И философии математики

Вид материала

Учебное пособие

Содержание 1. N-арное правило Однозначность времени Решение рефлексивных парадоксов Парадокс Эвбулида Парадокс Ришара Парадокс Грелинга Парадокс Кантора Парадокс Бурали-Форти Парадокс Диксена Парадокс Бери

Подобный материал:

• Вопросы по философии математики для кандидатского минимума по философии (апрель 2011), 7.58kb.
• Институт философии ра н постоянный семинар исследовательской группы по прикладной философии, 687.67kb.
• К проблеме становления математики и философии в Древней Греции, 12.89kb.
• Философии математики аристотеля, 71.32kb.
• Учебного курса философия для студентов факультета Прикладной математики и информатики, 247.15kb.
• Учебно-методический комплекс дисциплины «философия», 512.67kb.
• Реферат по философии Заметки об определении и природе математики, 84.23kb.
• Програма державного екзамену з теорії та практики навчання І виховання та методики, 181.72kb.
• Философско-методологические проблемы математики в работах А. А. Маркова, 174.97kb.
• Программа курса «история и методология математики» для студентов дневного отделения, 151.46kb.

1. N-арное правило

Абстракция отождествления приравнивает разные экземпляры одной и той же формулы - исключает из этих формул их временные и другие физические различия. При такой абстракции от времени в теории не учитываются свойства физических объектов, выражающие изменения во времени. Если это учитывать, то экземпляры одной и той же формулы А, фигурирующие в теории F, заменятся, если использовать параметрическую запись, формулами вида А(t₀), A(t₁),... В этих формулах общее то, что они в традиционном смысле тождественны между собой, различаются же по значению параметра времени t. При этом теорию F будем обозначать через F(t). F будем называть статической теорией, F(t) - динамической теорией. Нашей ближайшей задачей является нахождение некоторых метаматематических расхождений между теориями F и F(t). Эти расхождения могут выражаться системой правил S, которых не придерживаемся при построении статических теорий. Если потребовать от статической теории F, чтобы она удовлетворяла системе правил S, то получится несколько отличная от F статическая теория F_t, которую назовем динамически корректной теорией. Естественно полагать, что система правил S не может быть раз и навсегда установлена, поэтому речь может идти о множестве динамически корректных теорий: динамически a-корректная теория (Fa), динамически b-корректная теория (F_β) и т.п., где a и b - типы коррекции. Если тип коррекции не имеет значения, то его не будем указывать. Из логики такого подхода следует, что динамически корректные теории адекватнее будут отражать действительность, поэтому условие динамической корректности естественное (но не обязательное) требование. Возникает сложная проблема выражения свойств времени через структуру теории. Начнем с одного существенного свойства времени. Каждый физический объект Q(t) в момент времени t находится в связях с другими объектами. В данный момент времени t объект Q(t) единственен. В любой другой момент времени ť объект Q(ť) также единственен, но не тождественен с Q(t). Это свойство физического мира назовем однозначностью времени. Каждая формула А(t) в момент времени t находится в связях с другими формулами. В данный момент времени t формула А(t) единственна. Эта единственность в статических теориях не учитывается: формула связей А(t) с другими формулами допускает неоднократное использование A(t) (в один и тот же момент времени). Необходим принципиально иной формализм, адекватный однозначности времени. Попытаюсь дать одну из наиболее естественных экспликаций понятия однозначности времени.

Пусть, например, F - формальная теория.

Пусть М и N - ппф теории F, М - подформула формулы N и нет в F ппф P, чтобы М была подформулой Р, а Р - подформулой N. В этом случае М назовем основной подформулой формулы N.

Если запись формулы М в F(t) завершена в момент времени t, то скажем, что М имеет метрический показатель t. Если при этом необходимо указывать формулу М, то вместо t пишем m(t) (так, что m(t) - число).

Отметим три способа записи формул.

Способ R₁: знаки формулы записываются последовательно слева направо;

Способ R₂: знаки формулы записываются последовательно справа налево;

Способ R₃: все знаки формулы записываются одновременно.

(Здесь и впредь под одновременностью записи понимается одновременность относительно системы отсчета, связанной с бумагой, на которой производится запись).

Однозначность времени:

Метрические показатели времени всех вхождений любой ппф М, которые являются основными подформулами ппф N, при любом способе записи R_i (i=1, 2, 3) формулы N, равны между собой.

От любой динамически a-корректной теории требуем ее удовлетворения условию однозначности времени; формулы, при записи которых не соблюдается однозначность времени, считаем неправильно построенными формулами.

Рассмотрим, например, ппф АaА статической теории F, где оба вхождения А - основные подформулы, а a - логический или специальный знак теории F.

