Множества. Функция и ее непрерывность
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
ункции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента функции соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Пример 1. Найдем предел функции при . Пусть - произвольная бесконечно большая последовательность. Тогда соответствующая последовательность значений функции является бесконечно малой. Следовательно .
Пример 2. Покажем, что функция не имеет предела при . Действительно, для бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к 1. Однако для другой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к 0. Следовательно, предел функции при не существует.
Сформулируем определение предела функции при стремлении аргумента к бесконечности определенного знака, то есть при и . Предельные значения функции в этих случаях могут оказаться различными.
Определение. Число называется пределом функции при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента функции, элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Пример. Найти предельные значения функции при и .
Пусть - произвольная бесконечно большая последовательность, все элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны. Тогда
.
Если все члены бесконечно большой последовательности , начиная с некоторого номера, отрицательны, то
.
Следовательно, , а .
Теоремы о пределах функций
Теорема 1. Пусть, заданные на одном и том же множестве функции и имеют в точке предельные значения и . Тогда функции , , и имеют в точке предельные значения (частное при условии, что ), равные соответственно , , и .
Доказательство
Следствие. Если функция имеет в точке предельное значение, равное , то .
Действительно, пусть . Воспользовавшись предыдущее теоремой, получим
.
Теорема 2. Если функции и имеют в точке одинаковые предельные значения, равные , и в некоторой проколотой окрестности точки справедливо неравенство , то функция также имеет в точке предельное значение, равное .
Заметим, что данные теоремы также справедлива в случае, когда .
Первый замечательный предел
Теорема. Предельное значение функции в точке существует и равно единице:
. (1)
Равенство (1) называют первым замечательным пределом.
Доказательство.
Пусть . Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке (рис.1). Пусть радиус образует угол с радиусом . Соединим точки и отрезком прямой и восстановим из точки перпендикуляр к радиусу до пересечения с продолжением . Точку пересечения обозначим . Тогда и . Найдем площади треугольника , сектора и треугольника :
, , .
Поскольку треугольник содержится в секторе , который в свою очередь содержится в треугольнике , то их площади связаны соотношением
.
Следовательно, , откуда
(). (2)
Разделим неравенство (2) на .
В результате получим
,
откуда имеем
. (3)
В силу четности функций и неравенство (3) справедливо и для . Поскольку , то из неравенства (3) следует, что функции также имеет в точке предельное значение, равное единице.
Следствие.
.
Второй замечательный предел. Теорема. Предельное значение функции при существует и
равно :
. (4)
Второй замечательный предел также записывают в виде
. (5)
Число называется неперовым числом или числом Эйлера. Оно равно 2,718281828459045… Число принято за основание натуральных логарифмов: . В приложениях также большую роль играет показательная функция с основанием . Функция называется экспоненциальной функцией, а ее график экспонентой.
Следствия.
. ;
. .
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение. Функция называется бесконечно малой в точке (при ), если ее предельное значение в этой точке (при ) равно нулю.
Заметим, что если функция имеет в точке (при ) предельное значение , то функция является бесконечно малой в точке (при ). Отсюда следует, что если функция имеет в точке (при ) предельное значение , то ее можно представить в виде , где - бесконечно малая функция в точке (при ).
Пример. Функция является бесконечно малой в точке . Действительно, рассмотрим произвольную сходящуюся к последовательность . По определению предела функции имеем
.
Определение (по Гейне). Функция называется бесконечно большой в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой последовательностью.
Если функция является бесконечно большой в точке , то ее предел считают равным .
Пример. Функция является бесконечно большой в точке . Действительно, рассмотрим произвольную сходящуюся к последовательность (). Тогда последовательность - бесконечно малая, а последовательность - бесконечно большая.
Пример. Функция является бесконечно большой при . Действительно, возьмем произвольную бесконечно большую последовательность , все элементы которой положительны. Последовательность значений функции также бесконеч