Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
2.1.2 Нестандартная характеристика оптимальности по Парето |
|
|
Прежде всего дадим необходимые определения. Определение 2.1.1 Говорят, что допустимое состояние экономики x G X оптимально (слабо) по Парето, если оно достижимо, т. е. F(x) = F(ш) и при этом выполняется П Pi(x) П^(X) = 0. ieN В существующей литературе множество состояний экономики, удовлетворяющих Определению 2.1.1, принято называть слабой границей Па- рето. Полную характеризацию (слабо) оптимальных по Парето состояний, представленную в терминах индивидуальных нестандартных цен, даёт следующая Теорема 2.1.1 Пусть x G ^(X), множества Pi(x) & Pi(x) U{x} выпуклы и x G Pi(x) для всех i G N. Состояние x оптимально по Парето тогда и только тогда, когда найдётся набор ненулевых нестандартных векторов ni, ... ,пп из *L, такой, что (Pi(x),n) > (x,n) для каждого i G N, удовлетворяющего Pi(x) = 0, и при этом kerF(.) С ker?щ(.) ^ [y G L, F(y) = F(ш) ^ ?ni(y) = ?щ(ш)]. N N N (2.1.1) Комментируя содержание теоремы 2.1.1, прежде всего отметим возможность получения, как следствия, характеризации оптимальных по Парето состояний экономики в терминах стандартных линейных функционалов. Последнее возможно при дополнительных модельных предположениях. Действительно, с целью перейти к стандартным векторам индивидуальных цен будем считать, что норма вектора п = (ni,..., пп) равна 1 (при необходимости всегда можно так его пронормировать). Так как сфера единичного радиуса компактна в Ln (ибо L конечномерно), то каждая точка её *-изображения околостандартна и, следовательно, существует стандартная часть вектора п. Полагая ni = st(ni), получим набор стандартных векторов ni,... ,пп, не все из которых равны нулю (при данном переходе нельзя гарантировать, что каждый из них ненулевой даже если Pi(x) = 0 для всех i G N), таких, что ker^A/"ni(.) 3 kerF(.), и при этом (Pi(x),n) > (x,ni) для каждого i G N, такого, что Pi(x) = 0. Далее, если дополнительно предположить, что x G intX (без ограничения общности можно считать intX = 0) и Pi(x) относительно открыты в X, то из предыдущего соотношения несложно заключить, что (Pi(x),n) > (x,n) для ni =0. Вышесказанное и составляет стандартную характеризацию оптимальных по Парето состояний экономики (используя дополнительные предположения, этот результат можно распространить и на случай x G intX, но здесь мы не будем этим заниматься). Другой важный вывод, следующий из теоремы 2.1.1, состоит в том, что в общем случае, при наличии внешних влияний, эффективный механизм стоимостного регулирования должен основываться на понятии индивидуальной цены, допустимая совокупность таких цен должна удовлетворять условию (2.1.1). Без сомнения, использование индивидуальных цен в реальной экономической практике сталкивается с серьёзными затруднениями, тем большими, чем больше их "индивидуализация". Поэтому представляется важным определить те минимальные пределы, в которых индивидуализация цен действительно необходима, с тем чтобы сохранить свойство эффективности стоимостного механизма по мере уменьшения эффекта внешних влияний. Формально вопрос можно поставить так: как можно сузить пространство допустимых индивидуальных цен при уменьшении внешних влияний, чтобы выполнялась теорема 2.1.1? При исследовании данной проблемы прежде всего нужно уточнить математический смысл высказывания "уменьшение эффекта внешних влияний". Будем говорить, что в абстрактной модели E в состоянии x имеется ограниченный эффект внешних влияний, если имеет место следующая ситуация. Пусть для некоторого конечного T пространство состояний представляется в виде L = Пкт Lt, а множество допустимых состояний - в виде X = П^т Xt, где Xt С Lt, для каждого t G T. Пусть для каждого i G N, такого, что множество Vi (x) = 0, определено Ti С T, такое, что индивидуальные предпочтения можно представить в виде Pi(x) = Г?