Конструкция нестандартного универсума (мира нестандартной математики) основана на методах математической логики, причём при этом используется понятие ультрапроизведения. Чтобы прояснить существо конструкции ниже приводится понятие и сводка простейших свойств фильтров.
Определение 1.1.1 Пусть I любое непустое множество. Семейство подмножеств F С 21 называется фильтром на I, если
A е F и A С B влечёт B е F,
A,B е F влечёт A П B е F, и,
F, I е F.
Максимальный элемент (по включению) множества всех фильтров на I называется ультрафильтром. Другими словами, F ультрафильтр на I, если F является фильтром и для любого другого фильтра Fi включение Fi D F влечёт Fi = F. Например, множество всех подмножеств в I, содержащих фиксированный элемент в I, является ультрафильтром:
Fx = {A е 21 | X е A}, x е I.
Ультрафильтры этого вида называются главными, или тривиальными. Тот факт, что нетривиальные ультрафильтры существуют, является следствием леммы Цорна (или эквивалентной ей аксиоме выбора).
Теорема 1.1.1 (Картан) Если Fo фильтр на I, то существует уль-трафильтр F на I, такой, что F D Fo.
Теорема 1.1.2 (Бурбаки) Если I бесконечное множество, то нетривиальный ультрафильтр на I существует.
Интересное свойство нетривиальных ультрафильтров состоит в том, что они не содержат конечных множеств.
Теорема 1.1.3 Пусть F нетривиальный ультрафильтр на I. Тогда из A G F следует, что A бесконечное.
Доказательство. Предположим, что существует такое конечное множество A, что A G F. Без ограничения общности можно считать, что никакое собственное подмножество A не принадлежит F. По определению фильтра A непусто. Пусть a G A. Так как F нетривиальный ультрафильтр, A должно содержать не менее двух элементов, т. е. A \{a} = 0. Рассмотрим семейство множеств
G = {X С 11 {a} U X G F}
и покажем, что G фильтр. Очевидно, 0 G G и I G G. Если Xi,X2 G G, то X1 U {a}, X2 U {a} G F, откуда (X1 П X2) U {a} G F и X1 П X2 G G. Предположим X2 D X1 и X1 G G. Тогда X1 U {a} G F и X2 U {a} G F, что влечёт X2 G G.
С другой стороны, X G F влечёт {a} U X G F и X G G. Следовательно, G D F. Более того, F является собственным подмножеством G, так как A \ {a} G G, но A \ {a} G F. Но последнее означает, что F не является ультрафильтром - противоречие. ?
Определяющим свойством того, что некоторый фильтр является ультрафильтром, является тот факт, что каждое подмножество A в I или его дополнение I \ A должно быть элементом фильтра.
Теорема 1.1.4 Пусть F фильтр на I. Тогда F ультрафильтр на I ^^ для каждого A С I либо A G F, либо I \ A G F.
Следствие 1.1.1 Если F нетривиальный ультрафильтр на I, то каждое множество с конечным дополнением является элементом F.
