Нагрузки. Расчет деталей на прочность. Сдвиг, кручение
Методическое пособие - Разное
Другие методички по предмету Разное
а)б)
Рис. 5.5
Тогда:
.
При использовании формулы (5.1), получим:
. (5.2)
Из закона распределения касательных напряжений следует, что крутящий момент dМz в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении:
,
где dA - площадь элементарной площадки.
Тогда полный внутренний крутящий момент Мz:
или:
.
Из курса теоретической механики известно:
,
где I? - полярный момент инерции сечения.
Тогда используя формулу (5.2), получим формулу распределения касательного напряжения по сечению:
.
Значение касательного напряжения определяется величиной радиуса ? от оси балки до элементарной площадки сечения (Рис. 5.6):
Рис. 5.6
если ?=0, то ?=0
если ?=max=d/2, то ?=max.
Внутренняя зона (?~0) не сопротивляется скручиванию, поэтому валы обычно делают с осевым отверстием, т.е. валы кольцевого сечения.
Оценка деформации вала заключается в определении угла поворота ? вала под действием крутящего момента:
,
тогда:
.
Произведение I??G является механической характеристикой материала и называется жесткостью.
I? - геометрическая характеристика сечения, которая показывает закономерность распределения элементарных площадок по всему сечению, при этом описывает способность сечения сопротивляться скручиванию. Размерность полярного момента инерции сечения:
.
Размерность полярного момента выводится из расчета статистического момента сечения,
определяемым интегралом:
,
тогда:
,
для балки прямоугольного сечения основной геометрической характеристикой при расчете на прочность является осевой момент инерции сечения Ix (Рис. V. 5, б):
.
Если радиус ? разложить по теореме Пифагора:
,
то полярный момент инерции сечения равен:
,
тогда для круглого сечения:
.
Часто вместо полярного момента инерции сечения используется полярный момент сопротивления W?:
.
6. Изгиб
Изгиб - деформация тела балки под действием сил в продольных плоскостях. Изгиб бывает поперечный (происходит под действием сил и моментов), чистый (действует только изгибающий момент) или плоский (ось балки прогибается в одной плоскости).
Рассмотрим случай чистого изгиба (Рис. 6.1) - балка изогнута под действием изгибающих моментов.
Рис. 6.1
Исходя из характера деформации балки можно установить, что при чистом изгибе происходит поворот поперечных сечений без искажения, тогда как продольные слои балки деформируются (сжимаются и растягиваются) (Рис. 6.2).
Рис. 6.2
? - радиус кривизны слоя;
?- угол поворота торца.
Как видно из рис. 6. 2 на выпуклой стороне слои балки растягиваются, что приводит к появлению положительного напряжения (+?), а на вогнутой - сжимаются, с возникновением отрицательного напряжения (- ?). В средней зоне, т.е. на оси балки, нет напряжений и нет деформаций - это нейтральный слой (нейтральная ось), длина которого не меняется.
С целью вывода формул для определения нормального напряжения и кривизны балки рассмотрим элементарный участок длиной l (Рис. 6.3).
Рис. 6.3
Исходная длина балки - ОО1, d? - угол поворота торцевых перемещений, у - расстояние от нейтральной оси до некоторого слоя.
Если из точки О провести линию, параллельную правому торцу, дуга bc будет равна ОО1, а дуга аb - абсолютному удлинению торцов изгиба, т.е.:
,
тогда относительная деформация равна:
или
,
тогда:
. (6.1)
Введем величину k, называемую собственной кривизной и равную:
. (6.2)
Из аналитической геометрии следует:
. (6.3)
Степень в знаменателе формулы (6.3) существенно не влияет на равенство в связи с тем, что деформации жесткой балки малы, т.е. ими можно пренебречь, тогда:
.
Применяя закон Гука:
и формулы (6.1) и (6.2), получим формулу для определения нормального напряжения в любом слое балки (Рис. 6.4):
.
Рис. 6.4
Напряжение ? и его плечо у образует момент, тогда для элементарной площадки можно вывести формулу внутреннего изгибающего момента dMx:
,
полный внутренний изгибающий момент Mx равен:
или
,
где - осевой момент инерции сечения Ix,
тогда:
,
следовательно:
. (6.4)
Формула (6.4) позволяет вести расчет на прочность сечения изогнутой балки. Но на практике обычно вместо осевого момента инерции сечения Ix используют осевой момент сопротивления сечения Wx, равный:
.
Физический смысл Ix сводится к тому, что эта величина - геометрическая характеристика сечения, описывающая закономерность распределения элементарных площадок по всему сечению, а так же показывающая способность сечения сопротивляться изгибу. Таким образом, условием статической прочности балки при изгибе является выражение:
.
В зависимости от расстояния между элементарной площадкой сечения и осью балки изменяется напряжение при изгибе (Рис. 6. 5): чем дальше элементарная площадка от оси, тем больше величина напряжения (формула (6.4)).
Рис. 6.5