Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
1.1.4 Языки и семантика |
|
|
Для произвольного универсума U построим соответствующий язык L = L(U), который используется для формулировки утверждений об U. Основой каждого языка L является множество A, называемое алфавитом в L, члены которого называются символами. Мы записываем A в виде A = A1 u A2 U A3, причём множества A1, A2, и A3 предполагаются попарно дизьюнктными и удовлетворяющими следующим требованиям. Символами, принадлежащими A1, являются = G - & 3 ( ) , Символы, принадлежащие A2, называются переменными и образу ют счётное бесконечное множество: (3) Множество A3 находится во взаимно однозначном соответствии с универсумом U. Для каждого b И U элемент из A3, соответствующий b, называется именем b. Символы из A3 называются константами. Конечно, в общем случае A3 бесконечно и даже несчётно. Конечная последовательность символов алфавита L называется выражением в L. Выражение ( называется термом, если существует конечная последовательность (i, (2,..., (п выражений, где (п = такая, что для каждого i, 1 < i < n истинна одна из следующих альтернатив: (i переменная, ( i константа, (i = ((j ,(k), где j, к < i, (i = (j((k), где j, к < i. Выражение (x3(x2), x2) является примером терма. Терм, не содержащий переменных, называется замкнутым термом. Выражение а называется формулой, если существует конечная последовательность выражений ai,...,ап, где ап = а, такая, что для каждого ai, 1 < i < n имеет место (( = v), где ( и v термы в L, или (( И v), где ( и v термы в L, или Чa.j, где j < i, или (aj&ak), где j, к < i, или (3xj И ()ak, где к < i, xj является переменной и ( - терм в L, в который xj не входит. Примером формулы является ((xi = x2)&Ч (xi И x2)). Вхождение переменной xi в формуле а называется связанным, если существует такая формула в, что в является частью а, содержащей вхождение xi, и при этом в является формулой вида (3xi И ()j. Вхождение x в а, которое не является связанным, называется свободным. Формула, не содержащая переменных со свободными вхождениями, называется высказыванием. Например, формула (3xi И b)Ч(3x2 И c)(xi И x2), где b и c некоторые константы, является высказыванием, так как все вхождения переменных являются связанными. Интуитивно высказывание представляет некоторое утверждение, значение которого не меняется в зависимости от значений входящих в него переменных. Для формулы а языка L пишем а a(xii, . . . , xik ), когда все переменные, имеющие свободные вхождения в а, включены в список xi1,..., xik. В этом случае через а(&1,... ,Ь^) обозначают высказывание, полученное заменой каждого свободного вхождения xi1 на Ь1, xi2 на Ь2 и т. д. Предполагается, что каждый замкнутый терм в L "представляет" определённый элемент универсума U и что каждое высказывание в L образует истинное или ложное утверждение об U. Все эти понятия и представления принимают точный смысл в семантике языка L, описываемой ниже. Пусть ( - замкнутый терм в L. Определим значение К следующим образом: Щ = Ь для всех констант Ь G U, |(^)| = ((|, Iv|), ((v)| = (|(|v|). Используя это определение рекурсивным образом (рекурсия по длине (л), придаём значение К для всех замкнутых термов. Применяя далее индукцию и теорему 1.1.6, заключаем, что К G U для каждого замкнутого терма Далее определим по рекурсии понятие истинности в U высказывания а в языке L, что записывается как U = а и читается " а истинно в U". Положим: U = (( = v) тогда и только тогда, когда К = ^|, U = (( G v) тогда и только тогда, когда К G V|, U = Ча тогда и только тогда, когда неверно, что U = а, U = (а&в) тогда и только тогда, когда U = а и U = в, U = (3xi G ^а^) тогда и только тогда, когда U = а(с) для неко торого с G d? Это определение представляет собой рекурсию по общему числу вхождений символов Ч, &, и 3 в высказывание. Заметим при этом, что при полном отсутствии этих символов, так как мы имели дело с высказываниями, ( и v в (1) и (2) должны быть замкнутыми термами. Отсюда следует определённость К и ^ |, что и задаёт базу индукции по числу вхождений указанных логических символов. А дальше рекурсия. Формулы в L могут использоваться не только для формулировки утверждений об U, но также для определения подмножеств в U. Пусть A С U. Тогда множество A называется определимым, если существует формула а = а^) в L, такая, что A = {b И U | U = а^)}. Напомним, что все прочие (привычные) логические операции могут быть выражены посредством операций, рассмотренных выше. Действительно, пусть а, в - произвольные формулы в L, xi - переменная и ( - терм в L. Тогда полагаем (а V в) для - (Ча&Чв), (а ^ в) для Ч(а&Чв) и (Vxi И ()а для Ч(3xi И ()Ча. Тем самым понятие истинности распространяется на все привычные математические высказывания. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "1.1.4 Языки и семантика" |
|
|