|
- 15.2. СОСТАВ И КЛАССИФИКАЦИЯ РАСХОДОВ НА ПРОИЗВОДСТВО И РЕАЛИЗАЦИЮ ПРОДУКЦИИ
фильтров и др.); платежи за предельно допустимые выбросы загрязняющих веществ в природную среду и другие расходы. Сумма материальных расходов уменьшается на стоимость возвратных отходов. Под возвратными отходами понимаются остатки сырья (материалов), полуфабрикатов, теплоносителей и других видов материальных ресурсов, образовавшихся в процессе производства продукции, частично утратившие
- 22.2. Структура и развитие международных финансовых рынков как экономической среды для бизнеса
фильтр существенно снизил возможности и опасность ажиотажного беспредела на рынке ценных бумаг. Структура международного рынка ценных бумаг представлена в табл. 22.2. Таблица 22.2 Удельный вес, % 38 32 12 Структура международного рынка ценных бумаг в середине 90-х г. Наименование ценных бумаг Простые облигации Среднесрочные евроноты Облигации с плавающим купоном Конвертируемые облигации Облигации
- з 3. Лица, участвующие в деле
фильтрующего оборудования прокурор области предъявил иск о взыскании с акционерного общества сумм за оплаченную, но не поставленную продукцию. При рассмот рении дела ответчик представил документы, подтверждающие пере числение истцу исковой суммы до предъявления иска прокурором. Арбитражный суд, сославшись на то, что истец, в интересах которого был заявлен иск, не урегулировал спор с ответчиком в
- 1.4.4. Неформальные правила профессиональных /сообществ как источник формальных правил
фильтр судебного контроля. Судья должен рассмотреть последствия возможного правила и сравнить его с правовыми це лями бухгалтерского учета. В большинстве случаев судебное ре шение, которое создает правовую норму, сочетает в себе различ ные элементы: заключение о правовых принципах надлежащего бухгалтерского учета, прецеденты, показания экспертов и ссылки на литературу. Почему суды в данном
- 3.3. теорема коуза 3.3.1. Внешние эффекты
фильтры. Традиционное решение этой проблемы заключалось в установле нии для фабрики налога в размере создаваемых ею внешних из держек, что позволяло бы интернализировать экстерналии. Под интернализацией внешних эффектов имеется в виду превращение внешних эффектов в частные издержки, которые экономический агент вынужден учитывать при принятии решений. Но предположим, что ущерб жителей от завода
- ЧИСТАЯ МОНОПОЛИЯ
фильтров для сигарет в Армянской ССР. Советское руководство, основываясь известным высказывани ем В. И. Ленина, стремилось превратить социалистическую экономику лв еди ную фабрику, в чем немало преуспело. Эх, играй мой баян С электрогитарой, Покупайте граждане, Электротовары! Мы вас так ждали, Вы нас поймите, Мы вам трали-вали, Вы нам тити-мити. Несмотря на то что в реальности примеры чистой
- 3.8. ЭТАПЫ СОЗДАНИЯ БАЗЫ И БАНКА ДАННЫХ
фильтры, которые позволяют выбирать информацию с помощью запросов или установкой критериев. Создание параметрических запросов дает возможность пользователю вводить значения для отбора данных. - ж ? Наряду с формами для каждой таблицы могут быть созданы отчеты с помощью меню клавиатуры или программным путем, что более трудоемко. Для каждой таблицы можно создать Автоотчет с выводом данных в
- 4.2. Акцизы
фильтром 100 руб. 00 коп. за 1000 штук + 5 процентов расчетной стоимости, исчисляемой исходя из максимальной розничной цены, но не менее 115 руб. 00 коп. за 1000 штук Сигареты без фильтра, папиросы 45руб.00 коп. за 1000 штук + 5 процентов расчетной стоимости, исчисляемой исходя из максимальной розничной цены, но не менее 60 руб. 00 коп. за 1000 штук Автомобили легковые с мощностью двигателя до
- 1.2. ЭЛЕМЕНТЫ НАЛОГА И ПРИНЦИПЫ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ
фильтром в размере 78 руб. 00 коп. за 1000 штук + 8%, но не менее 25% отпускной цены (п.1 ст. 193 НК РФ). Порядок исчисления устанавливается конкретно по каждому виду налога. Согласно ст. 52 НК РФ сумма налога может быть исчис лена налогоплательщиком самостоятельно, налоговым органом или налоговым агентом. К примеру, по налогу на добавленную стоимость или по налогу на прибыль организаций именно
- 3.6. АКЦИЗЫ
фильтром 100 руб. 00 коп. за 1000 штук + + 5 процентов расчетной стоимо сти, исчисляемой исхода из макси мальной розничной цены, НО НС менее 115 руб. 00 коп. за 1000 штук 45 руб. 00 коп. за 1000 штук + + 5 процентов расчетной стоимо сти, исчисляемой исходя из мак симальной розничной цены, но не менее 60 руб. 00 кон. за 1000 штук Автомобили легковые с мощностью двигателя до 67,5 кВт (90 л.с.)
|
Экономика