Geum.ru

И философии математики

Вид материалаУчебное пособие

Содержание


О наглядности.
О локальности.
Об эффективности.
Философия математического реализма
Подобный материал:
1   2   3   4
Глава II. Методическое обоснование математики


§ 1. Периоды исторического развития математики


Историческое развитие математики академик Андрей Николаевич Колмогоров делит на четыре периода (14, 15). Первый период - Зарождение математики (до VI-V вв. д.н.э.) - период накопления математических фактов, полученных в основном опытным путём. Второй период - период Математики постоянных величин (до XVI-XVII вв.); в этот период понятия математики начинают систематизироваться, обобщаться. Созданием буквенного алгебраического исчисления второй период завершается. Третий период - период Математики переменных величин (до XVIII-XIX вв.). Понятия переменной величины, функции, предела, производной, интеграла и т.п. определяют облик третьего периода. Четвёртый период - Математика переменных отношений (современная математика) - начался в конце XVIII века. Он характеризуется обобщающими понятиями и теориями, которые не являются непосредственным отражением опыта, а представляют собой продукты и потребности уже внутреннего развития самой математики - теория групп, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ, теория категорий, теория доказательств и др. Разумеется, делить историю математики на исторические периоды можно и другими способами, но это, можно сказать, есть классическое деление, оно ясно и отчётливо показывает историческую тенденцию развития математики от исходного статичного состояния к более динамическим состояниям. Можно, например, делить математику по историческим периодам, следующим способом: I. Математика без аксиом и абстракции (до VI-V вв. до н.э.); II. Математика с категорическими аксиомами и абстракциями (до XIX в.); III. Математика с некатегорическими аксиомами и с категорическими абстракциями (с XIX в.); IV. Математика с некатегоричными аксиомами и абстракциями.

Сначала идёт достаточно примитивный сбор отдельных, локальных, простых математических фактов; в этом процессе нет глобальных и глубоких связей, закономерностей, нет системы, нет движения от одного математического объекта или явления к другому, нет механизмов, задающих или подготавливающих изменение, развитие, нет времени, всё статично. Говоря образно, Зарождение математики есть лишь обработка почвы для взращивания на ней Древа Математики. Затем появляются постоянные величины - своеобразные, «окостенелые скелеты» будущих переменных величин. Если переменные величины имитируют изменение, движение, то постоянные величины - прообразы переменных величин - изображают лишь застывшую букву, константу. Вместе с тем, Математика постоянных величин уже является системой, наукой, а не справочником формул для измерений и вычислений. Постоянные величины не могли не привести математику к переменным величинам, и привели. Это создало условия для моделирования изменения, движения, времени. Математика постоянных величин - ствол Математики. Он достаточно твёрд, статичен, но всем корпусом, методично и бесповоротно растёт во времени! Наконец, появляются переменные величины - своеобразные «агенты Времени». В математике начинается благоприятная экспансия Времени, но пока только на описательном уровне. Это уже даёт сильный результат - на математическую арену выходят Дифференциальное и Интегральное исчисления. Начинается эпоха Математического Анализа. Математика как наука расцветает и разветвляется. Появляются условия для моделирования изменения и движения, различных по своей природе объектов и явлений. Статичная математика постоянных величин возникла как естественная систематизация, улучшение, дополнение, расширение, обобщение и резюме статичной математики первого периода. Аналогично, должен был формироваться и последний период развития математики, как период систематизации, улучшения, дополнения, расширения, обобщения и резюме «внешне-динамичной» математики третьего периода. И этот период возник. Это - Современная математика. Есть и другое название - Математика переменных отношений. В этой математике изменения имитируют не только математические объекты, но и математические отношения. Например, в выражении xΔy (x, y - числа, а Δ - знак арифметического действия «+» или «-») x и y - переменные величины, Δ - переменное отношение. В Математике переменных величин отношения между числами были всегда постоянными, а в Математике переменных отношений они уже могут быть переменными. Иначе говоря, экспансия Времени в математике стала распространяться и на отношения между объектами. Но это ещё не всё, на что способно Время в математике. Оно нынче отчаянно усиливает своё присутствие в математике и наиболее яркий знак тому - компьютерное моделирование…. Нет оснований, считать, что всё это закончится. Основная история математики впереди. Вероятно, мы вскоре вступим в Пятый период исторического развития математики – в Математику переменных формул (5-10) В этой математике подвергаются конструктивному пересмотру математические абстракций (например, абстракция отождествления). В начале, под влиянием впечатляющих успехов информатики, казалось, что Пятый период, скорее всего, есть период машинной математики. Но великий австрийский математик Курт Гёдель ещё в 1931 году доказал гениальную теорему о неполноте (25, 28 и др.), о том, что полностью невозможно формализовать даже арифметику. Поскольку языки программирования представляют собой формализованные тексты, то из теоремы Гёделя следует, что «машинная математика» не способна выразить полностью даже содержательную арифметику, поэтому она «генетически» не может быть следующим периодом исторического развития математики: каждый следующий период включает предыдущую. Но не исключено, что на такое будут способны возможные будущие компьютеры, созданные не на технической, а на биологической основе (так, как это сделал Бог: ему виднее!). Обратим внимание на колмогоровское деление математики на периоды её исторического развития:

