Множества. Функция и ее непрерывность
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
, .
Заметим, что при записи обратной функции независимую переменную нередко обозначают , а значение функции , то есть пишут . Например, - функция обратная для функции . Функция - функция обратная для функции .
Теорема. Пусть на отрезке задана возрастающая (убывающая) непрерывная функция , и пусть и . Тогда эта функция имеет на отрезке () возрастающую (убывающую) непрерывную обратную функцию .
Непрерывность элементарных функций
Простейшими элементарными функциями называются следующие функции: степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические функции , , , и обратные тригонометрические функции , , , .
Элементарными функциями называются функции, полученные в результате суперпозиции простейших элементарных функций и арифметических действий.
Все элементарные функции непрерывны в любой точке своего определения.
Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.
Пример. Найти .
Решение. Так как сложная функция непрерывна в точке , то .
Свойства непрерывных функций
Определение. Функция называется ограниченной на множестве , если найдутся такие вещественные числа и , что для всех значений аргумента из множества справедливы неравенства .
Заметим, что последнее неравенство можно заменить неравенством , где , и сформулировать следующее определение ограниченной функции: функция называется ограниченной на множестве , если найдется такое положительное вещественное число , что для всех значений аргумента из множества справедливо неравенство .
1.(Об устойчивости знака непрерывной функции). Если функция непрерывна в точке , и если , то найдется такая -окрестность точки , что для всех значений аргумента из указанной -окрестности функция имеет знак, совпадающий со знаком .
2.(О прохождении непрерывной функции через нуль при смене знака). Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой функция обращается в нуль ().
3.(О прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем , . Пусть - любое число, заключенное между и . Тогда на отрезке найдется точка такая, что .
4.(Первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
5.(Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих максимального и минимального значений, то есть на отрезке найдутся точки и такие, что и .