Множества. Функция и ее непрерывность
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
сла найдется хотя бы один элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству .
Примеры.1. = - ограниченная последовательность, так как .
. = - ограниченная последовательность, так как .
. - неограниченная последовательность {}, так как для любого положительного числа найдется хотя бы один элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству .
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа найдется номер , зависящий от , такой, что для всех номеров справедливо неравенство .
Пример. Последовательность , то есть последовательность натуральных чисел {} является бесконечно большой, так как для любого положительного числа найдется номер , такой, что для всех номеров справедливо неравенство .
Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Действительно, для того, чтобы последовательность была неограниченной необходимо, чтобы для любого положительного числа неравенство выполнялось, хотя бы для одного элемента последовательности, но из определения бесконечно большой последовательности следует, что такими элементами являются все элементы последовательности, начиная с некоторого номера .
Обратное утверждение неверно, то есть неограниченная последовательность не всегда является бесконечно большой.
Пример. Рассмотрим последовательность 0, 2, 0, 4, …, у которой все члены с нечетными номерами равны нулю, а члены с четными номерами равны . Поскольку для любого положительного числа найдется натуральное число , то для четных номеров больших справедливо неравенство . Следовательно, данная последовательность является неограниченной. Однако она не является бесконечно большой, так как, какой бы большой номер мы не взяли, имеются члены с нечетными номерами , равные нулю, для которых неравенство не имеет места.
Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа найдется номер , зависящий от , такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Пример. Показать, что последовательность является бесконечно малой.
Пусть - произвольное положительное число. Тогда при всех , то есть за номер можно принять натуральное число , где - целая часть числа . Поскольку для произвольного числа мы смогли определить номер такой, что при всех справедливо неравенство , то последовательность - бесконечно малая.
Пример. Показать, что последовательность является бесконечно большой, если , и бесконечно малой, если .
)Пусть . Возьмем произвольное положительное число . Тогда , при всех . Возьмем . Тогда для всех справедлива цепочка неравенств . Следовательно, последовательность является бесконечно большой.
)Если , то для любого положительного числа и любого номера выполняется неравенство , и последовательность - бесконечно малая. Рассмотрим случай . В этом случае , при всех . Возьмем . Тогда при всех . Следовательно, если , то последовательность является бесконечно малой.
Предел числовой последовательности. Сходящиеся последовательности
Определение 1. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдется такой номер , зависящий от , что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству
. (1)
Символически это записывают так
, или при .
Неравенство (1) означает, что, начиная с номера , все элементы последовательности находятся внутри интервала , который называют -окрестностью числа .
Согласно данному определению бесконечно малая последовательность имеет своим пределом нуль, то есть .
Если последовательность является бесконечно большой, то пишут . В случае бесконечно большой последовательности, все члены которой, начиная с некоторого номера положительны, говорят, что ее предел равен и пишут . Если же все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера отрицательны, то ее предел считают равным и пишут .
Определение 2. Число называется пределом последовательности , если в любой -окрестности числа находятся все элементы данной последовательности, начиная с некоторого номера.
Последнее утверждение означает, что, если число - предел последовательности, то за пределами любой его -окрестности находится лишь конечное число элементов данной последовательности.
Определение. Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел. Если предел не существует или равен , то последовательность называется расходящейся.
Из определения 2 следует, что последовательность расходится, если для любого числа найдется его -окрестность, за пределами которой лежит бесконечное число элементов последовательности.
Пример 1. Рассмотрим последовательность . Покажем, что .
Пусть - произвольное положительное число. Тогда неравенство выполняется при всех , то есть за номер можно принять натуральное число , где - целая часть числа . Поскольку для произвольного числа мы смогли определить номер такой, что при всех справедливо неравенство , то последовательность сходится, а ее предел равен единице, то есть .
Пример 2. Последовательность расходится.
Действительно, данная последовательность - это последовательность 1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1, … Пусть . Если, число принадлежит интервалу , то в -окрестность этого числа попадут лишь члены последовательно?/p>