I. Зарождение математики;

II. Математика постоянных величин;

III. Математика переменных величин;

IV. Математика переменных отношений.

Во Втором периоде величины в математике постоянны, т.е. математика в целом «статична». В Третьем периоде, наряду с постоянными величинами появляются переменные величины, т.е. математика уже частично «динамична». В Четвёртом периоде появляются другие «динамические объекты» - отношения. Эти объекты ранее были исключительно «статичными», постоянными. Теперь же они могут быть также переменными. Ясно наблюдается общая историческая тенденция развития математики: По мере своего исторического развития математика становится всё более динамичной, в частности, в ней всё больше усиливается влияние фактора времени.


§ 2. Проблема введения аксиоматического

метода в школьный курс математики


Аксиоматический метод - способ построения научной теории, при котором некоторые исходные высказывания считаются истинными без доказательств, а все остальные высказывания теории получаются из них как логические следствия. Эти исходные высказывания называются аксиомами. Аксиоматический метод делят на три типа: содержательный (материальный, неформальный), полуформальный и формальный. Аксиоматический метод содержателен, если свойства основных (вводимых без определений) понятий определяются до введения аксиом. Аксиоматический метод полуформален, если свойства основных понятий определяются посредством аксиом. В обоих случаях используется обычная аристотелевская логика, без её явного представления. Аксиоматический метод формален, если свойства основных понятий определяются посредством аксиом и точно описываются средства и правила употребляемой логики. Формальный аксиоматический метод является способом построения формальных теорий.

Подчеркнём тот факт, что аксиоматический метод в арифметике, по сравнению с геометрией, стал применяться значительно позже. Только в конце XIX века была окончательно разработана система аксиом арифметики натуральных чисел (Пеано). Эта историческая тенденция не может не учитываться при введении аксиоматического метода в курс математики средней школы: на аксиоматической основе пока строятся лишь учебники геометрии.

Аксиоматический метод зародился в работах древнегреческих учёных - Зенона, Евдокса, Аристотеля и др. Приоритет применения аксиоматического метода в математике принадлежит Пифогору и его школе. Наиболее совершённый вариант аксиоматического метода в Древней Греции был сформулирован в «Началах» Евклида (12). Тогда фундаментом и методологией математики представлялась геометрия. Поэтому строгое, т.е. аксиоматическое построение геометрии вызывалось потребностями всей математики. «Начала» Евклида включали в себя все основные разделы математики того времени. Евклид и его школа, по-видимому, представляли в «Началах» те теории, которые, по их мнению, определяли главный путь развития математики. Подобно этому в «Начала» Бурбаки (1 и др.) внесены не все основные разделы математики. Аналогия между «Началами» Евклида и Бурбаки просматривается не только в принципе выбора содержания, но и в методологии (точнее - в её исторической необходимости). Греческая цивилизация к III веку до н.э. подготовила почву для определения общего и наиболее строгого для того времени способа построения математической теории - аксиоматического метода (в евклидовом понимании). «Начала» Евклида возникли как историческая необходимость: стало необходимым, вследствие накопления огромного фактического материала, построение геометрии, как основы математики, наилучшим по тому времени способом. Аналогично, европейская цивилизация к XX веку создала все предпосылки для формирования уточнённого (гильбертовского) варианта аксиоматического метода. Бурбаки излагает математику с качественно новых позиций строгости - с точки зрения гильбертовского формализма. Первый (евклидовский, содержательный) и второй (гильбертовский, формальный) варианты аксиоматического метода находятся между собой в отношении экспликанда и экспликата соответственно (для экспликации первого варианта аксиоматического метода потребовалось более двух тысяч лет!). Эта экспликация - результат действия диалектического закона отрицания отрицания. Повторное отрицание возвратило вновь к аксиоматическому методу, но более совершённому. Первые предпосылки для перехода от содержательной аксиоматики к формальной создала геометрия Лобачевского (17, 18, 20, 21 и др.), повлекшей за собой новый (полуформальный) тип аксиоматического метода. Евклидовский вариант аксиоматического метода есть качественный скачок в развитии математики Первого периода; он был основой методологии математики Второго периода и лишь переход к математике Третьего периода создал необходимость в его пересмотре, что окончательно было осознано в XIX веке.

При решении проблемы введения аксиоматического метода в курс школьной математики поочередно возникают ряд вопросов:

1) Целесообразно ли вводить аксиоматический метод в курс школьной математики? При положительном решений этого вопроса возникают другие: 2) Какие разделы школьного курса математики и 3) с какого класса (возраста) можно построить на аксиоматической основе? 4) Какой тип аксиоматического метода (содержательный, полуформальный, формальный) можно использовать в школе? 5) Какую методику эффективнее применять для создания у учащихся представлений об аксиоматическом методе? 6) Какая система аксиом лучше (методически) для построения, скажем, школьного курса планиметрии?

Рассмотрим эти вопросы.

