Множества. Функция и ее непрерывность
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
но большая. Следовательно, .
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
Пусть и - две бесконечно малые в точке функции, определенные на одном и том же множестве.
.Функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем , если . В этом случае используют символическую запись , которая читается следующим образом: равно малое от .
.Функции и называется бесконечно малыми одного порядка, если в точке существует конечный предел отношения , отличный от нуля.
.Функции и называется эквивалентными бесконечно малыми, если . Для обозначения эквивалентности используют символ ~. Запись читается: функция эквивалентна функции .
.Функция называется бесконечно малой порядка относительно , если в точке существует конечный предел отношения , отличный от нуля.
Аналогичным образом сравнивают и бесконечно большие функции. Пусть и - две бесконечно большие в точке функции одного знака.
.Функция называется бесконечно большой более высокого порядка, чем , если их отношение является бесконечно большой в точке функцией.
.Функции и называется бесконечно большими одного порядка, если в точке существует конечный предел отношения , отличный от нуля.
.Функции и называется эквивалентными бесконечно большими, если .
.Функция называется бесконечно большой порядка относительно , если в точке существует конечный предел отношения , отличный от нуля.
Односторонние пределы
Будем использовать определение Гейне предела функции.
Определение. Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента функции, все элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Такие пределы называются односторонними пределами.
Правый предел обозначают символом , а левый - . Правый и левый предел функции в точке могут принимать как равные, так и отличные друг о друга значения.
Пример. Найдем правый и левый пределы функции при . Возьмем произвольную сходящуюся к последовательность , все элементы которой больше нуля. Тогда и . Пусть все члены сходящейся к последовательности меньше нуля. В этом случае
и .
Теорема. Если в точке правый и левый пределы функции равны, то в этой точке существует предельное значение функции, равное указанным односторонним пределом, то есть
==.
(Без доказательства).
Замечание. Если в точке правый и левый пределы функции не равны (), то функция в точке предела не имеет.
Следовательно, функция при предела не имеет, так как
.
3. Непрерывность функции
Непрерывность функции в точке
Пусть функция определена в точке и любая -окрестность точки содержит отличные от точки области задания этой функции.
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям:
)определена в точке (т.е. существует );
)имеет конечный предел в точке ;
)этот предел равен значению функции в точке , то есть .
Предел функции в точке часто называют предельным значением функции в этой точке. И тогда определение 1 можно сформулировать следующим образом: функция называется непрерывной в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению , то есть, если
. (1)
Поскольку , то равенство (1) можно представить в виде
. (2)
Следовательно, для непрерывной функции знак предела можно вносить под знак функции. Примеры: Исследовать непрерывность в точке заданных функций:
) ;
) 3) 4) .
Решение. В точке :
) функция не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности - существование ;
) функция не является непрерывной - первое условие непрерывности выполнено, существует (), но нарушено второе условие - отсутствует предел функции точке , то есть не существует (точнее говоря, существуют односторонние пределы слева и справа, но они не равны );
) функция не является непрерывной - первые два условия непрерывности выполнены: существует () и конечный предел , но нарушено третье основное условие - .
) функция является непрерывной, так как выполнены все три условия непрерывности - .
Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).
Сформулируем еще одно (второе) определение непрерывности функции в точке.
Дадим аргументу функции приращение . Тогда функция получит приращение , определяемое как разность нового и старого значения функции: .
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть
. (3)
Пример. Используя определение 2, покажем, что функция непрерывна в любой точке .
Давая аргументу приращение , получим приращение функции :
или
.
Переходя к пределу в левой и правой частях равенства при , получим
так как , а
(произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть бесконечно малая).
Таким образом, функция непрерывна в любой точке .
Непрерывность функции в любой точке доказывается аналогично.
Определе?/p>