Множества. Функция и ее непрерывность
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
Например, запись означает "для любого найдется положительное число".
Множество действительных чисел
В процессе счета сначала возникает так называемый натуральный ряд чисел Множество этих чисел называется множеством натуральных чисел и обозначается ={ }. Далее в арифметике вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако в результате вычитания или деления не всегда получаются натуральные числа, и возникает необходимость расширить класс рассматриваемых чисел.
Вводятся число 0 и отрицательные числа - 1, - 2, …,-n, … Натуральные числа, число 0 и указанные отрицательные числа образуют множество целых чисел . Очевидно, что множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел, то есть .
При делении целых чисел появляются рациональные числа вида , где и - целые числа, причем . Множество рациональных чисел обозначают буквой . Его можно записать в виде . Рациональное число , вообще говоря, можно записать не единственным образом. Например, Чтобы избежать этой неопределенности говорят, что рациональное число - это несократимая обыкновенная дробь. При этом предполагают, что если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь следует сократить. Заметим также, что целые числа также представимы в виде , если положить . Следовательно, .
В процессе измерения геометрических величин выяснилось, что длина отрезка не всегда может быть задана рациональным числом. Таким примером может служить длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1. Как следует из теоремы Пифагора, длина гипотенузы в данном треугольнике равна . Предположим, что - рациональное число, то есть может быть представлено в виде . Причем и не имеют общих множителей. После возведения в квадрат равенства получим или
. (1)
Последнее равенство означает, что - четное число. Тогда также является четным и может быть записано в виде . Подставляя в (1) получим . Отсюда следует, что - тоже четное число. Но в этом случае и имеют общий множитель, равный двум, а мы предположили, что - несократимая дробь. Следовательно, наше предположение оказалось неверным, и не является рациональным числом. Итак, извлечение корня, вычисление логарифмов, значений тригонометрических функций и прочие операции привели к появлению иррациональных чисел. Все рациональные и иррациональные числа образуют множество вещественных (действительных) чисел. Множество вещественных чисел обозначают . Очевидно, справедливо соотношение .
Любое вещественное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью. При этом рациональные числа можно представить в виде:
)бесконечной десятичной периодической дроби, то есть дроби, у которой, начиная с некоторого знака, одна или несколько последующих цифр периодически повторяются, например, (эти повторяющиеся цифры записывают в круглых скобках).
)либо в виде конечной десятичной дроби. Отметим также, что рациональные числа, имеющие вид конечной десятичной дроби , допускают двоякое представление в виде бесконечной десятичной дроби. Во-первых, такую дробь можно считать бесконечной, у которой все знаки с номерами большими равны нулю, то есть представить ее в виде . Так можно записать как 0,5000…=0,5 (0), а 1= 1.000. =1. (0). Или такую конечную десятичную дробь можно записать в виде
.
И тогда а 1 = 1.000. =1. (0) =0,999…=0, (9).
Далее мы всегда будем использовать вторую форму записи.
Иррациональные числа всегда представляются бесконечной десятичной непериодической дробью.
Очевидно, что имеет место следующее включение множеств .
Числовые последовательности
Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то совокупность занумерованных чисел называют числовой последовательностью или просто последовательностью.
Числа называются элементами или членами последовательности. По своему определению последовательность содержит бесконечное множество элементов. Последовательность с элементами обозначают также {}.
Например, - это последовательность ,
- это последовательность 0, 2, 0, 2, …
Последовательность может быть задана с помощью формулы , которая называется формулой общего члена последовательности. Например, формула задает последовательность
Суммой (разностью) двух последовательностей и называется последовательность , все элементы которой равны сумме (разности) ().
Произведением двух последовательностей и называется последовательность =, частным - последовательность =, причем при определении частного нужно потребовать, чтобы все элементы последовательности были отличны от нуля.
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если найдется такое вещественное число , что для всех членов последовательности справедливо неравенство ().
Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если найдутся такие вещественные числа и , что для всех членов последовательности справедливо неравенство .
Это определение можно сформулировать по другому:
Последовательность называется ограниченной, если найдется положительное число такое, что для всех членов последовательности справедливо неравенство . (Здесь ).
Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного чи