Вопрос о целесообразности введения аксиоматического метода в курс школьной математики долгое время был объектом дискуссии. Высказывались самые разные мнения. Часть математиков полагало, что в школе аксиоматике, даже (и тем более несовершённой) совсем нет места, она способна только запутать учащихся и помешать созданию в их представлении правильных понятий (19), что акцент, поставленный модернистами на аксиоматике - это искажение не только педагогическое (что довольно очевидно), но также чисто математическое (27). Но многие считали, что всё более широкое распространение получает и, возможно, получит и в дальнейшем аксиоматический метод. И, видимо, надо вводить в школьный курс элементарное знакомство с простейшими аксиоматическими системами (22, 23). И т. д. При решении этой проблемы имелось в виду, что: а) аксиоматический метод в развитии науки носит объективный характер; спиралеобразная форма развития аксиоматического метода усиливает его восприятие как исторической необходимости, неизбежности, б) все философские учения по вопросам обоснования математики, независимо от того, какое значение они придают аксиоматическому методу, при действительном построении математической теории, не обходятся (и не могут обходиться!) без аксиоматического метода, в) аксиоматический метод - достояние не только математики, но и других наук - механики, физики, биологии, лингвистики и др.; он является основным орудием построения научных теорий, поэтому введение аксиоматического метода в школу диктуется потребностями не только математики, но и других наук, научно-технического прогресса в целом; г) аксиоматический метод в математике (особенно - в геометрии) никак не является модернистским перегибом: перегнуть можно на способе введения, но не на объекте введения, который в геометрии эффективно функционирует уже более 2000 лет! Именно поэтому успешное введение аксиоматического метода в курс школьной геометрии представляется возможным. Действительная сложность аксиоматического метода заключается в его метаматематических и философских вопросах, а чисто дедуктивный аспект - та сторона аксиоматического метода, с которой сталкивается школьник, в основном, вполне доступна общеобразовательной школе. Реальная проблема такова: как и в каких пределах следует ввести аксиоматический метод в школьный курс геометрии? Перечисленные доводы в пользу введения аксиоматического метода в школу подкрепились успешным практическим преподаванием соответствующих курсов. Построенный на аксиоматической основе курс школьной геометрии теперь мало у кого вызывает сомнения. Критика таких курсов обычно не ставит вопроса о полном исключении аксиоматического метода из школы. Видный французский математик Ж.А. Дьедонне писал: «…пока детям не исполняется пятнадцать лет, никакая аксиоматическая система не должна вводиться в школу» (11, с. 20). Опыт советских, российских, многих зарубежных, в том числе французских школ уточнил взгляд Дьедонне - показал, что аксиоматический метод в школу можно ввести раньше - с 12-13 летнего возраста, лучше, в неявной форме и достаточно локализованно. Но уже к 15 годам этот неявный механизм можно несколько проявить. Разногласия вызывал также вопрос о выборе математической теории для аксиоматического построения на школьном уровне. Некоторым математикам представлялось более целесообразным знакомство с такими аксиоматическими системами, как группы, кольца, поля, а не с аксиоматическим изложением геометрии, так как оно очень громоздко (22). Но эта логичность поверхностна, лишь кажущаяся, не дошедшая до глубины проблемы, не учитывающая диалектику развития математики, исторические и методические особенности аксиоматического метода. Такой подход нарушает принцип историзма, что часто намного важнее в методических вопросах, чем буквальная имитация логического порядка и итогов развития; «…лучший способ вести умственное развитие индивидуума - заставлять его пройти умственное развитие человеческого рода, пройти, естественно, его большие линии, а не тысячи мелких ошибок. Этот генетический принцип может нас предостеречь от распространённого смещения: если А предшествует логически В в определённой системе, может, однако, быть оправданным прохождение В перед А в преподавании, тем более если В исторически появилось раньше А. Вообще мы можем ожидать больший успех, делая то, что нам подсказывает генетический принцип, чем следуя чисто формальной концепции математики» (24). Именно в построении школьного курса геометрии, как ни в одной другой области, оправдано следование принципу историзма: огромное во времени опережение в применении аксиоматического метода в геометрии, по сравнению с другими разделами математики, даёт приоритет аксиоматическому построению современного школьного курса геометрии, что принято и реализовано почти во всём мире. Разумеется, в школе речь может идти не о строгом аксиоматическом курсе, а о курсе «на аксиоматической основе» или «с локальной аксиоматикой» и с т.п. издержками. Приоритет школьной геометрии над алгеброй в аксиоматическом методе основывается не только на принципе историзма. Здесь, по всей вероятности, имеем дело не со случайными обстоятельствами, а с глубинными закономерностями развития природы, бытия и познания, что и определяет выбор. Существенно и то, что геометрия несёт в себе практически неисчерпаемые физические и философские заряды. Этим неформальным потенциалом, видимо, обусловлен её исторический (даже познавательный) приоритет над алгеброй. Ключевое положение и великая роль геометрии остерегает от поспешных заключений по методике её построения и преподавания. Если мы определились, что школьная геометрия должна быть построена «на аксиоматической основе», то это ещё не решение проблемы, даже не начало решения, поскольку начало предполагает направление движения, а не всего лишь одну стационарную точку.

