Множества. Функция и ее непрерывность
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
Содержание
1. Множества. Действительные числа
Понятие множества
Операции над множествами
Множество действительных чисел
Числовые последовательности
2. Функция
Понятие функции
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
3. Непрерывность функции
Непрерывность функции в точке
Арифметические операции над функциями, непрерывными в точке
Непрерывность элементарных функций
Свойства непрерывных функций
1. Множества. Действительные числа
Понятие множества
Мно?жество - один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных аксиоматических понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например в формулировке немецкого математика Георга Кантора: "Под множеством мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться элементами множества)".
С 1872 г. по 1897 г. (главным образом в 1872-1884 гг.) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор.
Другая формулировка принадлежит английскому математику Бертрану Расселлу (1872-1970гг.): "Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое".
Таким образом, под множеством понимается совокупность элементов (объектов) той или иной природы.
Множества обычно обозначают большими буквами латинского или другого алфавита: …, а элементы множества малыми буквами …
Если элемент принадлежит множеству , то пишут . Если не принадлежит множеству , то запись этого утверждения имеет вид .
множество функция непрерывная число
Множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть равенство означает, что одно и тоже множество обозначено разными буквами.
Существует два основных способа задания множества. Если элементы множества могут быть перечислены, то такое множество записывают в виде . Эта запись означает, что множество состоит из элементов и возможно еще каких-то других. Список элементов может быть и бесконечным. Например, множество содержит четыре элемента: . Множество , где - целое положительное число, состоит из бесконечного числа элементов. Если множество состоит из элементов , где индекс принимает значения из некоторого множества , то его записывают в виде .
Если множество состоит из элементов, обладающих определенным свойством, то его записывают в виде , где в фигурных скобках после вертикальной черты указывают данное свойства элементов множества. Например, если множество - это отрезок (), то есть множество всех чисел , удовлетворяющих неравенству , то форма записи множества имеет вид .
Пример. Запись означает, что множество состоит из вещественных корней квадратного уравнения , то есть .
Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Оно обозначается символом .
Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству . В этом случае пишут . Последнюю запись можно прочитать и так: множество заключено (содержится) в множестве .
Если и , то каждый элемент множества принадлежит множеству , а каждый элемент множества принадлежит множеству . Следовательно, множества и состоят из одних и тех же элементов, то есть .
Операции над множествами
Пусть и - произвольные множества.
Объединением или суммой множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и . Объединение множеств и обозначается символом .
Пересечением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству , Пересечение множеств и обозначается через .
Разностью множеств и называется множество , состоящее из элементов, принадлежащих множеству , но не принадлежащих множеству , то есть .
Если , то разность называется дополнением множества до множества и обозначается .
Для наглядности множества нередко изображают в виде некоторой совокупности точек на плоскости. На рис.1а изображены множества и , на рис.1б - их объединение, на рис.1в - пересечение множеств и , на рис.1г - разность множеств и , на рис.1д - дополнение множества до множества .
а) б) в)
г) д)
Рис.1
Пусть задана система множеств , где значения образуют некоторую совокупность индексов . Объединением множеств называется множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств . Пересечением множеств называется множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно всем множествам .
Пример. Пусть , , , где - множество натуральных чисел. Тогда
, , ,
, ,
, , ,
, , , , .
Логические символы
- означает "из предложения следует предложение ";
- означает " предложения и равносильны, т.е. из следует и
из следует ;
: - означает "имеет место", "такое что";
- (символ всеобщности) означает "для любого", "для всякого";
- (символом существования) означает "найдется", "существует".