Множества. Функция и ее непрерывность

Методическое пособие - Математика и статистика

Другие методички по предмету Математика и статистика

но большая. Следовательно, .

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Пусть и - две бесконечно малые в точке функции, определенные на одном и том же множестве.

.Функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем , если . В этом случае используют символическую запись , которая читается следующим образом: равно малое от .

.Функции и называется бесконечно малыми одного порядка, если в точке существует конечный предел отношения , отличный от нуля.

.Функции и называется эквивалентными бесконечно малыми, если . Для обозначения эквивалентности используют символ ~. Запись читается: функция эквивалентна функции .

.Функция называется бесконечно малой порядка относительно , если в точке существует конечный предел отношения , отличный от нуля.

Аналогичным образом сравнивают и бесконечно большие функции. Пусть и - две бесконечно большие в точке функции одного знака.

.Функция называется бесконечно большой более высокого порядка, чем , если их отношение является бесконечно большой в точке функцией.

.Функции и называется бесконечно большими одного порядка, если в точке существует конечный предел отношения , отличный от нуля.

.Функции и называется эквивалентными бесконечно большими, если .

.Функция называется бесконечно большой порядка относительно , если в точке существует конечный предел отношения , отличный от нуля.

 

Односторонние пределы

 

Будем использовать определение Гейне предела функции.

Определение. Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента функции, все элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Такие пределы называются односторонними пределами.

Правый предел обозначают символом , а левый - . Правый и левый предел функции в точке могут принимать как равные, так и отличные друг о друга значения.

Пример. Найдем правый и левый пределы функции при . Возьмем произвольную сходящуюся к последовательность , все элементы которой больше нуля. Тогда и . Пусть все члены сходящейся к последовательности меньше нуля. В этом случае

 

и .

 

Теорема. Если в точке правый и левый пределы функции равны, то в этой точке существует предельное значение функции, равное указанным односторонним пределом, то есть

 

==.

 

(Без доказательства).

Замечание. Если в точке правый и левый пределы функции не равны (), то функция в точке предела не имеет.

Следовательно, функция при предела не имеет, так как

 

.

 

3. Непрерывность функции

 

Непрерывность функции в точке

 

Пусть функция определена в точке и любая -окрестность точки содержит отличные от точки области задания этой функции.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

)определена в точке (т.е. существует );

)имеет конечный предел в точке ;

)этот предел равен значению функции в точке , то есть .

Предел функции в точке часто называют предельным значением функции в этой точке. И тогда определение 1 можно сформулировать следующим образом: функция называется непрерывной в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению , то есть, если

 

. (1)

 

Поскольку , то равенство (1) можно представить в виде

 

. (2)

 

Следовательно, для непрерывной функции знак предела можно вносить под знак функции. Примеры: Исследовать непрерывность в точке заданных функций:

 

) ;

) 3) 4) .

 

Решение. В точке :

) функция не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности - существование ;

) функция не является непрерывной - первое условие непрерывности выполнено, существует (), но нарушено второе условие - отсутствует предел функции точке , то есть не существует (точнее говоря, существуют односторонние пределы слева и справа, но они не равны );

) функция не является непрерывной - первые два условия непрерывности выполнены: существует () и конечный предел , но нарушено третье основное условие - .

) функция является непрерывной, так как выполнены все три условия непрерывности - .

Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).

Сформулируем еще одно (второе) определение непрерывности функции в точке.

Дадим аргументу функции приращение . Тогда функция получит приращение , определяемое как разность нового и старого значения функции: .

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть

 

. (3)

 

Пример. Используя определение 2, покажем, что функция непрерывна в любой точке .

Давая аргументу приращение , получим приращение функции :

 

 

или

 

.

 

Переходя к пределу в левой и правой частях равенства при , получим

 

так как , а

 

(произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть бесконечно малая).

Таким образом, функция непрерывна в любой точке .

Непрерывность функции в любой точке доказывается аналогично.

Определе?/p>