Формуле АaА в динамической теории F(t) соответствует формула вида A(t₁)aA(t₂). При ее записи способами R₁ и R₂, t₁¹t₂ (1). При записи способом R₃, t₁=t₂ (2). Пусть А записывается способом R₃. В случае (1) основная подформула А в АaА имеет (в F(t)) два метрических показателя времени: a(t₁) и a(t₂), в случае (2) - один метрический показатель времени: a(t₁); (t₁=t₂). При записи формулы АaА однозначность времени не соблюдается: АaА - не ппф (в Fa).

Мы пришли к заключению, которое назовем Бинарным правилом (для a-корректной теории):

Если оба вхождения ппф А в ппф АaА теории F, где a - логический или специальный знак теории F, являются ее основными подформулами, то АaА не ппф в теории Fa.

Бинарное правило можно обобщить и получить N-арное правило (для a-корректной теории):

Если хотя бы два вхождения ппф А в ппф Аa₁Аa₂ ... a_n-1 А теории F, где a_i - логический или специальный знак теории F (i=1, 2, ... , n-1), являются ее основными подформулами, то Аa₁Аa₂... a_n-1А не ппф в теории Fa.

При построении динамически a-корректной формальной теории можно просто вводить дополнительное правило образования: формула не является правильно построенной, если в ней ее хотя бы одна основная подформула имеет более одного вхождения.

Замечание 1. Обратим внимание на глубокую связь времени в структуре математики с записью формул: однозначность времени выражает независимость времени от способов записи формул (или инвариантность формул относительно способов их записи).

Замечание 2. N-арное правило в неявной форме предъявляет к правильно построенным формулам требование быть ппф также во времени - в процессе записи формул. Например, если а,b,с и а+b=с являются ппф некоторой теории, то в статической математике формулу а+b=с мы записываем слева направо: а, а+, а+b, а+b =, а+b=с, т. е. в процессе записи пользуемся неправильно построенными формулами (лишь на том основании, что не придаем значения фактору времени). Динамическая математика старается избегать такой «халатности».

Примечание. Формулы в динамически корректных и динамических математических теориях зависят от параметра времени. Поэтому под выражением «математика с параметром времени» понимаются такие теории.

2. Решение рефлексивных парадоксов

Парадокс Рассела


Пусть А - множество всех тех и только тех множеств, которые не являются элементами самих себя. Если А не является элементом самого себя, то А является элементом самого себя. Если А является элементом самого себя, то А не является элементом самого себя.

Решение: А - множество всех тех и только тех множеств Х, которые не являются элементами самих себя:


(ХÎА)Û(ХÏХ) (1)

В (1) вместо Х подставив А приходим к противоречию:

(АÎА)Û(АÏА) (2)

Согласно Бинарному правилу в динамически корректной теории множеств АÎА не ппф. Следовательно, формула (2) не ппф (бессмыслица).

Парадокс Эвбулида

(парадокс лжеца)


Человек говорит: «я лгу». Если он говорит правду, то он лжет, и наоборот.


Решение:

ХaY (3)


XaY читается: «Y говорит, что Х лжет».

В (3) вместо Х подставив Y получим YaY. Согласно Бинарному правилу в динамически корректном языке YaY не ппф. Следовательно, вытекающий из нее парадокс Эвбулида не ппф (бессмыслица).

Парадокс Ришара


С помощью некоторых фраз русского языка могут быть охарактеризованы те или иные вещественные числа. Например, «отношение длины окружности к длине диаметра в круге» характеризует число p. Все фразы русского языка могут быть представлены некоторым стандартным способом, а именно: упорядочим сперва лексико-графически (т.е. как в словаре) все фразы, содержащие в точности К букв, а затем поместим все фразы из К букв впереди фраз с большим числом букв. Теперь можно перенумеровать все те фразы русского языка, которые характеризуют то или иное вещественное число. Для этого достаточно в стандартной нумерации всех фраз опустить все остальные фразы. Число, получающееся при такой нумерации номер n, назовем n-м числом Ришара. Рассмотрим такую фразу: «Вещественное число, у которого n-й десятичный знак равен 1, если у n-го числа Ришара n-й десятичный знак не равен 1, и n-й десятичный знак равен 2, если у n-го числа Ришара n-й десятичный знак равен 1». Эта фраза определяет некоторое число Ришара, допустим, К-е; однако, согласно определению, оно отличается от К-го числа Ришара в К-м десятичном знаке.


Решение. Y-n-е число Ришара.

(ХaY)Þ(YaY) (4)


ХaY читается: ««Фраза «вещественное число, у которого n-й десятичный знак равен 1, если у Y n-й десятичный знак не равен 1, и n-й десятичный знак равен 2, если у Y n-й десятичный знак равен 1» определяет Х».

