| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 |
1.2.2 Теорема направленности |
Начнём данный раздел с определения направленного отношения.
Определение 1.2.1 Бинарное отношение r G U называется направ-ленным относительно U (или просто направленным), если для любого конечного набора a1,...,a^ G dom(r) существует такой элемент Ь, что (ai, Ь) G r для всех i = 1,... ,n.
Основным результатом о направленных отношениях является
Теорема 1.2.4 (Теорема направленности) Пусть r - направленное отношение в U. Тогда существует такой элемент Ь G *U, что ( *a, Ь) G *r для всех a G dom(r).
По определению направленного отношения для каждого конечного подмножества A из области определения - dom(r) - отношения r найдётся такой элемент qA G U, что (a, qA) G r для всех a G A. Интуитивно, теорема направленности обеспечивает существование такого (нестандартного) Ь, который представляет собой "предел" точек qA как только A "приближается" к dom( r) .
С целью иллюстрации практической полезности теоремы направленности, мы докажем ниже нестандартную теорему отделимости, которая утверждает, что любые два выпуклых дизьюнктных подмноже-ства некоторого векторного пространства могут быть строго разделены нестандартной гиперплоскостью.
Теорема 1.2.5 (Маракулин [22]) Пусть X и Y любые два непересекающихся выпуклых подмножества векторного пространства L. Тогда существует внутренний линейный функционал f : *L ^ *IR, такой, что
f (x) > f (y) V x G X, V y G Y.
Доказательство. Рассмотрим множество F всех пар (A, B), таких, что A конечное подмножество X и B конечное подмножество Y. Обозначим сопряженное пространство линейных (и непрерывных в нужной отделимой линейной топологии) функционалов на L символом L' и рассмотрим отношение U на множестве F х L', заданное по формуле
U = {((A, B), f) GFX L' \ (f, coA) > (f, coB)},
где coA и coB - стандартное обозначение выпуклой оболочки множества - здесь A и B соответственно. Для каждого (A, B) G F, множества coA и coB являются непустыми выпуклыми компактами (в любой отделимой линейной топологии). Следовательно, в силу (второй) теоремы отделимости найдётся линейный функционал, строго разделяющий эти множества, т. е. существует такой g G L', что ((A,B),g) G U. Теперь пусть (Ai, B1),..., (Ak, Bk) G F. Так как
кк ( U Ai, U Bi) G F,
i=1 i=1
то найдётся g G L', такой, что
k k (( U Ai), ( U Bi),g) GU.
i=1 i=1
Но тогда ((Ai, Bi), g) GU для каждого i = 1,..., k, что совместно с предыдущим и доказывает направленность отношения U. Теперь, приме-няя теорему направленности, заключаем существование (внутреннего) линейного функционала f G *(L'), такого, что
f (x) > f (y) для каждого x G X, y G Y,
что и заканчивает доказательство теоремы.
|
| << Предыдушая |
Следующая >> |
| = К содержанию = |
Похожие документы: "1.2.2 Теорема направленности" |
- 1.2 Три техники
теорема направленности. Эта теорема гарантирует, что расширенная структура содержит достаточно много идеальных элементов и, в частности, включает в себя все мыслимые пополнения, компактификации и т. д.. Третья техника - это принцип доказательства от противного в предположении, что то или иное множество является внутренним. Множество S элементов нестандартного универсума называется внутренним,
- 2.1.2 Нестандартная характеристика оптимальности по Парето
теоремы 2.1.1, прежде всего отметим возможность получения, как следствия, характеризации оптимальных по Парето состояний экономики в терминах стандартных линейных функционалов. Последнее возможно при дополнительных модельных предположениях. Действительно, с целью перейти к стандартным векторам индивидуальных цен будем считать, что норма вектора п = (ni,..., пп) равна 1 (при необходимости всегда
- 1.5. Структура современной экономической теории
теоремах, законах и принципах. Например, лпредприятие в экономической теории как абстрактный объект представлено в виде экономического агента, занимающегося производственной, коммерческой, посреднической и т.п. деятельностью (свойства абстрактного объекта) и стремящегося к максимизации прибыли (цель деятельности абстрактного объекта, выступающая в виде аксиомы). Каждая теория оперирует
- 2.3. Рынок как необходимое условие товарного хозяйства
теорема Коуза). Права собственности, будучи четко определены, могут продаваться, обмениваться, но таким образом, чтобы образовавшийся пучок прав обеспечивал бы их владельцу деятельность, приносящую максимальный доход. Институт собственности, как показывают теоретические исследования и реальная экономическая практика, достаточно хорошо обеспечивает эффективность экономики. Еще интересный момент:
- СЛОВАРЬ-СПРАВОЧНИК
теорему) данной теории. Применяется в случае содержательного изложения теории. Широко используется в науках, основанных на математических методах. Альтернативные издержки - издержки производства товаров и услуг, которые измеряются стоимостью наилучшей упущенной возможности использования затраченных на их создание факторов производства. Амортизация - обесценение основного капитала в результате
- Введение
теоремой Коуза, ставшей исходной точкой дисциплины лэкономика права. Последний раздел главы посвя щен альтернативным режимам прав собственности. Здесь дается характеристика каждого режима собственности, выявляются их влияние на поведение людей. Особенно подчеркивается, что вы бор режима собственности должен основываться на их сравне нии между собой с точки зрения возникающих при этих режимах
- 7.3. Институциональные изменения и зависимость от пути развития
теоремы, описывающие поведение фирмы в неоклассической теории, даже если предпосылки о поведении фирмы, направлен ном на максимизацию прибыли, неверны. В условиях неопреде ленности, неполной информации и несовершенного знания мак симизация прибыли не может быть руководством к действию. Заранее, ex ante, мы не можем сказать, какое поведение приведет к наилучшим результатам. Лишь задним числом, ex
- глоссарий
направленный на присвоение квази-ренты, при котором ущемляются интересы стороны, осуществив шей инвестиции в специфические активы. Вялые рынки (thin markets) - тип рынка, для которого характерно малое число участников. Гарантии исполнения контракта (safeguards) - меры по обеспечению соблюдения договора, которые предусматриваются в контракте с целью снижения рисков, связанных, в основном, с
- ФАКТОРНОЕ ПРЕИМУЩЕСТВО
теорем: теоремы ХекшераЧОлина и теоремы выравнивания цен на факторы производства. Первая, продолжая теорию сравнитель ного преимущества, более логично по сравнению с нею объяс няет причины и структуру торговли; вторая показывает, каким образом международная торговля, воздействуя на цены факто ров производства, влияет на распределение доходов. Теорема ХекшераЧОлина звучит так: страна будет
- 3.7. ВЗАИМОСВЯЗЬ ВНЕШНЕЙ ТОРГОВЛИ И ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА
теоремы Рыб- чинского, гласит:при неизменных ценах товаров увеличение обеспеченности каким-либо фактором увеличит объем производства товара, изготовленного преимущественно с использованием этого фактора, и сократит производство другого товара. Графически это иллюстрирует рис. 3.10, из которого видно, что при равной величине угла наклона касательных объем вы пуска товара, расположенного на
|
Экономика