Множества. Функция и ее непрерывность

Методическое пособие - Математика и статистика

Другие методички по предмету Математика и статистика

ункции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента функции соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Пример 1. Найдем предел функции при . Пусть - произвольная бесконечно большая последовательность. Тогда соответствующая последовательность значений функции является бесконечно малой. Следовательно .

Пример 2. Покажем, что функция не имеет предела при . Действительно, для бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к 1. Однако для другой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к 0. Следовательно, предел функции при не существует.

Сформулируем определение предела функции при стремлении аргумента к бесконечности определенного знака, то есть при и . Предельные значения функции в этих случаях могут оказаться различными.

Определение. Число называется пределом функции при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента функции, элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Пример. Найти предельные значения функции при и .

Пусть - произвольная бесконечно большая последовательность, все элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны. Тогда

 

.

 

Если все члены бесконечно большой последовательности , начиная с некоторого номера, отрицательны, то

 

.

 

Следовательно, , а .

Теоремы о пределах функций

Теорема 1. Пусть, заданные на одном и том же множестве функции и имеют в точке предельные значения и . Тогда функции , , и имеют в точке предельные значения (частное при условии, что ), равные соответственно , , и .

Доказательство

Следствие. Если функция имеет в точке предельное значение, равное , то .

Действительно, пусть . Воспользовавшись предыдущее теоремой, получим

 

.

 

Теорема 2. Если функции и имеют в точке одинаковые предельные значения, равные , и в некоторой проколотой окрестности точки справедливо неравенство , то функция также имеет в точке предельное значение, равное .

Заметим, что данные теоремы также справедлива в случае, когда .

Первый замечательный предел

Теорема. Предельное значение функции в точке существует и равно единице:

 

. (1)

 

Равенство (1) называют первым замечательным пределом.

Доказательство.

 

 

Пусть . Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке (рис.1). Пусть радиус образует угол с радиусом . Соединим точки и отрезком прямой и восстановим из точки перпендикуляр к радиусу до пересечения с продолжением . Точку пересечения обозначим . Тогда и . Найдем площади треугольника , сектора и треугольника :

 

, , .

 

Поскольку треугольник содержится в секторе , который в свою очередь содержится в треугольнике , то их площади связаны соотношением

 

.

 

Следовательно, , откуда

 

(). (2)

 

Разделим неравенство (2) на .

В результате получим

 

,

 

откуда имеем

 

. (3)

 

В силу четности функций и неравенство (3) справедливо и для . Поскольку , то из неравенства (3) следует, что функции также имеет в точке предельное значение, равное единице.

Следствие.

 

.

 

 

Второй замечательный предел. Теорема. Предельное значение функции при существует и

равно :

 

. (4)

 

Второй замечательный предел также записывают в виде

 

. (5)

 

Число называется неперовым числом или числом Эйлера. Оно равно 2,718281828459045… Число принято за основание натуральных логарифмов: . В приложениях также большую роль играет показательная функция с основанием . Функция называется экспоненциальной функцией, а ее график экспонентой.

Следствия.

 

. ;

. .

 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

 

Определение. Функция называется бесконечно малой в точке (при ), если ее предельное значение в этой точке (при ) равно нулю.

Заметим, что если функция имеет в точке (при ) предельное значение , то функция является бесконечно малой в точке (при ). Отсюда следует, что если функция имеет в точке (при ) предельное значение , то ее можно представить в виде , где - бесконечно малая функция в точке (при ).

Пример. Функция является бесконечно малой в точке . Действительно, рассмотрим произвольную сходящуюся к последовательность . По определению предела функции имеем

 

.

 

Определение (по Гейне). Функция называется бесконечно большой в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой последовательностью.

Если функция является бесконечно большой в точке , то ее предел считают равным .

Пример. Функция является бесконечно большой в точке . Действительно, рассмотрим произвольную сходящуюся к последовательность (). Тогда последовательность - бесконечно малая, а последовательность - бесконечно большая.

Пример. Функция является бесконечно большой при . Действительно, возьмем произвольную бесконечно большую последовательность , все элементы которой положительны. Последовательность значений функции также бесконеч