретные условия пе­реноса, широко применяются на практике: первый поток на­иболее известен в теории теплопроводности, второй - в элек­тротехнике, где именуется силой тока.

Термодинамическая сила, или просто сила, ответственная за перенос вещества, пропорциональна разности интенсиалов (об этом уже говорилось). Применительно к силе тоже пре­дусмотрены два характерных варианта, отражающих конкрет­ные условия переноса. В первом случае сила обозначается через X , она представляет собой напор интенсиала δΡ , опре­деляемый формулой (96). Имеем

Х = - Р = - (Р_с – Р_п) (109)

Вторая конкретная сила, обозначаемая буквой Υ , пред­ставляет собой градиент интенсиала dР/dх , то есть

Y = - dP/dx (110)

Знак минус в правых частях равенств (109) и (110) сви­детельствует о том, что вещество распространяется от боль­шего значения интенсиала к меньшему, при этом разности Р и dP оказываются отрицательными. Но потоки веществ J и I , а следовательно, и силы X и Υ должны быть положи­тельными. Поэтому знак минус компенсирует отрицательные значения разностей δΡ и dP .

Заметим, что термин «термодинамическая сила», или «сила», является общепринятым в термодинамике необрати­мых процессов. Однако он ничего общего не имеет с истин­ным понятием силы. Именно поэтому упомянутый термин был заключен нами в кавычки. В дальнейшем кавычки опу­скаются, но нужно не забывать об имеющейся в этом тер­мине условности. Теперь мы располагаем уже тремя сход­ными по названию понятиями: сила, специфическая сила (интенсиал) и термодинамическая сила (разность или гра­диент интенсиала). Только первое понятие является силой в истинном смысле этого слова, два других понятия - это условные силы, они связаны с истинной силой соотношениями (94) и (97). Еще более условный смысл имеет понятие сила тока в электротехнике. Отметим также, что в принятых ра­венствах (107)-(110) по традиции в качестве опорных, эталонных использованы следующие пространственные и вре­менные характеристики: площадь F , протяженность х и время t [ТРП, стр.141-142].


4. Четыре частных уравнения переноса.


Воспользуемся теперь конкретными потоками J и I и силами X и Υ и преобразуем обобщенное уравнение (100) к виду, удобному для практического использования. При этом всего получаются четыре частных варианта дифференциальных уравнений переноса, ибо каждый из потоков J и I может сочетаться с каждой из сил X и Υ .

В первом варианте сочетаются поток J и сила X . В про­стейших условиях двух степеней свободы (n = 2) из выра­жений (100), (107) и (109), заменив разность dP на Р , получим

J₁ = ₁₁X₁ + ₁₂X₂ (111)

J₂ = ₂₁X₁ + ₂₂X₂

где

₁₁ = - K_P11(1/(dFdt)) ; ₂₂ = - K_P22(1/(dFdt)) (112)

₁₂ = - K_P12(1/(dFdt)) ; ₂₁ = - K_P21(1/(dFdt)) (113)

В гипотетических частных условиях, когда n = 1, имеем

J = X (114)

где

 = - К(1/(dFdt)) (115)

В уравнениях переноса (111) и (114) величина  пред­ставляет собой частную проводимость, которая играет роль, например, коэффициента отдачи вещества на контрольной поверхности системы. В частном случае из равенства (114) получается известное уравнение закона теплообмена на по­верхности тела Ньютона (см. параграф 2 гл. XX).

Во втором варианте сочетаются поток I и сила X . Ограничи­ваясь двумя степенями свободы (n = 2), из выражений (100), (108) и (109) находим

I₁ = ₁₁X₁ + ₁₂X₂ (116)

I₂ = ₂₁X₁ + ₂₂X₂

где

₁₁ = - K_P11(1/dt) ; ₂₂ = - K_P22(1/dt) (117)

₁₂ = - K_P12(1/dt) ; ₂₁ = - K_P21(1/dt) (118)

При n = 1 получаем

I = X (119)

где

 = K(1/dt) (120)

В уравнениях переноса (116) и (119) частная проводи­мость  есть, например, коэффициент отдачи вещества на контрольной поверхности системы. В отличие от коэффициен­та  , относящегося к единице площади поверхности, вели­чина  относится к поверхности в целом.

В третьем варианте сочетание потока J и силы Υ при двух степенях свободы (n = 2) позволяет получить из выражений (100), (107) и (110) следующее частное дифференциальное уравнение переноса:

J₁ = L₁₁Y₁ + L₁₂Y₂ (121)

J₂ = L₂₁Y₁ + L₂₂Y₂

где

L₁₁ = - K_P11(dx/(dFdt)) ; L₂₂ = - K_P22(dx/(dFdt)) (122)

L₁₂ = - K_P12(dx/(dFdt)) ; L₂₁ = - K_P21(dx/(dFdt)) (123)

При n = 1 имеем

J = LY (124)

где

L = - K (dx/(dFdt)) (125)

В уравнениях (121) и (124) коэффициент L представляет собой удельную проводимость системы по отношению к веще­ству. В частных случаях выражение (124) дает известные уравнения законов теплопроводности Фурье, электропровод­ности Ома, диффузии Фика и фильтрации Дарси [17, 18, 21].

Наконец, в четвертом частном варианте сочетаются поток I и сила Υ . Для двух степеней свободы (n = 2) из равенств (100), (108) и (110) находим

I₁ = M₁₁Y₁ + M₁₂Y₂ (126)

I₂ = M₂₁Y₁ + M₂₂Y₂

где

M₁₁ = - K_P11(dx/dt) ; M₂₂ = - K_P22(dx/dt) (127)

M₁₂ = - K_P12(dx/dt) ; M₂₁ = - K_P21(dx/dt) (128)

При n = 1 имеем

I = MY (129)

где

M = - K (dx/dt) (130)

Частная проводимость Μ отличается от L тем, что отно­сится не к единице площади сечения системы, как L , а ко всему сечению. Именно в такой форме обычно используется закон электропроводности Ома.

Перечисленные частные дифференциальные уравнения пе­реноса позволяют охватить самые характерные и наиболее часто встречающиеся на практике условия распространения вещества [ТРП, стр.143-145].