| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 |
Доказательство теоремы 2.3.1. |
Выберем е из условия теоремы 2.3.1 и найдём такое нестандартное действительное а > 0, чтобы было выполнено условие а е л 0. Положим е' = ае. Далее воспользуемся теоремой 2.2.2, применяя к которой принцип переноса, заключаем существование е'-равновесий. Пусть xf G *L, zf G *X, i G N U {0} и qe G *Q - нестандартные вектора, выбранные в соответствии с определением 2.2.2, относительно нестандартного вектора е' л 0, где в условиях (i)-(iv) все множества заменены их *-изображениями. Далее, в силу A1, A2 и конечномерности пространства L множество A(X) компактно. Отсюда,
используя A1, несложно доказать, что норма векторов zf при е' л 0
22
ограничена стандартной величиной и, следовательно, в силу конечномерности L и нестандартного критерия компактных множеств (см. теорему 1.3.7), вектора zf, i G N U {0} околостандартны. Таким образом, существуют st(zf) для всех i G N U {0} и существует st(xf). Поскольку Wzf - xe|| < ||е'||1 л 0, то st(zf) = st(xf) = st(zj) для всех i, j. Теперь положим q = qf, x^ = zf i G N, x = st(zf) при любом i G N, x = zf и S = та ж е при нестандартном 0 < т < 1, существование которого обеспечивает теорема 2.2.2 и принцип переноса. Покажем, что тройка (x, q, S) является нестандартным S-квазиравновесием абстрактной модели E.
Действительно, требование (iv) определения 2.3.3, а также свойство q = qf G *Leff (см. (2.2.10)) обеспечивают теорема 2.2.2 и принцип переноса. Так как F(xf) = F(w) = stF(xf) = F(st(xf)) (последнее из непрерывности F (.)) и x = st(xf) = st(zf) e X (из zf G X ив силу нестандартного критерия замкнутости), то по определению x G A(X), что обеспечивает условие (iii). Более того, по построению zf G *Bf (x, q), откуда x = st(zf) G st*Bf (x,q), что означает истинность (i) для всех i G N. Наконец рассмотрим требование (ii) определения 2.3.3. Опять, в силу теоремы 2.2.2, пункта (ii) определения 2.2.2 и принципа переноса
заключаем
*Pi(4){] {yG *XKqi ,y)< ai(z0, q) + те'} = 0 У iG N. Далее применим утверждение 2.3.1, получая
si[*Pi(z^)}f]st{y G *X | {qi,y)< a.iZ0,q)+ те'} = 0 У iG N, где по построению
st*Bf (x, q) = st{y G *X | {qi, y) < ai(z0, q) + те'}.
Наконец, по построению, в силу утверждения 2.3.2 и предположения A3' имеем
P'i(x) = si[*Pi(.)}(x) С si[*Pi(z0)},
что совместно с предыдущим и доказывает пункт (ii). Теорема 2.3.1 доказана. ?
|
| << Предыдушая |
Следующая >> |
| = К содержанию = |
Похожие документы: "Доказательство теоремы 2.3.1." |
- Вопросы для закрепления материала
доказательстве теоремы ХекшераЧОлина объемы производства связываются с объемами потребления товаров? 9 Каким образом изменение цен на товары после установле ния торговых отношений воздействует на цены факторов про изводства? |10.| Объясните, почему выравниваются цены на факторы про изводства в теоретической модели и почему это выравни вание невозможно в реальности. 11| Покажите графически с
- 2.2.1. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
теорем дифференциального и интегрального исчисления [41, 59, 100], которые могут быть использованы в процессе изучения методологии экономического факторного анализа. Данные теоремы последовательно приводят к формуле конечных приращений (формуле Лагранжа) [48, 57, 137, 139], которая стала основой для разработки нового универсального метода экономического факторного анализа, применимого в условиях
- Равновесие Нэша в смешанных стратегиях
доказательства Теорем 1 и 2 (стр. 15). Теорема 1 утверждает следующее: j Если х = (хл, ..., хт) - равновесие Нэша в некоторой иг- ! ре, то ни одна из стратегий не может быть отброшена в j результате применения процедуры последовательного ! отбрасывания строго доминируемых стратегий. Если использовать только что введенные обозначения, то Теорема 1 утверждает, что если х* - равновесие Нэша в
- 2.Аинамические игры с совершенной информацией
доказательства теоремы состоит в том, что задача оптимизации на конечном множестве альтернатив всегда имеет хотя бы одно решение; если же целевая функция принимает различные значения на множестве альтернатив, то решение этой задачи единственно. Кроме того, каждая из редуцированных игр, получаемых с помощью обратной индукции, будет конечной и с различными выигрышами, если выигрыши были различными
- Существование равновесия при монополии
доказательства состоит в том, чтобы выделить множество лвозможных монопольных выпусков, показать его ограниченность (при данных предположениях относительно функций спроса и издержек), а затем использовать теорему Вейерштрасса о существовании экстремумов непрерывной функции на ком-пактном множестве. Другими словами, мы доказываем, что при естественных условиях относительно функций издержек и
- Анализ благосостояния в условиях монополии
доказательство Теоремы 18. j Теорема 20. j Если обратная функция спроса р(у) порождается реше- j нием задачи репрезентативного потребителя и убывает, j у" - объем производства, выбранный монополией, а ! у > 0 - Парето-оптимальный объем производства, то : 1 м л ! 1. у < у. \ 2. Если, кроме того, функция спроса и функция из- ! держек дифференцируемы и р'(у*) < О, то у* < у. Доказательство.
- 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
доказательством непрерывности заинтересованный читатель отсылается к оригинальной работе Траута Раде- ра , чей вариант доказательства теоремы Дебре мы здесь приводим. Рассмотрим систему шаров в R1 с рациональными центрами и радиусами. Очевидно, что таких шаров счетное число. На основании этих шаров построим систему множеств {On}+=1 по следующему принципу: в эту систему попадают непустые
- 2.4.1 Задачи
доказательстве Теоремы 7.) ^ 35. В Теореме 7 докажите, рассмотрев все возможные случаи, что построенная функция является функцией полезности. ^ 36. Докажите, что если множество кривых безразличия для некоторых неоклассических предпочтений счетно, то существует функция полезности, представляющая эти предпочтения. ^ 37. Пусть X = Xi х X2, где Xi = {1, 2,...}, а X2 - множество всех рациональных
- 2.A.3 Задачи
доказательство Теоремы 12 так, чтобы оно учитывало случай наличия в наборе данных выявленно эквивалентных альтернатив. ^ 73. Опишите, каким способом можно с учетом выявленных предпочтений распространить предпочтения, заданные для конечного числа альтернатив (полученные так, как описано в Теореме 12), на все множество X. ^ 74. Каким из следующих свойств и при каких условиях обладает
- 2.B.3 Задачи
доказательства Теоремы 21??. ^ 88. Дополните доказательство Теоремы 21, доказав, что функция Д(-) определенная в доказательстве, удовлетворяет условиям (Д1)Ч(Д4). ^ 89. Для предпочтений, описанных в задачах 26 и 27 из параграфа 2.4, определите, являются ли они непротиворечивыми и являются ли они
|
Экономика