(x) x Ц Xt, VT(x) cXi = П Xt С Li = П Lt. (2.1.2) teT\Ti teTi teTi Если для каждого i G N представление (2.1.2) имеет место при любом x G A(X) П domVi(.) , причём выбор Ti не зависит от x, то мы будем говорить просто об ограниченном эффекте внешних влияний. В терминах стандартных цен приемлемый ответ на поставленный выше вопрос, особенно важный в приложениях абстрактной модели, даёт следующая Теорема 2.1.2 Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1, имеется ограниченный эффект внешних влияний в достижимом состоянии x и выполнено (2.1.2). Пусть в случае Vi(x) = 0 для всех i G N дополнительно выполнено \jTi = T (2.1.3) ieN Тогда существует набор стандартных векторов ni,. .. ,пп, не все из которых равны нулю, таких, что nt = 0 для всех t G T \ Ti, где ni = (nt)teT, nt G L't, причём ker^^-ni(.) D kerF(.), и при этом (Pi(x),Wi) > (x,Wi) для каждого i G N, такого, что Pi(x) = 0. Условие (2.1.2) означает, что область значений предпочтения i можно без ущерба ограничить пространством Li, что соответственно уменьшает эффект внешних влияний. Требование (2.1.3) указывает на пределы, в рамках которых возможно эффективное сужение областей изменения индивидуальных цен - в таком случае компоненты индивидуальных цен, отвечающие "неинтересным" для i фрагментам состояния экономики, обращаются в ноль. Полученный в теореме 2.1.2 результат можно уточнить, если воспользоваться вышеуказанным замечанием (см. комментарий к теореме 2.1.1) относительно перехода от нестандартной ха- рактеризации к стандартной. Полноценный нестандартный аналог теоремы 2.1.2, дающий необходимые и достаточные условия оптимальности по Парето состояний абстрактной модели в терминах нестандартных цен, является более тонким результатом, требующим уточнения собственно понятия оптимальности. Определение 2.1.2 Говорят, что допустимое состояние x G X сильно оптимально по Парето, если оно достижимо, т. е. F(x) = F(ш), и для каждой непустой коалиции S С N не существует z G ^.(X) такого, что z G Pi(x) Уi G S (2.1.4) и при этом x G Pi(z) Уi GS. (2.1.5) Содержательно данное определение означает, что нет такой коалиции, которая была бы способна предложить своим членам строго предпочитаемое каждым из них достижимое состояние экономики при условии нейтральности дополняющей коалиции - изменение текущего состояния экономики возможно, только если в дополняющей коалиции нет активно несогласных членов. Заметьте, что данное понятие доминирования является более слабым по сравнению с доминированием, отвечающим понятию слабой границы Парето - соответственно, сильная граница является подмножеством слабой. Отметим, что если отношение иррефлексивно и транзитивно, то условия (2.1.4), (2.1.5), определяющие сильную границу Парето, будут эквивалентны требованию 3 i GN : 2 x & x Уi z V i GN . В свою очередь, любое строгое бинарное отношение У будет иррефлек- сивно и транзитивно, если оно определено как строгая компонента некоторого нестрогого отношения У, которое рефлексивно и транзитивно. Чтобы убедиться в этом, напомним, что по определению строгой компоненты z У y ^^ z У y & y У z. Теперь, если z У y & y У x, то из транзитивности У заключаем z У x. Однако если x У z, то из y У x У z и транзитивности получаем y У z, что противоречит условию z У y и определению строгой компоненты. Следовательно x У z и по определению z У x. Таким образом, определение 2.1.2, будучи применённым к классическим нестрогим (и полным) предпочтениям экономических агентов, в точности совпадает с традиционным определением сильной границы Парето. С целью установить точную теорему при ограниченном эффекте внешних влияний, рассмотрим