Geum.ru

И философии математики

Вид материалаУчебное пособие

Содержание


Предпосылки математики с параметром времени
2. Реализм в математике
Математики с параметром времени
Подобный материал:
1   2   3   4

Предисловие



В этой работе излагаются первоначальные идеи математики, формулы которой зависят от параметра времени. В частности, вводится понятие производной по параметру времени, что открывает неограниченные перспективы для построения и применения нового математического анализа, основанного на производной по параметру времени – временного или t-анализа. Здесь самое необычное – введение в математику в качестве её категории времени, протекающее при записи математического текста и, в частности, вычисление производной по этому времени! Первые же полученные выводы применяются к знаменитым проблемам – к логическим парадоксам, к проблемам теории чисел, аномальным явлениям и др. интересным загадкам математики и естествознания; показывается, как они решаются или видоизменяются в математике с параметром времени. Метод решения и сама математика, зависящая от физического понятия времени, настолько не вписываются в современные представления о математике и ее методологии, что создают ощущение «выпада» из математики в... физику. Но это лишь видимость: корректное введение времени в саму структуру математики более плодотворно и адекватно законам физической реальности, нежели неестественное и молчаливое игнорирование в ней этим важнейшим фактором существования и функционирования мира. Понятием времени мы пользуемся и в обычной математике, когда абстрагируемся от него. А разумное введение времени в «ткань» математики позволяет «сократить» расстояние между математикой и действительностью, вплотную приблизиться к глубинным свойствам математических и физических объектов. Мы, фактически, закладываем первые камни в фундамент нового здания математики – Математики с параметром времени (МПВ). Эта («динамическая») математика есть обобщение обычной («статической») математики; исключив из математики с параметром времени параметр времени, получим обычную математику. Как и любое новое начинание, математика с параметром времени ещё недостаточно развита и достаточно порочна. Это естественно и нормально.

Введение



Все физические объекты подвержены изменениям во времени. Это - одно из самых существенных свойств физического мира. Поскольку научные теории призваны иметь также выход на практику (непосредственный или опосредованный), то они должны все шире и глубже учитывать указанное свойство. В теориях изменения во времени в той или иной степени лишь описываются. Сама же теория в процессе записи не подвергается изменениям во времени. Этим она противоречит сущности природы. Теория, учитывающая разность времени в разных экземплярах одной и той же формулы, дала бы о физическом мире больше информации. При построении теории «во времени» должны учитываться свойства времени. Естественно предположить, что в теории «во времени» должны существовать правила, которых не придерживаются в теории «вне времени». Не является ли отсутствие таких правил в обычных теориях фундаментальным упущением? Нет основания, предполагать, что эти упущения не порождают противоречия или неправильные (в смысле соответствия с действительностью) понятия, методы, утверждения... Рассмотрение теории «во времени» если возможно, то относительно: соответствующая метатеория - теория «вне времени»; если и метатеория рассматривается «во времени», то метаметатеория - теория «вне времени» и т. д. Ставится задача не изложения теории «во времени», а выявления метаматематических расхождений в основаниях теорий «во времени» и «вне времени». Интуитивное понятие теория «вне времени» на полноту не претендует: ясно, что теория «вне времени» вне времени не существует, следовательно, в теорию «вне времени» входит некоторый компонент времени. А теория «во времени», как бы ее ни построить, вряд ли сможет выразить все свойства времени. Традиционная (непостулированная) абстракция от времени значительная, но не полная, а «введение времени» в теорию хоть и эту абстракцию сужает (приближает теорию к действительности), но полностью не устраняет.


Предпосылки математики с параметром времени


  1. Проблема обоснования математики


Блестящее решение проблемы обоснования математики для своего времени было дано Евклидом. В новое время основаниями математики особенно интенсивно занимались «от Лобачевского до Гёделя». Но блистательного решения, как в древности, не получилось. И, видимо, не получится в обозримом будущем. Главное к чему мы пришли – осознание того, что математика: 1) не только логический вывод и логический вывод состоит не только из логических элементов; 2) не только интуитивное построение и интуитивное построение состоит не только из интуитивных элементов; 3) не только формальный метод и формальный метод состоит не только из формальных элементов. Математика – гибрид. Помимо логических, интуитивных, формальных корней, математика имеет реалистические и др. корни. Реалистические корни находятся не только и не столько в описании и имитации законов реальной действительности, что не ново, а также глубже, в текстах самой теории, в процессе их записи. Процесс предполагает время. Так что в этом срезе время становится уже категорией математической. В поисках логицистов, интуиционистов и формалистов, в качестве одного из основных движущих сил, неявно был поиск путей выхода времени из «математического подземелья». Теория типов понятия и объекты располагал на разных уровнях. Ничего не говорится о времени, но можно распространить идеологию теории типов и на время. Такое расширение внесло бы естественность в искусственный характер теории типов: непредикативные определения уже исключались бы не по определению, а из-за разности времени в математических объектах разных уровней. То есть иерархия времени в математических объектах обеспечила бы её относительность и тем самим исключила бы рефлексивные парадоксы. Логицизм могла прийти к таким правдоподобным и плодотворным гипотезам, но ограничилась построением псевдокитайского дома, где от пожара на II этаже I и III этажи не могут сгореть лишь потому, что это – пожар II этажа; он предназначен исключительно для II этажа. Логицизм как окончательная доктрина по обоснованию математики была обречена изначально: символы логических операций, как носители определённых форм, являются также формальными элементами; они имеют интуитивный смысл – являются интуитивными элементами. Это – корневые понятия, поэтому, с позиции платонизма, являются платоническими элементами. Удаление из логических операций и конструкций нелогических элементов делает несостоятельной не только теорию типов, но и логицизм в целом. Математика не может существовать без такого алогичного акта, как абстрагирование. Если абстрагирование считать логической процедурой, то это будет уже не сведением математики к логике, а наоборот. Так что логицизм родился без полных генетических данных обосновать математику. То же самое можно сказать о других доктринах. Интуиционизм не отделим от интуиции времени. Временной подслой в нём органически связан также с субоординативными порядками теории типов, поскольку одной из основных психологических предпосылок интуиционизма – независимость мысли от языка. Из языковой относительности следует, что такая независимость реализуема на логической части языка. А логическая часть очищается от рефлексивных парадоксов фильтром теории типов. От интуиционизма произошло конструктивное направление в математике, где было сформулировано понятие алгоритма. В теории алгоритмов время получает новый, «надстрочный» статус. Здесь мы неявно, но очень близко подходим к идее математики с параметром времени, но не доходим до неё, ограничиваемся насущными задачами.