В 1962 году Международный симпозиум в Будапеште по вопросам преподавания математики признал необходимым рассмотрение проблемы введения аксиоматического метода в курс школьной математики и внёс соответствующие рекомендации: Важно выяснить, в какой степени может быть введён аксиоматический метод, являющийся основным средством научных исследований; Каким путём вводить аксиоматический метод в его современном звучании? (13). Эти проблемы полностью ещё не решены, хотя преодолены многие трудности.

Какой тип аксиоматического метода (содержательный, полуформальный, формальный) следует ввести в курс школьной математики? В современных школьных учебниках геометрии понятия, как правило, делятся на основные (применяемые без определения) и неосновные (вводимые посредством определений); свойства основных понятий определяются посредством аксиом. Значит аксиоматический метод в школьном курсе геометрии, в сущности, полуформален. Этот полуформальный тип аксиоматического метода по традиции и методическим соображениям связывается с конкретной (евклидовой) интерпретацией, с которой началась геометрия в Древнем мире, и, фактически, подаётся ученику как содержательный. Насколько разумно это хитроумное переплетение полуформального и содержательного методов, пока до конца объективно оценить трудно, но по нашему мнению, некоторые положения должны быть улучшены. Ученик может заметить (плохо, если не заметит), что основные понятия хоть и не определяются, но изображаются определённым образом. Необходимо достичь того, чтобы ученик не принимал описание предмета за его определение. Это различие в учебниках, как правило, не объясняется: оно понимается по умолчанию. Возможно, так и надо: не всю математическую кухню следует и возможно явно вносить в учебник. В таких случаях мы можем полагаться на внимательность и профессионализм учителя. В этом контексте возникает вопрос: следует и возможно ли довести ученика до понимания того, что основные понятия можно изображать иначе? Думаем, что такого понимания, без чего непостижима ни сущность основных понятий, ни, тем более, сущность аксиоматического метода «в его современном звучании», можно добиться в итоге изучения курса геометрии основной школы. Точка зрения, что «представление об основных понятиях получено в результате абстракции из реальных объектов» есть материалистическое понимание основных понятий. Такое представление об основных понятиях ученику можно давать. А учителю? Он может подумать, что в результате абстракции авторы разных учебников получили разные представления об основных понятиях. В таком случае следует признать субъективный характер представлений об основных понятиях, считая объективной лишь необходимость в основных понятиях. Об основных понятиях, обычно, в методических рекомендациях для учителей отмечается, что, давая определение какому-либо понятию, мы используем другие, уже известные нам понятия. Для учителя этого мало. Не говорится об относительном характере основных понятий. Эту относительность можно комментировать, сравнивая основные понятия в разных учебниках. Например, отрезок в учебнике геометрии под редакцией академика А.Н. Колмогорова - неосновное понятие, в учебнике геометрии академика А.Д. Александрова и др. – основное понятие.

Не погрешим истиной, если скажем, что построенный на аксиоматической основе школьный курс геометрии, при надлежащей методике, может быть вполне доступным среднему ученику. Перспективность же построенного на аксиоматической основе школьного курса геометрии, думаем, не должна вызывать сомнения: аксиоматическое построение повышает научный уровень школьной геометрии, сокращает разрыв между школьным курсом математики и математической наукой, придаёт предмету вид систематизированной дедуктивной науки, развивает логическое мышление, способность к абстракциям и т.п. Есть причины, снижающие эффективность преподавания геометрии: недостатки программ и учебников, нехватка высококвалифицированных учителей и др. Но вряд ли к недостаткам учебников можно отнести аксиоматический метод. Наоборот, мы считаем, в соответствии с результатами преподавания по учебникам геометрии на аксиоматической основе и тенденцией развития аксиоматического метода от содержательного типа к формальному типу, что необходимо не вытеснение аксиоматического метода, а его дальнейшее приближение к общеобразовательным нуждам. «В течение последних десятилетий школа Бурбаки во Франции предприняла, достойную восхищения, попытку изложить математику как аксиоматическую конструкцию, покоящуюся на одном общем фундаменте. Эта попытка оказала существенное влияние на реформу преподавания в университетах. В какой мере школьному преподаванию следует учитывать эти тенденции, представляет собой спорный вопрос», - писал выдающийся финский математик Р. Неванлинна (26). Мы наметили, в некоторых общих чертах, в какой мере наш подход к проблеме введения аксиоматического метода в курс школьной математики, может учитывать наиболее положительные и объективные моменты в тенденциях, развитых школой Бурбаки. Нельзя бурбакистские тенденции в целом брать за ориентир: это опасно. Затея школы Бурбаки состоялась как теоретическая программа, и то с большими претензиями, но не как установка к практическим действиям. Вопрос о том, какая система аксиом планиметрии лучше приспособлена к школьным нуждам, для нас решён в пользу гильбертовского типа аксиоматической системы, восходящей к «Началам» Евклида. Эта система в «школьном варианте» достаточно привычна, достаточно удобна для первого знакомства с геометрией и, вместе с тем, достаточно перспективна в научном плане. К новым математическим версия евклидовой аксиоматики в школе надо относиться крайне консервативно. Новое оправдано, если оно лучше.