следующую модификацию понятия оптимальности по Парето. Определение 2.1.3 Допустимое состояние экономики x G X строго оптимально по Парето, при ограниченном эффекте внешних влияний, если оно достижимо, т. е. F(x) = F(w) и для каждой (непустой) коалиции S С N не существует z G A(X) такого, что z G Vi (x) V i G S & zi = xi V i G S, где zi, xi - проекции векторов z, x на Li = ПteT- Lt и при этом, если Vi(x) = 0, то Ti = T \ ( U Tj), где N* = {j G N^ Vj(x) = 0}. jeN * Легко видеть, что данное понятие занимает промежуточное положение между слабой и сильной оптимальностью по Парето, и, главное, всякое сильно оптимальное состояние является строго оптимальным, если предпочтения иррефлексивны и имеет место ограниченный эффект внешних влияний. Убедиться в этом можно, рассуждая от противного: если x сильно оптимален и не является строго оптимальным, то найдется z и непустая доминирующая коалиция S, такая, что для агентов, не попавших в эту коалицию, выполняется zi = xi (см. опред. выше). Но тогда, если x z для некоторого i G S, то, в силу ограниченного эффекта внешних влияний (2.1.2), получаем z z, что невозможно. Следовательно x /i z для всех i G S и по определению S (слабо) доминирует x по z - противоречие. Теорема 2.1.3 Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1, имеется ограниченный эффект внешних влияний в достижимом состоянии x и выполнены (2.1.2) и (2.1.3). Тогда состояние x G X строго оптимально по Парето тогда и только тогда, когда найдётся набор нестандартных векторов ni,. .. ,пп из *L, такой, что пt =0 для всех t G T \ Ti, где ni = (nj)teT, nt G *L't, выполняются (2.1.1) и (Pi(x),ni) > (x, ni) для каждого i G N, удовлетворяющего Pi(x) = 0. Доказательство теорем 2.1.2, 2.1.3 идёт параллельно доказательству теоремы 2.1.1 и приводится в конце данного пункта (непосредственно после доказательства теоремы 2.1.1). Доказательство теоремы 2.1.1 основано на применении нестандартного обобщения известной теоремы Дубовицкого-Милютина, которое имеет также и самостоятельный интерес. Теорема 2.1.4 Пусть {Bj}j=k - некоторая совокупность выпуклых подмножеств пространства L, такая, что для некоторого x L и любого j множество Bj U {x} выпукло. Тогда, если к fl(Bj U{x}) = {x}, j=1 то существуют нестандартные линейные функционалы fj G *L' j = 1, 2,. .. ,k, удовлетворяющие условию к J2fj =0, (2.1.6) j=1 и такие, что fj (Bj) > fj (x), причем выполняется FBj (x) = {yG Bj | fj(y) = fj(x)}, (2.1.7) где Fsj (x) обозначает грань минимальной размерности (возможно пустую) множества Bj, которой принадлежит элемент x. Замечание 2.1.1 Прежде всего, отметим тот факт, что если x G riBj, то FBJ (x) П riBj = 0, и в силу (2.1.7) разделяющий функционал fj ненулевой. Соответственно, если x G riBj для всех j, то все разделяющие функционалы ненулевые, что демонстрирует отличие данной теоремы от стандартной версии теоремы Дубовицкого-Милютина. Теорема 2.1.4 является достаточно глубоким результатом. В определённом смысле она показывает, что стандартные выпуклые множества обладают свойствами выпуклых многогранников в классе всех нестандартных множеств. В частности, из этой теоремы следует, что любые два выпуклых стандартных множества, имеющие пустое пересечение, можно строго разделить нестандартной гиперплоскостью (см. теорему 1.2.5). Действительно, для выпуклых X,Y С L, если X П Y = 0, то достаточно применить теорему 2.1.4 к совокупности из двух множеств, имеющих вид {0} и {A(x - y) | x G X, y G Y, 1 > A > 0}, рассмотренных относительно вектора 0 (т. е. нужно принять x = 0 в формулировке теоремы 2.1.4). Искомым разделяющим нестандартным функционалом здесь является f = fl = Чf2. ? В основе доказательства данной теоремы лежит следующий стандартный факт о разделимости выпуклых многогранников. Утверждение 