Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
1.1.3 Универсумы |
|
|
Пусть S - некоторое множество индивидов. Определение 1.1.2 Любое подмножество U суперструктуры S называется универсумом с индивидами S, если 0е U, S С U, x,y е U ^ {x,y} е U, для каждого A е U, x е A выполнено x е U. Первый важный факт об универсумах состоит в том, что построенная выше суперструктура SS является универсумом с индивидами S. Теорема 1.1.5 S - универсум с индивидами S. Предположим, что r и s два элемента суперструктуры S. Если r - отношение (соответствие) и существует единственный t е S, такой, что (s,t) е r, то пишем r(s) = t. В частности, если r является графиком некоторой функции (отображения), то r(s) обозначает значение этой функции в точке t. Во всех других случаях (если нет такого t или их имеется более двух, или r не является отношением), полагаем r(s) = 0. Важно, что любой универсум удовлетворяет следующему свойству замыкания : Теорема 1.1.6 Если U универсум и r, s е U, то r(s) е U и (r, s) е U, где (r, s) = {{r}, {r, s}} - упорядоченная пара. Далее всюду в этом разделе, когда мы говорим о стандартном универсуме с индивидами S, или просто о стандартном универсуме, обозначенном как U, то это означает, что рассматривается суперструктура S, т. е. полагается U := SS . Ниже излагается вариант конструкции другого, так называемого нестандартного универсума *U, индивиды которого включают элементы S и свойства которого тесно связаны со свойствами U. Итак, пусть F - некоторый нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел IN. Будем говорить, что некоторое свойство элементов из IN имеет место п. в. (почти всюду), или для почти всех n е IN, если множество чисел n, для которых это свойство выполнено, принадлежит F. При построении нестандартного универсума используются последовательности f = (fn)neiN, отображающие IN в U. Для каждого i G IN определим Zi как множество всех последовательностей f, отображающих IN в U, для которых fn G Si п. в. Наконец, пусть Z = U Zi. i?N Множество Z поставляет "сырьевые ресурсы" для конструкции нестандартного универсума *U. Далее отметим, это важно, что имеется естественное вложение стандартного универсума U в Z. Именно, отождествим элемент r G U с постоянной последовательностью r, т. е. положим rn = r для всех n G IN. Например, таким образом полагается, что 4 = (4,4,4,...) G Z0. Далее фиксируем любой нетривиальный ультрафильтр F на IN. Для двух последовательностей f и g из Zo положим f ~ g, если fn = gn почти всюду. Из определения ультрафильтра следует, что ~ является отношением эквивалентности на Zo. Теперь для f G Zo определим f = {g G Zo | g ~ f}. (1.1.2) Таким способом отношение ~ "расчленяет" Zo на дизьюнктные классы эквивалентности. Далее положим W = {*f I f G Zo}, принимая это множество в качестве совокупности нестандартных индивидов. Отметим, что из определения ультрафильтра и в силу вложения S в Zo следует, что для любых двух различных x, y из S выполнено *x = *y. Это означает, что можно корректным образом отождествить каждый x G S с элементом *x G W .В таком случае, например, класс эквивалентности *3, содержащий последовательности вида (1, 2, 3, 3, 3,...) и (2,1, 3, 3, 3,...), отождествляется с натуральным числом 3. Таким образом, имеем S С W, и теперь можно сказать, что для x G S имеет место *x = x. На следующем шаге определим суперструктуру W, полагая Wo = W, Wi+1 = Wi U 2^, i > 2 & W = U Wi. i?N И наконец определим универсум *U, который состоит из множества W и определённых (не всех!) подмножеств W, ассоциируя, по некоторому рекурсивному правилу, с элементами f И Zi, соответствующие элементы *f И Wi. Действительно, *f были выше определены для f И Zo. Пусть натуральный k > 0, f И Zk+i \ Zk ,и предположим, что *g уже определены для всех g И Zi, i < k. Положим *f = { *g I g И Zk и gn И fn почти всюду}. (1.1.3) Другими словами, *f содержит такие элементы *g, для которых (любой) его "прототип" g И Z удовлетворяет условию gn И fn для почти всех n И IN. Тогда по построению и рекурсии для каждого *g И *f будем иметь *g И Wk. Следовательно, *f С Wk и *f И Wk+1. Более того, таким способом мы фактически определили отображение *(.) : Z ^ W. В итоге нестандартный универсум, соответствующий U, определяется по формуле *U = {*f I f И Z}, или, иначе говоря, *U является образом Z при отображении *(.): *U = *(Z) с W. Имеет место следующая Теорема 1.1.7 *U является универсумом в суперструктуре W. Так как U с Z (через вложение), то каждому элементу, (который может быть множеством в обычном смысле!), стандартного универсума U сопоставляется определённый элемент суперструктуры W. Например, из построения *U следует, что в *-образах множеств IR, IN, определены и обладают привычные свойствами алгебраические операции + и ж, а также отношение упорядочивания >. В частности, множество ги-пердействительных чисел *1R является элементом Wi, генерированным последовательностью (IR,IR,IR,...) И Zi. Несложно видеть, что * > является таким отношением на *1R, что *x *> *y ^^ xn > УП п. в. Причем из конструкции ясно, что это свойство не зависит от того, какой именно представитель выбран из классов эквивалентности *x и *y, представляющих x и y. С целью упростить обозначения, символ * обычно опускают, если в нестандартном универсуме имеется в виду какая-либо привычная операция +, <, ж, или другое "стандартное" отношение или функция. Таким образом, принято писать 3, >, =, sin, | ж | (абсолютная величина или мощность) для нестандартных аналогов этих объектов, вместо *3, *>, *=, *sin, *| ж |, соответственно. Рассмотрим нестандартного индивида *w, генерированного последо-вательностью w = (1, 2, 3, 4,...). Здесь *w является элементом множества *1N нестандартных натураль-ных чисел, ибо wn И IN для каждого n И IN. Заметьте, что поскольку каждое натуральное n И IN принадлежит *1N (через вложение), мы вправе записать IN С *1N. Так как *w И IN, то IN является собственным подмножеством *1N. Ясно, что последовательность w больше любого натурального n И IN в бесконечном числе компонент (так как она меньше n только в конечном числе позиций). Следовательно, истинно *w > n для каждого n И IN, и мы получили, таким образом, бесконечно большое натуральное число. Аналогично убеждаемся в том, что величина *е, для е = (1,1/2,1/3,...) должна рассматриваться как гипердействительная, которая меньше любого положительного действительного числа: *е < 1/n для каждого n И IN. (1.1.4) Более того, покоординатное произведение w и е даёт постоянную последовательность (1,1,1,...), откуда заключаем *wж *е = 1. Таким образом, мы не только нашли бесконечно большое и бесконечно малое число, но также обнаружили, что их произведение может дать действительное число. Любое гипердействительное число е И *1R, удовлетворяющее |е| < 1/n для каждого n И IN, называется бесконечно малым (инфинитезималь- ным). Для любых двух гипердействительных чисел x, y И *1R пишем x л y (читается как: x бесконечно близко к y), если разница x - y бесконечно мала. Элемент *r И *U, для которого существует другой элемент r И U из стандартного универсума, называется стандартным элементом в *U. Естественно, что элементы *U, которые не являются стандартными, называются нестандартными элементами *U. В частности, стандартными индивидами являются только элементы S; нестандартные индивиды образуют "множество" W \ S. Множества из W, принадлежащие *U, называются внутренними; множества из W, которые не являются внутренними, называются внешними - они буквально внешние по отношению к нестандартному универсуму *U - принадлежат W \ *U. Примерами внутренних множеств являются и *IR. Примеры внешних множеств - множество всех стандартных натуральных чисел IN и множество всех бесконечно малых Д. Можно доказать, что не существует такого элемента z G Z, что *z = IN или *z = Д. Функция называется внутренней, если её график является внутренним множеством. Подведём некоторые итоги. Выше было построено два универсума: стандартный универсум U, который является просто суперструктурой, построенной на подходящем множестве индивидов S, и нестандартный универсум *U, состоящий из множества индивидов W D S и некоторых множеств из суперструктуры W. Показано, что множество *U содержит бесконечно малые и бесконечно большие числа. На U существует отображение *(.), действующее в *U. Элементы *U вида *x для некоторого x G U называются стандартными; прочие элементы *U называются нестандартными. Множества из W, являющиеся элементами *U, называются внутренними, все прочие множества - внешними. Внешние множества существуют - уже совокупность натуральных чисел является внешним множеством. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "1.1.3 Универсумы" |
|
|