§ 3. Сочетание аксиоматического

и генетического методов в школьном курсе

геометрии


Обоснование математического анализа, открытие неевклидовых геометрий, теории групп, теории множеств и других обобщающих систем привело к строгому научному пересмотру оснований, основных методов и методологии математики. Стремление к строгости, научной обоснованности и системности в математике отразилось и на преподавании. Существенные практические шаги к модернизации математического образования были сделаны во второй половине XIX века и в начале XX века. Однако вскоре наблюдалось ослабление этого движения. Вот что писал по этому поводу итальянский педагог-математик Ф. Энриквес: «В настоящее время поднялось широкое движение против традиционного строя школы и традиционных педагогических систем. Фактором этого движения являются с одной стороны более высокие и разнообразные потребности практической жизни и связанные с ними более широкое распространение и демократизация культуры, а с другой стороны новое понимание науки, которое правильнее оценило значение наблюдения и опыта по сравнению с логическими процессами» (29, с. 25). Эти мысли актуальны и сегодня. После некоторого ослабления теоретизации школьного курса математики, отмеченного Ф. Энриквесом, началось новое модернистское движение. В СССР модернизация школьного курса математики достигла своей кульминации в 70-х годах ХХ века. Во второй половине 80-х годов XX века это движение пошло на спад. Наметилась тенденция к снижению теоретического уровня школьного курса математики и усилению его наглядности, доступности и практичности. Возможно, со временем будет допущен перегиб в сторону наглядности и нанесён ущерб научности. Тогда вновь начнётся движение за усиление строгости и приведения курса математики в соответствие с научно-техническим прогрессом, по известной схеме: «развитие, как бы повторяющее пройденные уже ступени, но повторяющее их иначе, на более высокой базе («отрицание отрицания»), развитие, так сказать, по спирали, а не по прямой линии». Движение в начале XX века за наглядность, доступность и практичность в построении и преподавании школьного курса математики - предыдущий цикл аналогичного движения конца восьмидесятых годов. Поэтому принципы, наиболее глубоко и отчётливо выделенные Ф. Энриквесом, созвучны принципам, выработанным "на более высокой базе". Усиление теоретического уровня в школьной математике влечёт за собой усиление формально-логических методов. В частности, для школьного курса геометрии (первой половины XXI века), это, скорее всего, приведёт к дальнейшему раскрытию аксиоматического метода в нём, но не в сторону развития его абстрактности и формализации, а, скорее, в сторону усиления логичности, алгоритмического порядка в формулировках и содержательного понимания основного метода дедукции. Таков наиболее естественный ход процесса усиления теоретизации школьной геометрии. Но это - лишь предположение, «воспоминание о будущем». Ослабление теоретического уровня школьной математики, естественно полагать, компенсируется усилением содержательных-интуитивных методов. Для школьного курса геометрии это означает, в частности, усиление исторического и генетического методов в нём. Возникает проблема сочетания аксиоматического и генетического методов в школьном курсе геометрии. Изложение, например, школьного курса геометрии для первого года обучения, когда ученик только знакомится с новым и сложным предметом, должно существенно отличаться от изложения материала в последующих классах, когда уже накоплен опыт по изучению геометрии, имеются соответствующие знания и, что также немаловажно, ученики стали на год старше. В современных школьных учебниках геометрии понятия аксиомы, теоремы и доказательства вводятся, как правило, в начале курса планиметрии (иногда - в начале аксиомы называются основными свойствами, в дальнейшем они переименовываются в аксиомы); с самого начала курс строится, в сущности так, как принято в математике - приводятся аксиомы и выводятся теоремы. Это настолько привычно и естественно в математике, что обычно не ставится под сомнение целесообразность такого порядка изложения геометрии в общеобразовательной школе. Фактически мы идём явным аксиоматическим путём. В преподавании математики теоретически часто предпочтение отдаётся методам исторической и генетической природы, но обычно дело не доходит до практического построения курса математики на их основе. Это очень трудная проблема и в отдельных вопросах, быть может, вовсе неразрешимая. Очевидно, проще строить курс математики в соответствии с его логической конструкцией. Чрезмерное соблюдение временной и генетической субординации может разрушить внутреннюю гармонию такой «вневременной» и логичной науки, как математика. Но не так уж просто определить эту меру - методически наиболее оптимальную линию между историко-генетическим и формально-логическим порядками. Трудно определить гармоничное, наиболее эффективное сочетание между этими важнейшими факторами. Варьировать можно лишь в пределах такой гармонии, если удастся её хоть приблизительно определить. Так не только упрощаем строительство школьного курса геометрии, но и сохраняем единство метода построения курса геометрии в школе и вузе (плюс к тому, получаем положительный методический и педагогический эффект). Это существенный момент, который, полагаем, должен учитываться при любом способе построения школьного курса математики (геометрии). Преемственность метода требует аксиоматического подхода и в школьном курсе геометрии, поскольку солидные вузовские курсы полагается строить по научному образцу - аксиоматически. В курсе математики, в особенности, в школьном курсе геометрии, видимо, требуется некоторое сочетание методов. Если построить школьный курс геометрии главным образом на основе генетики понятии и историзма, то предмет станет более доступным. Однако возникнет огромная пропасть между общеобразовательным и научным курсами геометрии. Этим искусственно создаётся отставание от науки, от научно-технического прогресса. С другой стороны, следование в общеобразовательном курсе геометрии, главным образом, аксиоматической концепций создаёт серьёзные педагогические трудности в плане доступности излагаемого материала. Мы возражаем против крайностей: в школьном курсе геометрии требуется умелое, тонкое сочетание аксиоматического и генетического методов. Игнорирование любым из этих методов чревато глубокими отрицательными научными и педагогическими последствиями. Советские учебники геометрии 70-х годов делали перегиб в сторону аксиоматического метода. Это - одна из основных причин их одичания. Как сочетать аксиоматический и генетический методы в построении школьной планиметрии, чтобы это сказалось положительно на доступности учебника и не влияло отрицательно на его научную перспективу? Правильные ответы на эти вопросы, должно быть, откроют немалые возможности для усовершенствования учебников. Отметим, что введение понятия всегда и на основе их истории и генетики, довольно громоздкое занятие и, в буквальном смысле, практически часто нереализуемо (можно надеется лишь на локальную реализуемость). Учитель может говорить о происхождении понятия, о его генезисе, но превращение истории и генетики объекта в глобальную систему в самом курсе, займёт много места и лишит математику специфичных (особенно - современных) черт. В аспекте аксиоматического построения школьного курса геометрии основные претензии имеются у нас к первому году обучения планиметрии. Именно тогда необходимо отказаться от привычного порядка введения понятий «аксиома», «теорема» и «доказательство». Эти понятия и сами термины должны быть введены не в начале, а в конце учебного года, когда уже накоплен достаточный геометрический материал, известны многие геометрические факты и способы их обоснования. Вот здесь-то и нужно свойства фигур, которые были приняты, как очевидные, без обоснования, - называть аксиомами, свойства фигур, которые были обоснованы посредством рассуждений - теоремами, а обосновывающие их рассуждения - доказательствами, - и всё это комментировать на уже известном материале. Годичный опыт изучения геометрии создаст все предпосылки для содержательного усвоения понятий «аксиома», «теорема» и «доказательство». В течение года мы изучаем геометрические фигуры, их сочетания и обнаруживаем, во-первых, простейшие (основные) их свойства (аксиомы), отмечаем эти свойства. При дальнейшем изучении фигур пользуемся этими свойствами, изучаем новые свойства - теоремы, отмечаем их и т. д. В 7 классе (только в этом классе) мы не объявляем теорему, а потом её доказываем, а при рассмотрении фигур обнаруживаем те или иные их свойства. И в конце, после того, как получено некоторое свойство, его записываем, то есть последовательно, естественным образом приходим к факту. Здесь доминирует подход, который называем естественно-логическим, а аксиоматический механизм, хоть и действует, но в основном неявно, не затмевая наглядно-содержательную сторону геометрии. Это не приведёт к зловредным цепным реакциям, которые могли бы спровоцировать «выброс радиации»: мы не доходим до опасных глубин, а производим лишь лёгкую внешнюю косметическую операцию, чтобы сделать курс 7 класса более приятным для восприятия. Однако, по нашему опыту и убеждению, уже через год следует перейти к традиционному способу изложения материала на явной аксиоматической основе. В 8-9 классах мы уже пользуемся явным аксиоматическим методом, но с оговорками: этот метод должен быть: 1) достаточно наглядным, 2) локальным (по крайней мере, не глобальным в реализации) и 3) обеспеченным эффективной методикой.