2.1.1 Пусть {Aj}j=k - совокупность выпуклых многогранников в пространстве L, удовлетворяющая условию к Aj = {x}, j=i и пусть x G riFAj для всех j = 1,... ,k, где Faj - грань Aj . Тогда найдется совокупность линейных стандартных функционалов {fj }j=k, не все из которых равны нулю если x G riAj для некоторого j = 1, .. ., k и таких, что fj (Aj) > fj (x) и F^ = {y G Aj | fj (y) = fj (x)} для всех j = 1,. .., k, и к T,fj =0. j=1 При доказательстве последнего утверждения будет использоваться следующая вспомогательная Лемма 2.1.1 Пусть C С L - выпуклый многогранник, Fc - собственная грань в C и H С L - аффинное подпространство, удовлетворяющее H П C С Fc и H П riFc = 0. Тогда H можно продолжить до опорной к C гиперплоскости D, такой, что D П C = Fc . Доказательство леммы 2.1.1. В целом доказательство леммы следует схеме доказательства теоремы 7.5 из [16], утверждающей, что каждая грань многогранника является выступающей . Без ограничения общности можно считать, что dimC = dimL. Далее ведем индукцию по размерности пространства L. При dimL =1, 2 утверждение леммы очевидно, что обеспечивает базу индукции. Предполагая истинность леммы при dimL < m, докажем её для dimL = m. По условию леммы H П C С Fc и, так как Fc - собственная грань C (значит, FC П intC = 0), заключаем H П intC = 0. В силу классической теоремы отделимости найдется такая гиперплоскость E D H, что E П intC = 0. Покажем, что FC С E. Действительно, пусть x G riFC ПH. Теперь, если y G Fc \ E, то из x G riFc найдем такой е > 0, что z = x + e(x - y) G Fc, откуда по выбору y получаем z / E, причём y и z лежат в разных полупространствах, ограничиваемых гиперплос-костью E. По условию найдется c G intC, возьмём любой. Теперь, в силу свойства выпуклых множеств, имеем (y, c) С intC и (z, c) С intC. Однако, так как y и z лежат в разных открытых полупространствах, ограничиваемых гиперплоскостью E, получаем либо (y, c) П E = 0, либо (z, c) П E = 0, что влечет E П intC = 0 - противоречие с выбором E. В итоге заключаем, что Fc С E. Далее, если E П C = Fc, то гиперплоскость E искомая. В противном случае Fc является собственной гранью многогранника C П E, и, в силу индуктивного предположения, аффинное подпространство H может быть продолжено до гиперплоскости H' в E так, чтобы было выполнено утверждение леммы: Fc = H' П C и H' - опорная гиперплоскость к C П E в E. Заметим, что dimH' = m - 2 > 1. Пусть T - двумерное подпространство в L, ортогональное к H', и pr(.) обозначает ортогональную проекцию L на T. Тогда pr(H') - одноточечное множество, а pr(C) - двумерный многогранник в T. Далее покажем, что pr(H') - вершина pr(C). Действительно, если бы это было не так, то в C нашлись бы такие точки y и z, что pr(y) = pr(z) и при этом pr(H ') = (1 - A)pr(y)+ Л pr(z) для некоторого 0 < Л < 1. Полагая v = (1 - A)y + Az, находим, что v G C и pr(v) = pr(H'). Однако последнее влечет v G H', ибо по построению имеем pr_i(pr(H')) = H'. Следовательно v принадлежит Fc (так как Fc = H' П C). Но тогда из определения грани мы заключаем, что y, z G Fc . В то же время, поскольку Fc С H', то для всех u G Fc должно выполняться pr(u) = pr(H'), откуда, в частности, следует pr(y) = pr(z). Полученное противоречие доказывает, что pr(H') является вершиной в pr(C). Далее, в силу истинности леммы в двумерном варианте, в T найдется такая прямая Q, что Qf| pr(C) = pr(H'). Но теперь достаточно положить D = aff(H' U Q) = pr_i(Q) и убедиться в том, что D является опорной гиперплоскостью к C в L, удовлетворяющей (по построению) условиям D D H и D П C = Fc . ? граннику C = П j=k Aj, точке (x,... ,x) и подпространству Доказательство утверждения 2.1.1. Применим лемму 2.1.1 к много- ij=k Aj, H = {(y,...,y) I y G L}, k определенным в пространстве Lk. Поскольку