Нагрузки. Расчет деталей на прочность. Сдвиг, кручение
Методическое пособие - Разное
Другие методички по предмету Разное
/p>
Рис. 3.2
Кручение - деформация балки под действием момента, работающего в вертикальной поперечной плоскости (Рис. III.2).
Рассмотрим пример кручения жестко заделанной консольной балки (Рис. 3.3, а). Разбив балку поперечными сечениями на грузовые участки и отбросив более нагруженные части, с помощью метода сечений построим эпюр крутящих моментов.
На участке I (Рис. III.3, б) равновесие будет обеспечиваться при взаимодействии внешнего и внутреннего моментов:
,
Учитывая правило знаков, согласно которому внутренний крутящий момент положительный, если, глядя на сечение, внутренний крутящий момент поворачивает сечение против часовой стрелки, получим:
или:
.
Для участка II:
.
Пусть M1=1 кНм, M2=3 кНм, тогда:
,
Отсюда следует то, что направление Т2 выбрано неправильно.
Рис. 3.3
Изгиб.
Изгиб является наиболее сложным видом нагружения. Изгиб - деформация балки под действием моментов в вертикальной продольной или горизонтальной плоскостях (Рис. 3.4).
Рис. 3.4
Рассмотрим изгиб консольно заделанной балки (Рис. 3.5).
Рис. 3.5
Рис. 3.6
Изгибающий момент создается под действием концентрированной силы F. На балку действуют шарнирные опоры А и В, в связи с чем возникают реакции связей - RАy и RВy (Рис. III.6).
Расчет балки на прочность сводится к построению эпюров внутренних силовых факторов - поперечной силы Q и изгибающего внутреннего момента Мх. Решение задачи начинается с определения всех реакций связей. Очевидно, что:
.
Используя метод сечений, мысленно рассечем балку сечениями и, откинув более нагруженную часть грузового участка (l1 или l2), рассмотрим I и II участки.
Рис. 3. 7
Рассмотрим участок I (Рис. 3.7). Равновесие участка обеспечивается, если воздействию внешней реактивной силы RAy будет противостоять внутренняя сила Q1.Образованная пара сил создает момент, который должен быть скомпенсирован изгибающим моментом Mx1.
Тогда:
Условием неопрокидывания (неповорачивания) является нулевая сумма моментов внешних и внутренних сил относительно точки сечения:
,
тогда:
Если z=0, то Мх1=0, если z=l1, то Мх1=RAy l1. Пусть l1=1 м, тогда Мх1=RAy l1=11=1 кНм. Внутренний момент Мх1 не является постоянным на участке, в связи с увеличением z, и его проекция на эпюре - наклонная линия.
Аналогичные рассуждения проводятся для участка II (Рис. III.8) и для любых балок с любым видом нагружения.
Рис. 3.8
Правила знаков.
Внутреннее поперечное усилие Q положительно, если справа от сечения вектор Q направлен вниз, а слева от сечения - вверх, в противном случае Q принимает отрицательное значение (Рис. 3.9, а).
а) б)
Рис. 3.9
Если внутренний изгибающий момент М изгибает балку вниз, то на эпюре его проекция положительна, если вверх - отрицательна (Рис. III.9, б).
Замечание. Данное правило определения знака М применимо только при построении эпюра, при составлении уравнений равновесия используется зависимость знака М от направления вращения момента.
Рассмотрим случай нагружения балки распределенной силой q (Рис. 3.10).
Рис. 3.10
Очевидно, что:
.
Рассмотрим участок слева от сечения (Рис. 3.11).
Рис. 3. 11
Условием вертикального равновесия является уравнение:
,
откуда:
если z=0, то Q=-RAy, из чего следует то, что направление вектора Q выбрано неправильно. При увеличении z величина Q изменяется, проекция Q является наклонной линией.
Условие неопрокидывания:
,
,
если z=0, то Мх=0.
Из рис. III.10 видно, что балка максимально изогнется в середине балки и, следовательно, опасное сечение - середина балки, тогда как в точках А и В деформации минимальны, тогда:
если z=, то Мх=max
если z=, то Мх=min.
Правила проверки коррекции построения эпюр.
В местах приложения концентрированных внешних силовых факторов на соответствующих эпюрах наблюдаются переходы, равные величине внешних факторов.
При наличии концентрированных внешних сил эпюр поперечного усилия Q - горизонталь, а изгибающего момента М - наклонная линия.
Если внешняя нагрузка распределена по длине балки, то проекция Q на эпюре - наклонная линия, изгибающего момента М - парабола, причем выпуклость параболы - против направления распределенного усилия.
Поскольку
,
,
то знак производной от Мх соответствует знаку поперечного усилия Q.
4. Основные физико-механические характеристики материала
Рассмотрим случай осевого (центрального) нагружения (Рис. 4.1), в результате чего появляется внутреннее осевое усилие, приводящее к деформации (в данном случае - растяжение). Если на поверхность тела (стержня) нанести сетку линий, параллельных и перпендикулярных оси тела, то при нагружении расстояние между ними изменится, причем сами линии останутся взаимно перпендикулярными.
Рис. 4.1
Рассмотрим деформацию выделенного элементарного участка (заштриховано). В результате нагружения участок удлиняется и сжимается, деформации балки можно описать относительными величинами - относительная продольная деформация ? и поперечная относительная деформация ??:
(IV.1)
. (IV.2)
Величина, позволяющая сопоставить поперечные и продольные деформации, - коэффициент Пуассона ?:
.
Упругость - свойство материала возвращаться к перво