О наглядности. Акцент на наглядности аксиоматического метода ставится сразу с неявным, но фактическим его введением. С самого начала курса. Но эта наглядность принимает ощутимую форму лишь после введения понятий «аксиома», «теорема» и «доказательство» в конце курса 7 класса (первого года обучения геометрии). Это соответствует тому историческому факту, что геометрия как наука существовала, по крайней мере, 300 лет раньше, чем она была изложена как аксиоматическая система.

О локальности. Все школьные курсы геометрии (да и многие вузовские), построенные на аксиоматической основе, являются локально-аксиоматическими. Глобальная (повсеместная, тотальная) аксиоматизация - не задача школьного уровня. Но локальная аксиоматизация колеблется в довольно широких пределах. Представляется наиболее оптимальным следующий подход: в первый год аксиоматический метод у нас неявный, а в дальнейшем - локально-наглядный (не категорично-глобальный);

Об эффективности. Методическая эффективность аксиоматического метода усиливается его «переносом» с начала курса 7 класса (первого года обучения геометрии) в его конец и адекватными методическими разработками (20-22). В конце курса 7 класса в специальной главе, уже на существующем фактически геометрическом материале и опыте определяются первоначальные аксиоматические понятия – аксиома, теорема и доказательство. Первый год обучения геометрии - самый трудный и ответственный. Опираясь в первый год на естественно-логический метод и следующие из него доступность, естественность предмета, можно многих учеников сберечь от нелюбви к математике. Это имеет существенное значение особенно для средних учеников, которых большинство. Наш подход активизирует именно эту часть учащихся. В век научно-технического прогресса (в частности, широкой математизации и компьютеризации, проходящей, образно говоря, по геометрической прогрессии), эта часть учащихся всё шире включается в освоение научно-технических знаний.