F = П FA (x) является j=1 гранью C, содержащей (x, . . . , x) в своей относительной внутренности, мы заключаем существование опорной к C гиперплоскости E D H, удовлетворяющей условию к Ef]C =П fa3 (x). j=1 Так как 0 G H С E, то найдется (ненулевой, если F собственная) линейный функционал f, такой, что {y G Lk | f (y) =0} = E. Записывая функционал f в виде f = (fi, ж ж ж, fk), где fj - функционалы над L, в силу f (H) = 0 находим j=k fj (z) = 0 для всех z G L, что доказывает вторую часть утверждения. Ввиду опорности E к C, мы можем предполагать, что f (C) > f (F) = 0 (в противном случае возьмем Чf вместо f). Отсюда, применяя f к элементу из C, имеющему вид (zi,...,zk), где zi = x для i = j и zj G Aj, находим fj (zj) + E fi (x) > fj (x) + ? fi (x) fj (zj) > fj (x) V zj G Aj. i=j i=j Осталось заметить, что в последнем неравенстве равенство возможно только тогда, когда zj G Fa (x). ? Доказательство теоремы 2.1.4. Прежде всего, отметим, что достаточно рассмотреть случай, в котором Bj = 0 для всех j = 1,... ,k. Действительно, для j таких, что Bj = 0, можно взять новые множества, полагая Bj := {x}. Ясно, что набор нестандартных функционалов, отвечающий новому набору выпуклых множеств, будет удовлетворять требованиям теоремы в отношении старого набора. Доказательство теоремы основывается на применении теоремы направленности из теории нестандартного анализа, (см. з 1.2.2 Теорема 1.2.4). С этой целью определим направленное отношение U следующим образом. Пусть C = {Ci,...,Ck} есть любая совокупность конечных (возможно пустых) подмножеств Cj С Bj, удовлетворяющая следую-щему условию: если x G Bj, то x G co Cj и размерность минимальной грани в co Cj, которой принадлежит x, совпадает с размерностью минимальной грани из Bj при Fsj (x) = 0 (это грани, для которых x лежит в их относительной внутренности, см. теорему 5.6 в [16]). Далее, определим Aj = co(Cj U {x}) для всех j = 1,... ,k и отметим, что этот набор выпуклых многогранников удовлетворяет всем условиям Утверждения 2.1.1. Пусть F = F(C) = {fi,..., fk} - набор линейных функционалов, отвечающих данному набору {Aj } многогранников и удовлетворяющий требованиям утверждения 2.1.1. Теперь определим отношение U как со- вокупность всех пар (C, F(C)) указанного вида, т. е. положим U = {(C, F) \C = {Cj}jzk1, \Cj \ < те, Cj с Bj, F = F(C)}. Свойство направленности отношения U легко проверяется. Действительно, для конечного семейства {C^ из domU достаточно положить Cj = UtCj, и, используя утверждение 2.1.1, найти набор функционалов F, соответствующий набору многогранников {Aj}, где Aj = co(CjU{x}). Легко видеть, что (Ct, F) G U, что и требовалось доказать. Итак, U - направленное отношение, и в силу теоремы направленности найдётся такой набор ненулевых нестандартных функционалов *F = {fj }j=i, что (C, *F) G *U при любом C G dom U. Чтобы закончить доказательство достаточно заметить, что по определению U набор *F удовлетворяет всем свойствам утверждения 2.1.1 при любом C G domU, и, так как к Cj можно добавить любую точку из Bj не выходя за пределы dom U, то fj (У) >f (x) = f (z) V z G FB3 (x) & V y G Bj \ FB3 (x), что устанавливает (2.1.7). Свойство (2.1.6) выполнено по определению отношения U ив силу утверждения 2.1.1. ? Доказательство теоремы 2.1.1. Необходимость. Поскольку Pi(x) С X для каждого i, то условие оптимальности по Парето состояния x может быть записано в эквивалентной форме: П Pi(x) П{у G L \ F(y) = FH} = 0, N Е fi = -fo ker? fi(.) D kerF(.). N N Далее заметим, что по условию теоремы 2.1.1 для каждого i G N выполняется Fp.