Множества. Функция и ее непрерывность
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
ачению переменной из некоторого множества ставится в соответствие по известному закону единственное число , то говорят, что на множестве задана функция или .
При этом называется аргументом функции, множество - областью задания функции . Число , которое соответствует данному значению аргумента , называется частным значением функции в точке . Совокупность всех частных значений образует вполне определенное множество , называемое множеством значений функции.
Функция называется четной (нечетной), если для любого из области определения функции справедливо равенство ().
Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого из области определения функции справедливо равенство . Наименьшее из чисел называют периодом функции.
Функции могут задаваться, например, при помощи формул. Такой способ называется аналитическим. В этом случае используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций и алгебраические действия.
Например, , , и т.д. Иногда на разных участках своей области задания функции задаются разными формулами. Например, функция , которая принимает значение, равное 1 при , 0 при , - 1 при может быть записана следующим образом
Название функции произошло от латинского слова signum - знак. Областью задания этой функции является вся числовая прямая, а область значений состоит из трех чисел: 1, 0, - 1.
Функция может быть также задана с помощью описания соответствия. Например, поставим в соответствие вещественному числу наибольшее целое не превосходящее . В результате получим функцию, определенную на всей числовой оси, и принимающей целочисленные значения. Эту функцию называют целой частью числа и обозначают . Другим примером может служить функция Дирихле, принимающая значение, равное 1, если - рациональное число и 0, если - иррациональное число.
Еще один способ задания функции - это табличный способ. В этом случае для некоторых значений переменной указывают соответствующие значения функции. Данные таблиц могут быть получены как непосредственно из опыта, так и с помощью тех или иных математических расчетов. Примерами такого задания функций могут служить таблицы тригонометрических функций.
Для наглядного представления о характере функциональной зависимости часто строят графики функции.
Графиком функции называется множество точек на плоскости с координатами , .
Предел функции в точке
Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки , за исключением может быть самой точки .
Определение 1 (по Гейне). Число называется предельным значением функции в точке или пределом функции при , стремящемся к , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента , все элементы которой отличны от , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Если число является предельным значением функции в точке , то пишут .
Пример. Рассмотрим функцию . Она имеет предельное значение в любой точке числовой прямой, равное . Действительно, для любой сходящейся к последовательности все элементы соответствующей последовательности значений функции равны . Поскольку последовательность сходится к , то .
Пример. Найдем предельное значение функции в точке . Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к (). Тогда
,
то есть соответствующая последовательность значений функции сходится к . Следовательно .
Пример. Покажем, что функция не имеет предельного значения в точке . Рассмотрим две последовательности и . Очевидно, что обе эти последовательности сходятся к нулю. Последовательность значений функции, соответствующая последовательности , сходится к 0, а последовательность значений функции, соответствующая последовательности , сходится к 1. Поскольку , то рассматриваемая функция не имеет предела при .
Определение 2 (Коши). Число называется предельным значением функции в точке или пределом функции при , стремящемся к , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
.
Ограничение , означает, что .
Первое и второе определения предельного значения функции в точке равносильны.
Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство равносильно двойному неравенству и соответствует попаданию значений функции в -окрестность точки . Аналогично, неравенство равносильно двойному неравенству и соответствует попаданию значений аргумента в -окрестность точки . Таким образом, число есть предел функции в точке (или при ), если для любого положительного числа найдется такая -окрестность точки , что для всех , из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе , какой бы узкой эта полоса ни была. Пример. Докажем, используя второе определение предельного значения функции в точке, что
().
Возьмем произвольное положительное число .
Из очевидного неравенства
следует, что если , то . Следовательно, для любого положительного числа , найдется положительное число , такое что для всех , удовлетворяющих неравенству .
Предельное значение функции при
Будем считать, что область задания функции имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка , для любого положительного числа.
Определение. Число называется пределом ф