§ 4. Уроки реформ 70-х годов XX века

в СССР


Прежде всего, надо с горечью вспомнить опустошительные «идеологические реформы» 20-х годов ХХ века в СССР, когда тотально уничтожалась средняя школа. Отметим, что эти низкопробные, ничем не обоснованные «реформы» последовали за историческими Всероссийскими I и II съездами учителей математики 1912-1914 годов. Содержание докладов этих съездов говорит о высоком уровне и разнообразии методической мысли в дореволюционной России (16). И всего через 5 лет эта мысль (соответственно - школа) опускается на трагический для страны низкий уровень. К 1930 году власти находят в себе силу волевым путём свернуть образование на традиционный путь, который обеспечил советскому народу ряд блистательных побед. Это - индустриализация страны, победа над фашизмом, выход на передовые рубежи научно-технического прогресса, завоевание Космоса… Главное – создание в стране довольно высокого морально-нравственного климата. Однако… в 1960 г. был объявлен конкурс на новые школьные учебники по математике. В 1965 г. были объявлены результаты, но новые учебники оказались скоропостижными. Несмотря на многочисленные педагогические эксперименты, до конца 60-х годов всё было относительно стабильно. Но методическая мысль искала новые пути. Было два пути: I. Усиление практической направленности; II. Усиление теоретической направленности. Первый путь привёл к отрицательным результатам ещё 40 лет тому назад (в 1929 г.), хотя впоследствии мы хронически возвращались на этот путь. Оставался второй путь. Но в теоретической части наших учебников, в целом, всё было в порядке. Тогда была выдвинута идея модернизации школьного курса математики, её приведение в соответствие с научно техническим прогрессом. «Жгучая» необходимость в «современном озвучивании» школьного курса математики открыла огромный простор для научной (ещё больше - псевдонаучной) деятельности. Вся страна с невероятным рвением кинулась писать диссертации по методике преподавания! Большинство диссертантов было уверено в том, что делают важное и нужное дело. Но уже через 10 лет, почти всем стало ясно, что, в сущности, мало хорошего было сделано. Судя по выступлениям советских школьников на Международных математических олимпиадах в 60-80-е годы и успехи наших учёных-математиков, уровень подготовки наших школьников по математике был самым высоким или одним из самых высоких в мире. Тогда спрашивается: для чего были нужны коренные реформы школьного математического образования? Зачем ломать хорошее? Лучшее?!

«Теоретико-множественную» модернизацию школьного математического образования санкционировали и стимулировали международные математические конгрессы: Амстердам, 1954 г., Стокгольм, 1962 г., Москва, 1966 г.. другие научные форумы, министерства образования, научно-педагогические органы, видные учёные. И, особенно, этому способствовала деятельность группы видных французских математиков, выступающих под псевдонимом Никола Бурбаки, которые построили почти всю математику на аксиоматической основе, на языке теории множеств (1 и др.), с пониманием математики «как науки о математических структурах и их моделях». Такой подход не мог определить математику раз и навсегда, и не определил: «математика - наука о математических структурах» - высказывание, во-первых, содержащее порочный круг; математика определялась через… математику. Во-вторых, зачем надо было с не устоявшимися, не общепризнанными понятиями давить на школу? К тому же учение Кантора о множествах противоречиво: в «наивной» теории множеств существуют неустранимые подлинные парадоксы. А школьный курс математики, ввиду своего общеобразовательного характера, может иметь дело только с интуитивной, содержательной (т.е. противоречивой) теорией множеств. Да и непротиворечивость аксиоматической теории множеств осталась недоказанной. Одним словом, в 70-х годах ХХ столетия противоречивая теория была превращена в методологическую базу школьного курса математики. Чтобы можно было двигаться по второму (теоретико-множественному) пути надо было, по крайней мере, семь раз ошибаться: 1) Советская система образования очень плохая (что явная неправда) и поэтому требуются коренные реформы; 2) Научно-технический прогресс требует созвучные ему школьные курсы по математике (здесь не ясно, что созвучно научно-техническому прогрессу на школьном уровне и почему оно должно быть созвучным?); 3) Методология школьного курса математики должна быть идентичной методологии современной математики (именно эта утопическая идея и привела к негативным последствиям при проведении самой реформы в 70-х годах); 4) Теоретико-множественная методология не чревата противоречиями (однако, чревата); 5) Наиболее подходящим и перспективным языком для школьного курса математики является язык теории множеств (такой методологический выбор есть следствие неправильного истолкования самих целей обучения математике); 6) Дедуктивные психологические теории, призванные обосновать непомерно теоретизированный курс, являются самыми адекватными в преподавании математики (вновь сомнительное истолкование целей обучения математике); 7) Педагогический эксперимент по реализации теоретических учебников подтверждал их высокую продуктивность (практика использования таких учебников в школе показала обратную картину).

