Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
1.2.1 Принцип переноса |
|
|
Имеется ровно два универсума, которые будут рассматриваться в даль-нейшем и относятся собственно к нестандартному анализу. Это стандартный универсум U и нестандартный универсум *U. Далее пишем L = L(U) - язык, используемый для стандартного универсума, и *L = L( *U) - для нестандартного. Если а высказывание в L, то пишем = а вместо U = а. Аналогично, если а - высказывание в *L, то используем * = а вместо *U = а. Далее, мы пополним область определения, введённого ранее отображения *(.), множеством всех формул и термов языка L. Именно, пусть Л - терм или формула в L. Определим *А как терм (или формулу) в *L, полученную из Л замещением каждой константы b И U в Л соответствующей константой *b И *U в языке *L. Следующий факт является весьма важным и широко используется в "нестандартных" доказательствах. Теорема 1.2.1 (Принцип переноса) Пусть а высказывание в L. Тогда * = *а тогда и только тогда, когда = а. Принцип переноса образует один из основных инструментов нестандартного анализа. Математическая теорема, эквивалентная = а при некотором высказывании а в L, может быть доказана посредством демонстрации того, что * = *а. С целью продемонстрировать продуктивность принципа переноса, рассмотрим последовательность действительных чисел s = {sn | n И ]N} С IR. Тогда выполнено = (Vn И IN)(3r И IR)(sn = r). По принципу переноса истинно * = (Vn И *IN)(3r И *IR)(( *s)n = r), что влечёт, что *s отображает *IN в *]R. В последующем, так как *s является стандартным элементом в *U, будем естественно писать sn для *s (вместо громоздкого (*s)n), даже если n бесконечно. Далее докажем следующий критерий сходимости стандартной последовательности s. Теорема 1.2.2 Число r И IR является пределом s = (sn) тогда и только тогда, когда sn л r для всех n И *IN \ IN. Доказательство. Пусть sn ^ r. Возьмём некоторый е > 0, е G IR. Из определения предела для этого е существует такой no G IN, что = (Vn G IN)(n > n0 ^ |sn - r\ < е). Применяя принцип переноса, заключаем * = (Vn G TN)(n > no ^ \sn - r\ < е). Заметьте, что опять мы пишем no, r, е без *, поскольку эти числа яв-ляются стандартными индивидами в *U. Так как no конечно, то имеем |sn - r\ < е для каждого n G *IN \ IN. В силу произвольности в выборе е заключаем |sn - r\ л 0, т. е. sn л r для каждого бесконечного натурального n G *IN \ IN. Докажем обратное. Пусть sn л r для всех n G *IN \ IN. Возьмём и зафиксируем произвольный е > 0, е G IR. Так как sn л r для всех бесконечных n, то \sn - r\ < е для всех бесконечных n. В частности, если no является некоторым фиксированным бесконечным натуральным, то Sn - r\ < е для всех n > no. Следовательно * = (3no G *IN)(Vn G *IN)(n > no ^ \sn - r\ < е). По принципу переноса получаем = (3no G IN)(Vn G IN)(n > no ^ \Sn - r\ < е), что является стандартным определением того факта, что r является пределом последовательности (sn). ? Используя принцип переноса также можно легко доказать, что множество всех стандартных чисел IN является внешним. Действительно, известно, что каждое ограниченное подмножество IN имеет максимальный элемент. Тогда из принципа переноса заключаем, что каждое внутреннее ограниченное подмножество *IN имеет максимальный элемент. Множество IN является подмножеством *IN и ограничено любым бесконечным натуральным. Легко видеть, что максимальный элемент IN, если существует, не является элементом IN. Это противоречие показывает, что на самом деле IN является внешним множеством относительно универсума *U. Полезным следствием принципа переноса является следующая ха- рактеризация множества *A для определимого множества A G U. Теорема 1.2.3 Пусть A = {Ь G U |= а(Ь)}, где а формула в L, является множеством в U (т. е. A G U). Тогда *A = {Ь G *U | * = *а.(Ь)}. В заключение отметим, что в некотором смысле последняя теорема верна не только для элементов из U, но также и определимых подмножеств A С U. Если положить *A = {Ь G *U | * = *а(Ь)}, то можно доказать, что множество *A не зависит от конкретного вида определяющей его формулы а, но только именно от множества A. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "1.2.1 Принцип переноса" |
|
|