(x)(x) = 0. Применяя (2.1.7) в отношении fi,..., fn, находим fi(Pi(x)) > fi(x) причём выполнены условия теоремы 2.1.4 (по условиям теоремы 2.1.1). Следовательно, существует набор нестандартных функционалов {ft}tZo, удовлетворяющий соотношениям (2.1.6) и (2.1.7), где функционал с номером 0 соответствует множеству, определённому через балансовое соотношение. В силу (2.1.6) и (2.1.7), применённому к функционалу fo, заключаем для каждого i G N, такого, что Vi (x) = 0. Чтобы закончить данную часть доказательства, осталось заменить все функционалы представляющими их векторами (в форме скалярного произведения), что возможно в силу конечномерности L. Доказательство теоремы в части достаточности совершенно стандартно и приводится здесь только с целью полноты изложения. Действительно, пусть найдётся x G A(X) и набор нестандартных векторов ni,..., пп, удовлетворяющий условиям теоремы. Тогда, если y G (nVi(x)) П A(X), то ni(y) > ni(x) для каждого i, откуда J2ni(yy) >J2ni(x). я я В то же время в силу x,y G A(X) и по свойству векторов {ni\ должно быть F(y) = F(x) = FИ ]Гп(y) = ?ni(x), Я я что противоречит предыдущему соотношению. ? Доказательство теоремы 2.1.2. Рассмотрим модификацию исходной модели экономики, в которой в качестве нового множества допустимых состояний выбирается всё пространство L, а в качестве новых предпочтений в точке x - множества вида Vi(x) = VT(x) х Ц Lt teT\T (при Vi(x) = 0). Тогда, так как в силу (2.1.3) при ненасыщенных предпочтениях имеем nVi,(x) = nVi(x) С X, то из оптимальности по Парето Я Я x в исходной модели заключаем, что П Vi(x) П(у G L | F(y) = FИ} = 0. Я Однако последнее означает оптимальность по Парето состояния x в новой модели (если Vi(x) = 0 для некоторого i, то последнее соотношение выполнено автоматически). Кроме того, заметим, что множества Vi(x) U {x} выпуклы - это следует из условий теорем 2.1.1 и 2.1.2, что эквивалентно выпуклости PTi(x) U {x:i}, где xi обозначает проекцию вектора x на Li = т. Lt. По условиям Теоремы 2.1.1 также имеем xi G рт (x). Далее применим теорему 2.1.1 к новой модели и найдём соответствующий набор нестандартных векторов п\,...,пп. По условию (п\,...,пп) = 0 можно считать, что евклидова норма вектора (ni,... ,пп) в точности равна 1, откуда в силу компактности единичной сферы в L заключаем существование ni = st^), i G N, не все из которых равны нулю. Для каждого из этих векторов мы имеем Пг, Pi(x)) > (TVi,x) nt,yt) > 0 Vyt G Lt, t G Ti. Последнее возможно, только если nj = 0 для всех t G T \ Ti, что совместно с предыдущим и заканчивает доказательство. ? Доказательство теоремы 2.1.3. Необходимость. В отличии от предыдущего доказательства рассмотрим несколько иные множества "предпо-читаемых" состояний, полагая Pi(x) = (рТ (x) U {xi}) х П Lt teT\т. для всех i G N (здесь рТ ( x) = 0 при Pi(x) = 0). Далее, используя свойство строгой оптимальности состояния x, покажем, что ПPi(x) П{У G L \ F(y) = FИ} = {x}. (2.1.8) N Действительно, пусть z принадлежит множеству, расположенному в левой части последнего соотношения. Прежде всего отметим, что в силу (2.1.3) должно быть z G X, и, следовательно, z G A(X). Далее, если z = x, то определим непустую (в силу (2.1.3)) коалицию агентов, полагая S = {i G N \ zi = xi}. Легко видеть, что S - коалиция, существование которой отрицается по свойству строгой оптимальности по Парето состояния x. Таким образом, (2.1.8) истинно, и можно применить теорему 2.1.4. Отметим, что грань минимальной размерности множества lCi(x), которой принадлежит элемент x, - это в точности множество {xц} х ПteT\Tж Lt. Поэтому в силу теоремы 2.1.4 и аргументов, аналогичных изложенным выше при доказательстве теоремы 2.1.1, найдётся совокупность нестандартных функционалов, чьи представляющие вектора удовлетворяют всем требованиям теоремы 2.1.3. В части достаточности доказательство стандартно. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.1.2 Нестандартная характеристика оптимальности по Парето" |
|
|