Множества. Функция и ее непрерывность

Методическое пособие - Математика и статистика

Другие методички по предмету Математика и статистика

?ти, равные нулю, а бесконечное число членов, равных 1 или - 1, окажутся за пределами -окрестности. Если число принадлежит интервалу (0,9; 1,1) или (-1,1; - 0,9), то за пределами -окрестности заведомо окажутся все нулевые члены последовательности. При всех остальных значениях числа в его -окрестность не попадет ни одного члена последовательности. Итак какое бы число мы не взяли, для заданного найдется бесконечное число элементов последовательности, не принадлежащих -окрестности числа . Следовательно, рассматриваемая последовательность расходится.

Основные свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. (Методом от противного). Предположим, что последовательность сходится и имеет два разных предела, то есть и , причем . Возьмем -окрестность числа а, которая не содержит b. Так как а - предел последовательности , то по определению 2 за пределами -окрестности находится лишь конечное число элементов данной последовательности и, следовательно, число b не может быть ее пределом.

Теорема 2. Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу , то и предел такой последовательности также равен числу , то есть, если , то и .

Доказательство. Рассмотрим последовательность . Покажем, что , то есть предел последовательности равен константе . Рассмотрим любую -окрестность числа С. Все члены последовательности попадут в эту окрестность, а за ее пределами не окажется ни одного члена последовательности. Согласно определению 2 это и означает, что число С есть предел данной последовательности.

Теорема 3. Сумма, разность, произведение и частное двух сходящихся последовательностей и (частное при условии, что предел отличен от нуля) есть сходящаяся последовательность, предел которой равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов последовательностей и , то есть, если

 

, , то

);

);

), .

 

Доказательство. Докажем свойство 1) для суммы двух сходящихся последовательностей, то есть докажем, что . Возьмем любое положительное число . Поскольку , то для положительного числа существует номер такой, что при всех выполняется неравенство . Аналогично, так как то для положительного числа существует номер такой, что при всех выполняется неравенство . Обозначим . Тогда при всех справедливо

 

.

 

Это и означает, что , что и требовалось доказать.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть

, где .

Теорема 4. Сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 5. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

То есть, если , а последовательность {} - ограниченная, то .

Доказательство. Пусть {} - бесконечно малая, а {} - ограниченная последовательности. Требуется доказать, что последовательность - бесконечно малая последовательность. Так как {} - ограниченная, то существует положительное число такое, что для всех членов последовательности справедливо неравенство . Возьмем любое положительное число . Поскольку {} - бесконечно малая, то для положительного числа существует номер такой, что при всех выполняется неравенство . Тогда при всех справедливо

 

.

 

Это означает, что последовательность - бесконечно малая.

Пример. Последовательность - бесконечно малая как произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой . Следовательно, .

Теорема 6. Если последовательность {} - бесконечно большая, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности не равны нулю, то последовательность - бесконечно большая.

(Без доказательства).

Теорема 7 (о трех последовательностях). Пусть последовательности и сходятся и имеют общий предел , то есть . Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности удовлетворяют неравенствам . Тогда последовательность также сходится и имеет предел , то есть .

Предельные точки последовательности

Определение. Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если в любой -окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности .

Предельные точки называют также частичными пределами последовательности.

Пример. Найти все предельные точки последовательности .

Данная последовательность - это последовательность , 3, , 3, …

По определению последовательность имеет две предельные точки: 1/3 и 3. Покажем, что других предельных точек у данной последовательности нет. Пусть - произвольная точка числовой оси, отличная от 1/3 и 3. Выберем число достаточно малым для того, чтобы -окрестности точек , 1/3 и 3 не пересекались. Тогда все элементы последовательности находятся в -окрестности точек, 1/3 и 3, а в -окрестности точки нет ни одного элемента. Согласно определению точка не является предельной точкой.

Определение. Наибольшая предельная точка (наибольший частичный предел) последовательности называется верхним пределом этой последовательности и обозначается символом . Наименьшая предельная точка (наименьший частичный предел) последовательности называется нижним пределом этой последовательности и обозначается символом .

2. Функция

 

Понятие функции

 

Определение. Если каждому зн