Логика и интуиция – «костыли» формализма. Поэтому и формализм, опираясь на логику и интуицию, через них опирается на время. Форма и сама по себе, как отвлечённый от времени объект, содержит его в качестве условно удалённой своей части. В каких-то пределах приоткрывая эту часть, мы откроем грандиозные, неизведанные синтетические физико-математические миры. Любая составляющая математики корнями восходит к времени: в современной математике время как явное творящее ядро – насущная необходимость и практически неисчерпаемый потенциал новых идей и методов. Фундаментальные понятия математики, пребывающие согласно платонизму во вневременном мире идей, в нашей физической реальности могут перевоплощаться в формах, лишённых или не лишённых основного условия пребывания в материальной оболочке - времени. Второй случай более адекватен нашему миру, и естественно от него ожидать большей близости к законам нашего мира.


2. Реализм в математике


Математический реализм – концепция по основаниям математики. Её основная идея – рассмотрение математики во времени, в соответствии с изменениями её объектов во времени. Математический реализм базируется на некоторой (статической) концепции по обоснованию математики и продолжает её в динамическом направлении. В качестве исходной концепции выбирается та, которая по тем или иным причинам более целесообразна и обеспечивает достаточную (в данное время) строгость. Основная цель математического реализма – более глубокое, чем это доступно классической, логистической, интуиционистской, конструктивной, формальной и иным (статическим) математикам познание связей математики с действительностью, математизация этих связей, их всестороннее развитие и применение в и вне математики. Математический реализм не может обходить физический реализм, который отражается в математическом реализме не столько как перевод фактов наблюдения в (несущие дополнительную информацию) теоретические термины (точная и полная экспликация этой процедуры представляется несбыточной мечтой) или набор вариантов построения математического образа физической реальности, сколько как физическая реальность самого процесса построения математического текста. Математический реализм отличается от физического реализма, в частности, в вопросе природы парадоксов. Физические реалисты ограничивают мир, исключают, как и интуиционисты, актуальную бесконечность, чем связывают с виду забавные логические шутки (рефлексивные парадоксы) со строением Вселенной. Математический реализм может быть истолкован, в частности, как методология, обеспечивающая в перспективе максимально возможное объяснение реальности. Путь к такой цели лежит во времени: без придания времени статуса математической категории, математика останется генетически ограниченной в своём восприятии физической реальности. Математический реализм отношения математики и физической реальности не только расширяет далеко за пределы прикладной математики, не только превращает их в органическую часть теоретической математики, но и саму математику превращает в уникальную физическую реальность, сохраняя, вместе с тем, элитарный дух и абстрактный облик математики в своей первозданной красоте! Математический реализм, наряду с логическими, интуитивными, формальными и иными составляющими вводит «в оборот» в математике также реалистическую составляющую. Обычно учёт реальности в математике ограничивается построением более или менее адекватных физической реальности теоретических систем, которые в дальнейшем живут оторванной от реальности своей собственной абстрактной жизнью. И это типично для современной математики. Математический реализм, не нарушает эту специфику математики, а лишь обогащает её новым, хоть и внешне инородным, но очень действенным и богатым элементом – временем. МПВ (Математика с параметром времени) расширяет диапазон действия математики. Она не исключает современную математику, которая является её частным случаем, а продолжает её с качественно новыми «инструментами». Вопрос о том, является ли МПВ математикой, относится к философии. Ни один математик в мире не знает точного определения математики. Если нет общепринятого определения математики, то нет и критериев, определяющих, какое понятие принадлежит математике, а какое - нет? Так что, на логико-концептуальном уровне невозможно сказать, является ли МПВ математикой или нет? В таком случае научное существование МПВ так же правомерно, как и существование любой другой разновидности математики. Истинная задача МПВ не в том, какая она по качеству и статусу, а в том, насколько она полезна. МПВ создаёт прецедент использования в математике физического понятия. Такое расширение фундаментального и оперативного аппарата математики может оказаться не единичным и привести к новым синтетическим математическим теориям. Это не лишает обычную математику своего лица и положения, а параллельно открывает новые возможности и горизонты познания действительности.

Для начального ознакомления с элементами Математики с параметром времени можно прочитать Приложение II. Для более подробно ознакомления см. работы автора (5-10).


Приложение II.


Первоначальные понятия и применения

математики с параметром времени


(теория В.О. Ваганяна)