Согласно Бинарному правилу в динамически корректной теории чисел YaY не ппф. Следовательно, формула (4) и вытекающий из нее парадокс Ришара не ппф (бессмыслицы).


Парадокс Грелинга


Некоторые прилагательные («правильный», «многосложный», ...) обозначают свойство, которым они сами обладают. Назовем их автологичными, а все остальные прилагательные - гетерологичными. Прилагательные «односложный», «зеленый» - гетерологичные. Если прилагательное «гетерологичный» гетерологично, то оно автологично, и наоборот.

Решение. Х - прилагательное «автологичный», Y - прилагательное «гетерологичный»:


(YbY)Û(YaX) (5)


ZaX читается: «Z является X»

ZbY читается: «Z является Y».

Согласно Бинарному правилу в динамически корректном языке YbY не ппф. Следовательно, формула (5) не ппф (бессмыслица).


Парадокс Кантора


Множество всех подмножеств множества М имеет кардинальное число, больше кардинального числа множества М. Это приводит к противоречию, если в качестве М взять множество всех множеств.

Решение.


(f(M)< f(M’)) & (f(M’)≤f(M))Þ(f(M)

М - множество всех множеств.

М’ - множество всех подмножеств множества М.

f(x) - кардинальное число множества X.

Согласно Бинарному правилу в динамически корректной теории множеств f(M)

Парадокс Бурали-Форти


В теории трансфинитных порядковых чисел показано, что: (I) каждое вполне упорядоченное множество имеет (единственное) порядковое число; (II) каждый отрезок множества порядковых чисел (т.е. любое подмножество этого множества, упорядоченное естественным образом, которое вместе с каждым порядковым числом содержит все предшествующие ему) имеет порядковое число, большее, чем все порядковые числа этого отрезка; (III) множество В всех порядковых чисел, расположенных в естественном порядке, вполне упорядочено. Тогда в силу утверждений (I) и (III) В имеет некоторое порядковое число b, а т.к. b содержится в В, то в силу утверждения (II) b
Решение.


(((f(x)ÌB)Þ(f(x)

В - множество всех порядковых чисел, расположенных в естественном порядке.

f(x) - порядковое число вполне упорядоченного множества Х.

Согласно Бинарному правилу в динамически корректной теории трансфинитных порядковых чисел f(B)

Парадокс Диксена


Допустим, что существует некоторый пересчет множества всех арифметических функций; пусть fl(k) - значение l-й функции в этом пересчете для аргумента К. Образуем такую функцию g, что для любого n g(n)=fn(n)+1. Пусть Р - номер g в этом пересчете, так что g(n)=fp(n). Тогда fp(p)=g(p)=fp(p)+1. Получили противоречие. Следовательно, множество всех числовых функций несчетно (*). Предположим, что рассматриваем не множество всех числовых функций, а множество всех определимых функций. Под «определимым» подразумевается определимое средствами некоторого фиксированного языка, например (математического) русского языка с фиксированным словарем и грамматикой. Т.к. число слов в языке конечно, то множество возможных его выражений счётно, следовательно, и множество выражений, дающих определения числовых функций, а потому и множество самих определимых функций должны быть счетными. Но язык можно построить так, что доказательство (*) можно было провести в этом языке, так что приходим к противоречию.

Решение.


((Кal) = ((KaK)+1))Þ((lal) = ((lal)+1)) (8)


Кal читается: «f_l(k) (значение l-й функций в некотором пересчете множества всех арифметических функций для аргумента К)».

Согласно Бинарному правилу в динамически корректной теории функции КaК и lal не ппф. Следовательно, формула (8) не ппф (бессмыслица).


Парадокс Бери


Множество всех целых чисел, которые могут быть названы по-русски посредством числа слогов (или букв) меньшего некоторого числа, конечно: следовательно, должно существовать наименьшее из тех чисел, которые не могут быть так названы. Но «наименьшее целое число, которое не может быть названо по-русски меньше, чем в пятьдесят слогов» есть выражение русского, содержащее менее пятидесяти слогов.

Решение.


((50≤c(х))&(c(х)<50))Þ(50<50) (9)


Х – «наименьшее число, которое не может быть названо по-русски меньше, чем в пятьдесят слогов».

c(y) - количество слогов предложения y.

Согласно Бинарному правилу в динамически корректном языке 50<50 не ппф. Следовательно, формула (9) не ппф (бессмыслица).


Аналогично решаются все рефлексивные парадоксы.


Виктор Оганесович Ваганян


ЗАМЕТКИ ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ


И ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ


Учебное пособие