Итак, приняв за истину приведённую выше систему «постулатов», реформа 70-х годов в СССР по математическому образованию зашла в тупик. Нам остаётся учиться на уроках этих реформ.

Завершим нашу экскурсию в мир проблем математического образования словами выдающегося французского математика Р. Тома: «Если я был суров по отношению к модернизму, то я вовсе не хотел сказать, что всё, что было привнесено этим движением, должно быть зачеркнуто. Несомненно, что возвращение к прежнему невозможно. В новом движении есть положительные моменты, которые должны быть сохранены» (27, с. 17). К важнейшим положительным достижениям модернизации школьной математики, я бы отнёс следующее: обновление языка изложения, повышение его научной культуры, усиление идеи переменной величины и функциональной зависимости, введение идеи аксиоматического метода, введение симметрии, векторов и др.


Литература


  1. Бурбаки Н. Теория множеств. - М.: Мир, 1965.
  2. Ваганян В. О. Геометрия 7. Пробный учебник. - М.: Интеллект-Центр, 2000.
  3. Ваганян В. О. Геометрия 8. Пробный учебник. - М.: Паимс, 2001.
  4. Ваганян В. О. Геометрия 9. Пробный учебник. - М.: Паимс, 2002.
  5. Ваганян В. О. Математика с параметром времени: N-арное правило //Актуальные проблемы современной науки. - М.: Спутник+, 2002. - № 4 (7).
  6. Ваганян В. О. Математика с параметром времени: T-анализ //Актуальные проблемы современной науки. - М.: Спутник+, 2002. - № 4 (7).
  7. Ваганян В. О. Математика с параметром времени: проблемы теории чисел //Актуальные проблемы современной науки. - М.: Спутник+, 2002. - № 4 (7).
  8. Ваганян В. О. Математика с параметром времени: рефлексивные парадоксы //Естественные и технические науки - М.: Спутник+, 2002. - № 2 (2).
  9. Ваганян В. О. Математика с параметром времени: аксиома параллельных //Естественные и технические науки. - М.: Спутник+, 2002. - № 2 (2).
  10. Ваганян В. О. Математика с параметром времени: аномальные явления //Естественные и технические науки - М.: Спутник+, 2002. - № 2 (2).
  11. Дьедонне Ж. А. Надо ли учить «современной математике?» //«Математика в школе», - 1976. - № 1; 2003, № 3.
  12. Евклид. Начала. Кн. I-XV. - M.: Гостехиздат, 1948-1950.
  13. Заключения и рекомендации международного симпозиума в Будапеште по вопросам преподавания математики //«Математика в школе». - 1963, № 3.
  14. Колмогоров А. Н. Математика. - БСЭ, изд. 2, т. 26.
  15. Колмогоров А. Н. Математика в её историческом развитии. - М.: Наука, 1991.
  16. Колягин Ю. М. Русская школа и математическое образование. - М.: Просвещение, 2001.
  17. Кутузов Б. М. Геометрия Лобачевского и элементы основания математики. - М.: Учпедгиз, 1955.
  18. Лаптев Б. Л. Лобачевский и его геометрия. - М.: Просвещение, 1976.
  19. Левин В. И. Некоторые вопросы преподавания математики в средней школе //«Математическое просвещение». – 1959. - № 4.
  20. Лобачевский Н. И. О началах геометрии //Об основаниях геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1956.
  21. Лобачевский Н. И. Полн. собр. соч. Т. 2. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
  22. Ляпунов А. А. Онтодидактика в математике //На путях обновления школьного курса математики. - М.: Просвещение, 1978.
  23. Ляпунов А. А. О фундаменте и стиле современной математики (по поводу статьи Н. Бурбаки) //«Математическое просвещение». – 1960. - № 5.
  24. Меморандум американских математиков //«Математика в школе». – 1982. - № 3.
  25. Нагель Э., Ньюмен Д. Теорема Гёделя. - М.: Знание, 1970.
  26. Неванлинна Р. Реформа в преподавании математики //«Успехи математических наук». - 2(134). Т. ХХII. 1967.
  27. Том Р. Современная математика - существует ли она? //«Математика в школе». – 1973. - № 1; 2003. - № 3.
  28. Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте. - М: Знание, 1982.
  29. Энриквес Ф. Замечания о преподавании научной геометрии. - СИБ, Физика, 1913.



Содержание


Глава I. Философское обоснование математики


§ 1. Парадоксы ---- 3

§ 2. Логицизм ---- 5

§ 3. Интуиционизм ---- 8

§ 4. Формализм ---- 9

§ 5. Математический реализм ---- 21


Глава II. Методическое обоснование математики


§ 1. Периоды исторического развития

математики ---- 27

§ 2. Проблема введения аксиоматического

метода в курс школьной математики ---- 31

§ 3. Сочетание аксиоматического и генетического

методов в школьном курсе математики ---- 40

§ 4. Уроки реформ 70-х годов XX века ---- 46


Литература ---- 51

Приложение I

Философия математического реализма ---- 55

Приложение II

Первоначальные понятия математики

с параметром времени ---- 63


Приложение I.


Философия математического реализма

(Концепция В.О. Ваганян)